王克用 李培超

(上海工程技術(shù)大學機械工程學院，上海201620)

Trefftz有限元法的研究進展

王克用1)李培超

(上海工程技術(shù)大學機械工程學院，上海201620)

Trefftz有限元法(Trefftz finite element method,TFEM)是一種高效的數(shù)值計算方法，兼有傳統(tǒng)有限元法和邊界元法的諸多優(yōu)點.基于雙獨立插值模式，結(jié)合雜交泛函和高斯散度定理，推得僅含邊界積分的有限元格式.簡述了過去10年間(2007—2016)Trefftz有限元法在單元域內(nèi)插值函數(shù)、源項處理、特殊功能單元以及非各向同性材料等方面的研究進展，并對未來的發(fā)展趨勢給出了幾點展望.

Trefftz有限元法，域內(nèi)插值函數(shù)，邊界積分，特殊功能單元，無源化處理

引言

Trefftz方法是求解偏微分方程的高效數(shù)值方法之一，它是以德國數(shù)學家Erich Trefftz(1888-1937)的名字命名的，以紀念他在數(shù)學領(lǐng)域的開創(chuàng)性貢獻，但在當時并未引起廣泛重視.在分析網(wǎng)格畸變對薄板單元的影響時，Jirousek等[1]于 1977年首次提出了雜交Trefftz有限元模型.該模型在單元內(nèi)部和邊界上假設(shè)兩套獨立的位移場：單元域內(nèi)場和網(wǎng)線場.單元域內(nèi)場可認為是Trefftz有限元法區(qū)別于傳統(tǒng)有限元法的重要標志，其插值函數(shù)(常稱為Trefftz函數(shù))精確滿足問題的控制方程.相鄰單元通過網(wǎng)線場在某種雜交意義上關(guān)聯(lián)成離散的有限元模型.為了推動Trefftz方法在計算力學領(lǐng)域的發(fā)展及應(yīng)用，自1996年開始，每3年召開一次國際會議，報道Trefftz方法的最新進展及研究成果.表1列出了歷屆Trefftz方法國際會議情況.基于Trefftz方法的數(shù)值方法主要包括Trefftz有限元法[23]、Trefftz邊界元法[2,4]以及Trefftz無網(wǎng)格法[57]，其詳細論述可參見相關(guān)著作[2-3,5-6].

表1 歷屆Trefftz工程計算方法國際會議

與傳統(tǒng)有限元法相比，Trefftz有限元法的顯著優(yōu)勢表現(xiàn)在以下幾個方面：

(1)單元剛度方程僅涉及邊界積分，這樣可對曲線或多邊形幾何邊界進行建模[29]，同時也使得Trefftz單元對網(wǎng)格畸變不敏感[1012]，降低了求解維數(shù)，從而減小了計算量.

(2)單元域內(nèi)插值函數(shù)無需精確滿足單元間的連續(xù)性，而是通過變分泛函使之近似滿足[1316].

(3)通過尋求局部解函數(shù)構(gòu)造域內(nèi)插值函數(shù)，可捕捉不連續(xù)載荷、裂紋、孔洞、夾雜等局部效應(yīng)問題[2-3,17].

經(jīng)過40年的發(fā)展，Trefftz有限元法已經(jīng)從平面彈性問題、板彎曲問題、位勢問題、壓電問題等領(lǐng)域拓展到一些新領(lǐng)域，如牛頓流體的流動問題以及軟組織[1819]或水飽和多孔介質(zhì)問題[2022].本文僅簡述過去十年來(2007-2016)Trefftz有限元理論的研究進展.

1 單元域內(nèi)插值函數(shù)的構(gòu)造原理

Trefftz有限元法在單元域內(nèi)和單元邊界上假定兩套獨立的場函數(shù)插值模式 (圖 1).單元域內(nèi)場可表達為

式中，?e為Γe圍成的單元區(qū)域，ˇue為控制方程中源項誘發(fā)的特解，ue和?ue分別為單元域內(nèi)和邊界上的場變量，Ne為 Trefftz插值函數(shù)，是控制方程的齊次解，?Ne為網(wǎng)線插值函數(shù)，可按傳統(tǒng)有限元方法構(gòu)建，ce和de分別為待定參數(shù)和單元節(jié)點自由度列陣.m為截斷的完備解或基本解虛源點的個數(shù).

圖1 基本解Trefftz單元及其源點

在Trefftz有限元理論中，基本形成了基于完備解和基本解的兩種單元構(gòu)造方法，所構(gòu)造的單元可分別稱為完備解單元和基本解單元.完備解單元出現(xiàn)得較早，其嚴格的數(shù)學理論是由Herrera及其合作者完成的[2326].滿足控制方程的完備解系有無窮多項，在構(gòu)建域內(nèi)插值函數(shù)時，需要適當截斷而得到有限項(亦稱Trefftz項數(shù))[2].為了避免出現(xiàn)零能模式并使單元性能穩(wěn)定，用來構(gòu)建Ne的截斷完備解個數(shù)必須滿足不等式m≥nd?nr，這里nd和nr分別為單元節(jié)點自由度和剛體運動模式的數(shù)目.值得注意的是，此不等式是一個必要但非充分的條件.一般地，Trefftz項數(shù)取最小值并不能保證單元剛度矩陣滿秩.在實際應(yīng)用中，通常需要選取更多的Trefftz項數(shù)以確保所構(gòu)造的單元性能穩(wěn)定，但另一方面項數(shù)過多又會導(dǎo)致數(shù)值溢出或者病態(tài)系數(shù)矩陣.因此，針對不同的工程和物理問題，需要數(shù)值驗證確定合理的 Trefftz項數(shù).Choo等[11]利用 Mindlin-Reissner厚板問題解構(gòu)造出 9自由度三角形 (T32-7)和12自由度四邊形(Q32-11)板彎曲單元，當這兩種單元退化到薄板極限情形下不會出現(xiàn)自鎖現(xiàn)象.Moldovan等[20]基于Biot理論，利用Navier控制方程的自由場解構(gòu)造域內(nèi)試函數(shù)，從而建立了飽和多孔介質(zhì)的雜交Trefftz應(yīng)力元和位移元模型.Wang等[12]從準調(diào)和多項式出發(fā)，推得軸對稱位勢問題的完備解插值函數(shù)，并構(gòu)造了4節(jié)點四邊形軸對稱環(huán)狀單元.Rezaiee-Pajand等[27]分析了薄板彎曲問題，并構(gòu)造了兩種高階雜交Trefftz單元：三角形單元(THT-15)和四邊形單元(QHT-23).為了更好地兼容，采用3節(jié)點Euler-Bernoulli梁的形函數(shù)構(gòu)造網(wǎng)線函數(shù).

由于很難得到一些工程和物理問題的完備解，且截斷Trefftz項數(shù)時需要格外小心，才能達到預(yù)期精度.為了克服這一缺點，基本解 Trefftz單元應(yīng)運而生[28].盡管基本解Trefftz單元采用與傳統(tǒng)邊界元法相同的基本解形式，但二者有本質(zhì)區(qū)別.根據(jù)互易定理，傳統(tǒng)邊界元法涉及邊界積分方程，在處理奇異或超奇異積分時會遇到困難，而基本解Trefftz單元因不涉及邊界積分方程完全不受其限.基于雜交Trefftz有限元思想，Qin[2]和 Wang等[28]最早提出了基于基本解的Trefftz有限元模型，并成功應(yīng)用于二維單層和多層材料的熱傳導(dǎo)分析中.隨后，利用基本解Trefftz有限元法，Wang等[29]分析了正交各向異性平面彈性問題.Cao等[30]利用格林函數(shù)形式的基本解作為域內(nèi)插值函數(shù)分析了平面壓電問題，并且對應(yīng)力集中現(xiàn)象提出了一些新見解.Wang等[13]分析了 Poisson-Boltzmann方程和擴散反應(yīng)方程等兩類二維Dirichlet問題.首先在通過每個Picard迭代步引入虛擬項，凍結(jié) Poisson方程涉及的非線性項，然后利用僅含邊界積分的基本解Trefftz有限元模型進行求解.為建立基本解單元列式，需在單元域外設(shè)置若干虛擬的源點[31]，利用源點和單元節(jié)點的坐標信息計算基本解，進而構(gòu)建域內(nèi)插值函數(shù).與完備解方法類似，虛擬源點的最優(yōu)數(shù)目也需要通過數(shù)值算例驗證.但Wang和Qin建議，采用與單元節(jié)點相同數(shù)目的虛源點能夠保證求解精度.由于大多數(shù)工程和物理問題的基本解已獲知，因此基于基本解構(gòu)建域內(nèi)插值函數(shù)的方法十分便捷.表2列出了基于完備解和基本解構(gòu)造Trefftz插值函數(shù)的相關(guān)情況對比.另外，關(guān)于基本解Trefftz有限元法的綜述文獻可參見文獻[32].

表2 完備解和基本解Trefftz單元情況對比

2 源項的無源化處理

基于前述兩個獨立的場變量插值模式，結(jié)合雜交泛函可推得Trefftz單元剛度方程.對于無源項的工程和物理問題，其控制方程是齊次的，在單元剛度方程推導(dǎo)過程中，采用高斯散度定理可直接消除雜交泛函涉及的域積分[2,12].然而，若源項(如彈性問題中的體力或位勢問題中的源匯等)存在，問題的控制方程是非齊次的，高斯散度定理雖仍可消除泛函中的原有域積分，但源項還會衍生另一個新的域積分并出現(xiàn)在單元節(jié)點載荷列陣中[2,3335].以各向同性平面位勢問題為例，其控制方程為Poisson方程，這里考慮第一類和第二類邊界條件，則與該問題等價的雜交泛函Πe為

式中，q1和 q2為沿 x,y坐標方向的勢流，Γeu和Γeq分別為給定位勢e和法向勢流e的邊界，ΓeI為單元交邊界，且有Γe=Γeu∪Γeq∪ΓeI，變量上方的橫線表示給定值.應(yīng)用高斯散度定理，式(3)可改寫為

對比式 (4)與式 (3)可以看出，上述操作消去了原泛函右邊第一項的域積分 (式 (3)右側(cè)第 1項)，但出現(xiàn)了與源項 b相關(guān)的新域積分 (式 (4)右側(cè)第 2項).此時，單元域內(nèi)插值函數(shù)Nej不再滿足原問題的控制方程，須增加源項b誘發(fā)的特解部分e.眾所周知，在傳統(tǒng)有限元法中，由于單元列式中含有域積分，因此單元形狀受雅可比矩陣控制，相鄰單元邊內(nèi)角不能接近或等于180?，即單元不能過分扭曲，否則會導(dǎo)致計算結(jié)果失真甚至無法獲得解答.為避免出現(xiàn)傳統(tǒng)有限元法面臨的尷尬境地，也為保持Trefftz有限元法僅含邊界積分的獨特優(yōu)勢，研究者們提出了一些處理非齊次方程的方法，但共同作法是將非齊次問題轉(zhuǎn)化為齊次問題求解.目前，主要有格林函數(shù)法和徑向基函數(shù)法. 格林函數(shù)法解決了帶常體力的平面彈性問題[2].為了處理任意形式的非齊次項情形，Qin[2]和 Wang等[33]基于雙重互易邊界元法的概念提出了徑向基函數(shù)法，將徑向基函數(shù)定義為歐幾里得距離的變量，來近似表示源項的函數(shù)分布.然后對控制方程求解析積分直接獲得相關(guān)特解，這樣原問題的求解過程就歸為尋求特解和齊次解的問題.基于這種求解策略，Weiber等[8,19,28,3637]分析了一系列 Poisson類方程的問題.王克用等[3839]通過坐標變換和徑向基函數(shù)分析了有源項正交各向異性平面和軸對稱位勢問題.Moldovan[40]構(gòu)造了Trefftz應(yīng)力元并分析了非齊次雙曲邊值問題.盡管徑向基函數(shù)在處理非齊次問題時非常便捷，但它可能會造成病態(tài)的系數(shù)矩陣[41]，不過采取適當?shù)囊?guī)則化措施[42]避免解答嚴重失真.

3 特殊功能單元

Trefftz有限元法最大的亮點之一是特殊功能單元.借助這種單元無需局部網(wǎng)格細分，只需在域內(nèi)插值函數(shù)上作調(diào)整，就能捕捉各種奇異性或局部效應(yīng)(如不連續(xù)載荷、角點、裂紋、夾雜和孔洞等)，凸顯出傳統(tǒng)有限元法望塵莫及的效率和優(yōu)勢[2,3132].如前所述，雜交Trefftz單元的域內(nèi)插值函數(shù)精確滿足問題的控制方程.若域內(nèi)插值函數(shù)還滿足奇異或局部效應(yīng)區(qū)域的邊界條件，則可構(gòu)造相應(yīng)的特殊功能單元.在現(xiàn)有文獻中，研究載荷奇異性的特殊功能單元的文章較少，較早的工作是由Jirousek等[43]完成的，他們推得平面應(yīng)力狀態(tài)下的特解構(gòu)造了集中載荷單元和分布載荷單元.近期，Wang等[44]針對不連續(xù)載荷引起的局部效應(yīng)構(gòu)造了三種特殊功能單元，分別用于分析彈性體上的點載荷、線載荷和面載荷(圖2)，均是基于適當?shù)木植炕窘饨⒌?

在工程實際中，許多結(jié)構(gòu)含有各種各樣的孔洞，如螺孔、工藝孔等. 較早研究孔洞單元的是Piltner[45]，他利用復(fù)變 Laurent級數(shù)推導(dǎo)了橢圓孔單元，該單元能退化為圓孔和內(nèi)裂紋單元，屬于Trefftz型特殊功能單元的范疇，但當時Piltner并沒有提出Trefftz有限元的概念.在Piltner[45]工作基礎(chǔ)上，王克用[34]引入旋轉(zhuǎn)映射函數(shù)構(gòu)造了可任意調(diào)整橢圓孔傾角的特殊功能單元，并應(yīng)用于接觸問題分析中.Leconte等[46]探討了8節(jié)點圓孔單元由線彈性問題推廣至非線性問題(沖擊)的可能性.Wang等[47]分析了平面彈性問題，以格林函數(shù)作為域內(nèi)插值函數(shù)構(gòu)造了圓孔單元.

學習壓力是所有青少年都會面對的壓力之一，也是青少年之間最為普遍存在的壓力。無論是父母和親友的期待，還是學生本身對自己學習上的要求，在所有學習階段對學生產(chǎn)生著極大影響。很多父母都為孩子設(shè)計了嚴格的人生路線，要求孩子必須始終遵從，很多青少年都會面對學習的收獲與自身期待不符的問題。這樣的情況十分不利于青少年的心理成長，一些年輕人雖然仍然會取得較好的成績，但無論是生活態(tài)度還是學習態(tài)度都在學習壓力下變得很差。同時，由于社會價值觀的功利化，在小學和中學都過于強調(diào)分數(shù)對學生的影響，無論是在教學上還是在日常生活中。

圖2 不連續(xù)載荷特殊功能單元

若孔洞內(nèi)填塞有與其形狀相同、力學性質(zhì)不同的材料就形成了夾雜，夾雜與基體之間存在相互作用，如顆粒/纖維增強復(fù)合材料等非均質(zhì)材料.對于這種情形的Trefftz有限元建模與分析，始于Zhang等[4850]的工作.他們先后提出了含圖形或橢圓形彈性夾雜/剛性夾雜單元，其構(gòu)造原理是將原單元分解為兩個邊值子問題，進而建立單元節(jié)點力與位移的關(guān)系 (圖 3).觀察發(fā)現(xiàn)，Zhang等[4850]的工作與Voronoi單胞有限元法十分相似，而這種有限元法已經(jīng)成為模擬非均質(zhì)材料微觀力學特性的強有力工具.張洪武等[51]基于參數(shù)變分原理構(gòu)造了含夾雜Voronoi單元，分析了非均質(zhì)材料中夾雜對其宏觀等效彈塑性力學性能的影響.近期，Dong等[52]在Voronoi單胞有限元理論[53]基礎(chǔ)上，提出了Trefftz型Voronoi單胞有限元法，通過引入單元的特征長度，可以有效處理病態(tài)方程情形.在單元域內(nèi)和邊界上，借助特征長度這個參數(shù)可將Trefftz完備函數(shù)限定在[0,1]區(qū)間內(nèi)，這樣能確保系統(tǒng)方程組處于良態(tài)，無需額外的規(guī)則化技術(shù)進行處理就能輕松求解.實際上，單元特征長度所起的作用與雜交Trefftz有限元法中通常采用的局部坐標系(o,x,y)[2,12,38-39,43]類同 (圖 1).之后，Dong等[14]將其工作推廣至含橢圓孔洞以及彈性/剛性夾雜單元.緊接著，Dong等[1516]還構(gòu)造了三維 Trefftz多邊形單元研究球形和橢球形孔洞、夾雜的非均質(zhì)材料.Wang等[54]則構(gòu)造了特殊多邊形Voronoi纖維/基體單元，用于分析天然大麻纖維復(fù)合材料的熱效應(yīng).從構(gòu)造原理來看，孔洞單元可視為同形狀夾雜單元的特殊情形.此外，Cao等[55]利用適當?shù)木植炕窘庋芯苛撕毕莸钠矫鎵弘妴栴}，Wang等[5657]研究了平面彈性問題的特殊功能單元.關(guān)于基于基本解的Trefftz特殊功能單元的綜述可參見文獻[58].

圖3 非均質(zhì)結(jié)構(gòu)與Voronoi單元

此外，Bishay等[59]構(gòu)造了一系列用于分析帶有缺陷、孔洞以及彈性電介質(zhì)/壓電夾雜的壓電材料單元.每種單元的外邊界條件應(yīng)用變分原理、配點法或最小二乘法強制滿足，而孔洞/夾雜外圍應(yīng)力/電荷自由邊界條件則采用配點法/最小二乘法或者特殊解系得到滿足.Hennuyer等[60]構(gòu)造了一種雜交Trefftz超單元，用于模擬航天器結(jié)構(gòu)在碰撞和沖擊載荷作用下鉚釘裝配體的應(yīng)力集中情況.為了考慮孔邊帶有初裂紋情形，他們增加了超單元的節(jié)點數(shù)，盡管改進后的高階超單元精度有所降低，但仍能對力場進行良好的描繪.Kunter等[61]基于既滿足控制方程又滿足裂紋邊界條件的精確解，構(gòu)造了Trefftz裂紋單元，且推導(dǎo)了一個含有Dugdale條狀屈服區(qū)域的二維直裂紋的特解.Chen等[62]基于Hellinger--Reissner變分原理提出了一種多邊形角點單元，它雖然可分析含有相互作用的雙菱形、雙正方形和雙矩形孔洞的平面彈性問題，但其只是利用兩個角點單元拼接成孔洞而已.這種單元能夠較好地捕捉角點奇異性，其精度基本不受角點單元尺寸的影響.

4 非各向同性材料

一些天然或人造材料具有熱傳導(dǎo)系數(shù)等物性參數(shù)隨方向而改變的特性，包括橫觀各向同性、正交各向異性和各向異性.鑒于此，研究者們將目光開始轉(zhuǎn)向非各向同性材料的Trefftz有限元法研究，獲取非各向同性問題的Trefftz函數(shù)成為關(guān)鍵一步.目前主要有直接法和間接法等方法，其中間接法又包括坐標變換法和函數(shù)變換法.Wang等[29]利用奇異基本解分析了正交各向異性平面彈性問題.Bussamra等[63]利用 Papkovitch-Neuber位移基構(gòu)造了三維層合板Trefftz應(yīng)力元，這種單元非常適合p型自適應(yīng)性和平行計算.Cao等[64]利用格林函數(shù)推得了各向異性彈性介質(zhì)的基本解，構(gòu)造了基本解Trefftz層合板單元，并用于分析正交各向異性纖維增強復(fù)合材料的力學行為.基于雜交Trefftz泛函，Karkon[65]構(gòu)造了三角形層合板單元 (THT-7)和四邊形層合板單元(QHT-11),分析了各向異性對稱的層合板問題.隨后，Karkon等[66]又利用 THT-7和 QHT-11單元研究了正交各向異性厚板彎曲問題.趙新娟等[67]利用基本解分析了各向異性平面位勢問題.Wang等[68]對位移場變量ui進行函數(shù)變換

導(dǎo)得平面彈性功能梯度材料的基本解，進而構(gòu)造出梯度單元.其中，c和βk分別為材料常數(shù)和梯度參數(shù).Fu等[9,37]利用Kirchho ff變換

將以溫度T為場變量的非線性熱傳導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為新變量φ的常系數(shù)線性問題，進而推得原問題的完備解，分析了材料導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度按冪律和指數(shù)變化的情形.王克用及其合作者[10,12,38]利用簡單的坐標變換關(guān)系

得到正交各向異性平面和軸對稱位勢問題的完備解，其中ki為沿某一坐標軸的材料特性系數(shù).

此外，Petrolito[69]提出一種雜交Trefftz變分原理[70]，構(gòu)造了3節(jié)點三角形厚板單元，進行了正交各向異性板的振動和穩(wěn)定性計算.他指出，有限元列式涉及3個剛體模式和1個零能模式，但該零能模式可通過多單元網(wǎng)格劃分自動消除.Petrolito還強調(diào)，基于雜交Trefftz變分原理[70]構(gòu)造的單元可自動通過分片試驗，進而確保數(shù)值解收斂.然而，其有限元列式中含有域積分，本質(zhì)上并不具備Trefftz單元的優(yōu)異品質(zhì).

5 展望

Trefftz型有限元法發(fā)展到今天，在諸多應(yīng)用領(lǐng)域取得了重要的研究進展，它真正體現(xiàn)了傳統(tǒng)有限元法與邊界元法思想的完美融合.在下一階段的研究中，將會在以下幾方面受到更多關(guān)注：

(1)基本解單元.伴隨著傳統(tǒng)邊界元法的發(fā)展，大多數(shù)工程和物理問題的基本解已獲知，從而可克服尋求完備解系的困難.

(2)特殊功能單元.這類單元不以網(wǎng)格細化為代價即可有效捕捉局部效應(yīng)，可顯著減少建模工作量和機時，將更受工程界的青睞.

(3)源項處理的新方法.源項的無源化處理可消除單元剛度方程涉及的域積分，從而保持Trefftz有限元法對網(wǎng)格畸變不敏感的獨特優(yōu)勢.

(4)網(wǎng)格自動劃分技術(shù).各種新型(顆粒或纖維增強)復(fù)合材料的不斷涌現(xiàn)，促進了Trefftz夾雜單元的發(fā)展，但相應(yīng)的多邊形網(wǎng)格劃分技術(shù)尚需完善.

(5)多尺度多物理場耦合分析.Trefftz有限元法在數(shù)值計算方面的優(yōu)異特性使得多物理場模擬成為可能.另外，跨越從米到微米甚至納米量級的多尺度分析也將是Trefftz有限元法未來的發(fā)展趨向.

(6)豐富完善的源程序代碼.作為一種高效數(shù)值計算方法，Trefftz有限元理論唯經(jīng)程序化才能真正體現(xiàn)其應(yīng)用價值.

1 Jirousek J,Leon N.A powerful finite element for plate bending.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1977,12(1):77-96

2 Qin QH.The Trefftz Finite and Boundary Element Method.Southampton:WIT Press,2000

3 Qin QH,Wang H.MATLAB and C Programming for Trefftz Finite Element Methods.Boca Raton:CRC Press,2008

4徐鵬,金吾根,萬遠富.流形 Trefftz直接法.計算力學學報,2008,25(2):260-264

5 Li ZC,Lu TT,Hu HY,et al.Trefftz and Collocation Methods.Southampton:WIT Press,2008

6 Kolodziej JA,Zielinski AP.Boundary Collocation Techniques and Their Application in Engineering.Southampton:WIT Press,2009

7司馬玉洲,朱宏平,苗雨.雙重互易雜交邊界點方法在勢問題中的應(yīng)用.力學與實踐,2007,29(6):37-40

8 Wei?er S.Arbitrary order Trefftz-like basis functions on polygonal meshes and realization in BEM-based FEM.Computersamp;Mathematics with Applications,2014,67(7):1390-1406

9 Wang H,Han MY,Yuan F,et al.Fundamental-solutionbased hybrid element model for nonlinear heat conduction problems with temperature-dependent material properties.Mathematical Problems in Engineering,2013,2013(3):831-842

10 王克用，李培超，張敏良.正交各向異性位勢問題的Trefftz有限元法.力學季刊,2012,33(3):499-506

11 Choo YS,Choi N,Lee BC.A new hybrid-Trefftz triangular and quadrilateral plate elements.Applied Mathematical Modelling,2010,1(1):14-23

12 Wang KY,Zhang LQ,Li PC.A four-node hybrid-Trefftz annular element for analysis of axisymmetric potential problems.Finite Elements in Analysisamp;Design,2012,60:49-56

13 Wang H,Qin QH,Liang XP.Solving the nonlinear Poisson-type problems with F-Trefftz hybrid finite element model. Engineering Analysis with Boundary Elements,2012,36(1):39-46

14 Dong L,Atluri SN.T-Trefftz Voronoi cell finite elements with elastic/rigid inclusions or voids for micromechanical analysis of composite and porous materials. Computer Modeling in Engineeringamp;Sciences,2012,83:183-219

15 Dong L,Atluri SN.Development of 3D T-Trefftz Voronoi cell finite elements with/without spherical voids and/or elastic/rigid inclusions for micromechanical modeling of heterogeneous materials.CMC-Computers Materials and Continua,2012,29:169-211

16 Dong L,Atluri SN.Development of 3D Trefftz Voronoi cells with ellipsoidal voids and/or elastic/rigid inclusions for micromechanical modeling of heterogeneous materials.CMC-Computers Materials and Continua,2012,30:39-81

17 秦慶華.Hybrid-Trefftz有限元簡介和展望.力學與實踐,1993,15(3):22-24

18 Silva CM,Castro LMSS.Hybrid-displacement(Trefftz)formulation for softening materials.Computersamp;Structures,2007,85(17-18):1331-1342

19 Zhang ZW,Wang H,Qin QH.Method of fundamental solutions for nonlinear skin bioheat model.Journal of Mechanics in Medicineamp;Biology,2014,14(4):1450060

20 Moldovan ID,Cao TD,Teixeira DFJA.Hybrid-Trefftz finite elements for biphasic elastostatics.Finite Elements in Analysisamp;Design,2013,66(66):68-82

21 Freitas JATD,Toma M.Hybrid-Trefftz stress and displacement elements for axisymmetric incompressible biphasic media.Computer Methods in Applied Mechanicsamp;Engineering,2009,198(30-32):2368-2390

22 Moldovan ID,Freitas JATD.Hybrid-Trefftz displacement and stress elements for bounded poroelasticity problems.Computersamp;Geotechnics,2012,42(3):129-144

23 Herrera I.General variational principles applicable to the hybrid element method.National Academy of Sciences,USA,1977

24 Herrera I.Boundary methods:a criterion for completeness.National Academy of Sciences,USA,1980

25 Herrera I,Ewing RE,Celia MA,et al.Eulerian-Lagrangian localized adjoint method:the theoretical framework.Numerical Methods for Partial Differential Equations,1993,9(4):431-457

26 Herrera I,Sabina FJ.Connectivity as an alternative to boundary integral equations:construction of bases.National Academy of Sciences,USA,1978

27 Rezaiee-Pajand M,Karkon M.Two higher order hybrid-Trefftz elements for thin plate bending analysis.Finite Elements in Analysisamp;Design,2014,85(8):73-86

28 Wang H,Qin QH.Hybrid FEM with fundamental solutions as trial functions for heat conduction simulation.Acta Mechanica Solida Sinica,2009,22(5):487-498

29 Wang H,Qin QH.Fundamental-solution-based finite element model for plane orthotropic elastic bodies.European Journal of Mechanics-A/Solids,2010,29(5):801-809

30 Cao C,Qin QH,Yu A.Hybrid fundamental-solution-based FEM for piezoelectric materials.Computational Mechanics,2012,50(4):3 97-412

31 Wang H,Qin QH.Some problems with the method of fundamental solution using radial basis functions.Acta Mechanica Solida Sinica,2007,20(1):21-29

32 Wang H,Qin QH.Hybrid fundamental solution based finite element method:theory and applications.Advances in Mathematical Physics,2015,2015:1-38

33 Wang H,Qin QH,Arounsavat D.Application of hybrid Trefftz finite element method to nonlinear problems of minimal surface.International Journal for Numerical Methods in Engineering,2007,69(6):1262-1277

34 王克用.一種Trefftz孔洞單元及其在接觸問題中的應(yīng)用.力學季刊,2011,32(3):460-465

35 Wang H,Qin QH.FE approach with Green’s function as internal trial function for simulating bioheat transfer in the human eye.Archives of Mechanics,2010,62(6):493-510

36 Cao LL,Wang H,Qin QH.Fundamental solution based graded element model for steady-state heat transfer in FGM.Acta Mechanica Solida Sinica,2012,25(4):377-392

37 Fu ZJ,Qin QH,Chen W.Hybrid-Trefftz finite element method for heat conduction in nonlinear functionally graded materials. Engineering Computations:International Journal for Computer-Aided Engineering and Software,2011,28(5):578-599

38 Wang KY,Li PC,Wang DZ.Trefftz-type FEM for solving orthotropic potential problems.Latin American Journal of Solidsamp;Structures,2014,11(14):2537-2554

39 劉博,王克用,王明紅.軸對稱Poisson方程的Trefftz有限元解法.應(yīng)用數(shù)學和力學,2015,36(2):140-148

40 Moldovan ID.A new approach to non-homogeneous hyperbolic boundary value problems using hybrid-Trefftz stress finite elements.Engineering Analysis with Boundary Elements,2016,69:57-71

41 Liu RF,Yeih WC,Kuo SR,et al.Indirect T-Trefftz and F-Trefftz methods for solving boundary value problem of Poisson equation.Journal of the Chinese Institute of Engineers,2006,29(6):989-1006

42 Liu CS.Optimally scaled vector regularization method to solve ill-posed linear problems.Applied Mathematics and Computation,2012,218(21):10602-10616

43 Jirousek J,Venkatesh A．Hybrid Trefftz plane elasticity elements with p-method capabilities.International Journal for Numerical Methods in Engineering,1992,35(7):1443-1472

44 Wang H,Qin QH.Numerical implementation of local effects due to two-dimensional discontinuous loads using special elements based on boundary integrals.Engineering Analysis with Boundary Elements,2012,36(12):1733-1745

45 Piltner P.Special finite elements with holes and internal cracks.International Journal for Numerical Methods in Engineering,1985,21(8):1471-1485

46 Leconte N,Langrand B,Markiewicz E.On some features of a plate hybrid-Trefftz displacement element containing a hole.Finite Elements in Analysisamp;Design,2010,46(10):819-828

47 Wang H,Qin QH.Fundamental-solution-based hybrid FEM for plane elasticity with special elements.Computational Mechanics,2011,48(5):515-528

48 Zhang J.A hybrid finite element method for heterogeneous materials with randomly dispersed rigid inclusions.International Journal for Numerical Methods in Engineering,1995,38(10):1635-1653

49 Zhang J,Katsube N.A hybrid finite element method for heterogeneous materials with randomly dispersed elastic inclusions.Finite Elements in Analysisamp;Design,1995,19(1):45-55

50 Zhang J,Katsube N.A polygonal element approach to random heterogeneous media with rigid ellipses or elliptical voids.Computer Methods in Applied Mechanicsamp;Engineering,1997,148(3-4):225-234

51 張洪武,王輝.基于參數(shù)變分原理的含夾雜 Voronoi單元法及非均質(zhì)材料彈塑性計算.復(fù)合材料學報,2007,24(4):145-153

52 Dong L,Atluri SN.Development of T-Trefftz four-node quadrilateral and Voronoi cell finite elements for macro-amp;micromechanical modeling of solids.CMES:Computer Modeling in Engineeringamp;Sciences,2011,81(1):69-118

53 Ghosh S,Mallett RL.Voronoi cell finite element.Computersamp;Structures,1994,50(1):33-46

54 Wang H,Qin QH,Xiao Y.Special n-sided Voronoi fiber/matrix elements for clustering thermal effect in natural-hemp- fi ber- fi lled cement composites.International Journal of Heatamp;Mass Transfer,2016,92:228-235

55 Cao C,Yu A,Qin QH.A new hybrid finite element approach for plane piezoelectricity with defects.Acta Mechanica,2013,224(1):41-61

56 Wang H,Qin QH.Fundamental-solution-based hybrid FEM for plane elasticity with special elements.Computational Mechanics,2011,48(5):515-528

57 Qin QH,Wang H.Special circular hole elements for thermal analysis in cellular solids with multiple circular holes.International Journal of Computational Methods,2013,10(4):683-728

58 王輝,趙新娟,白楊等.基于基本解的雜交有限元法及特殊孔洞單元的構(gòu)造理論.第十四屆北方七省市區(qū)力學學會學術(shù)會議,中國威海,2012

59 Bishay PL,Atluri SN.Trefftz-Lekhnitskii Grains(TLGs)for efficient direct numerical simulation(DNS)of the micro/meso mechanics of porous piezoelectric materials.Computational Materials Science,2014,83(2):235-249

60 Hennuyer C,Leconte N,Langrand B,et al.Interpolation functions of a hybrid-Trefftz perforated super-element featuring nodes on the hole boundary.Finite Elements in Analysisamp;Design,2014,91(91):40-47

61 Kunter K,Heubrandtner T,Suhr B,et al. A hybrid crack tip element containing a strip-yield crack-tip plasticity model.Engineering Fracture Mechanics,2014,129:3-13

62 Chen MC,Ping XC,Liu WH,et al.A novel hybrid finite element analysis of two polygonal holes in an in finite elastic plate.Engineering Fracture Mechanics,2012,83:26-39

63 Bussamra FLS,Neto EL,Jr DSR.Hybrid quasi-Trefftz 3D finite elements for laminated composite plates.Computersamp;Structures,2012,s92-93(3):185-192

64 Cao C,Yu A,Qin QH.A novel hybrid finite element model for modeling anisotropic composites.Finite Elements in Analysisamp;Design,2013,64(2):36-47

65 Karkon M.Hybrid-Trefftz formulation for analysis of anisotropic and symmetric laminated plates.Composite Structures,2015,134:460-474

66 Karkon M,Rezaiee-Pajand M.Hybrid-Trefftz formulation for analysis of thick orthotropic plates.Aerospace Scienceamp;Technology,2016,50:234-244

67 趙新娟,趙吉義.位勢問題的雜交有限元算法研究.中原工學院學報,2011,22(1):59-61

68 Wang H,Qin QH.Boundary integral based graded element for elastic analysis of 2D functionally graded plates.European Journal of Mechanics-A/Solids,2012,33(3):12-23

69 Petrolito J.Vibration and stability analysis of thick orthotropic plates using hybrid-Trefftz elements. Applied Mathematical Modelling,2014,38(24):5858-5869

70 Petrolito J.Vibration and stability of plates using hybrid-Trefftz elements.International Journal of Structural Stabilityamp;Dynamics,2011,4(4):559-578

RESEARCH ADVANCES IN THE TREFFTZ FINITE ELEMENT METHOD

WANG Keyong1)LI Peichao
(School of Mechanical Engineering,Shanghai University of Engineering Science,Shanghai 201620,China)

The Trefftz finite element method(TFEM)is an efficient numerical approach with many joint advantages of the conventinal finite and boundary element methods.Based on the mutual independent interpolation modes,the finite element formulation involving the boundary integrations only is derived by incorporating the hybrid functional and the Gaussian divergence theorem.The research advances in the internal interpolation function,the treatment of the source term,the special-purpose element and the nonisotropic material during the past decade(2007-2016)are reviewed and several directions are pointed out for the future development.

Trefftz finite element method,internal interpolation function,boundary integration,specialpurpose element,non-source treatment

O343.1

A

10.6052/1000-0879-17-115

2017-04-05收到第1稿，2017-05-03收到修改稿.

1)王克用，博士，副教授，主要研究方向為Trefftz有限元法和多孔介質(zhì)傳熱.E-mail:k.y.wang@126.com

王克用,李培超.Trefftz有限元法的研究進展.力學與實踐,2017,39(5):433-440

Wang Keyong,Li Peichao.Research advances in the Trefftz finite element method.Mechanics in Engineering,2017,39(5):433-440

(責任編輯:胡 漫)