劉勝來(lái)

(清華大學(xué)土木工程系，北京100084)

變剛度梁撓度曲線的Green函數(shù)法求解

劉勝來(lái)1)

(清華大學(xué)土木工程系，北京100084)

在變剛度梁的線彈性問(wèn)題中，求解梁受靜力荷載的撓度曲線常用解法有積分法與單位荷載法.本文從變剛度梁撓度曲線的微分方程出發(fā)，給出了變剛度梁撓度曲線的Green函數(shù)法解答，并分析了該解法的優(yōu)點(diǎn).從推導(dǎo)結(jié)果可以看到，本文提出的公式具有統(tǒng)一、精確、簡(jiǎn)潔、適合電算的特點(diǎn)，在編制桿系結(jié)構(gòu)計(jì)算軟件中將具有重要應(yīng)用價(jià)值.

變剛度梁，撓度曲線，Green函數(shù)法

線彈性小變形下梁的彎曲變形問(wèn)題是材料力學(xué)中一個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題，它的撓度曲線用微分方程可以表示為

其中 w為橫向位移，θ為轉(zhuǎn)角，MP(x)為彎矩，EI(x)為彎曲剛度.

1 積分法和單位荷載法

一般地，梁的撓度曲線方程可以直接從式(1)積分求得

式中C和D是積分常數(shù)，需要通過(guò)邊界幾何約束條件予以確定.如果是等剛度梁，式(2)中彎曲剛度EI還可以提到不定積分號(hào)外.

值得注意的是，若梁是變剛度的，也即EI(x)不是一個(gè)常數(shù)，而是用一個(gè)復(fù)雜解析函數(shù)表示，上述不定積分的解不一定能獲得初等函數(shù)表達(dá)式[1]，同時(shí)不定積分計(jì)算一般較為繁瑣，并不利于編程計(jì)算，通過(guò)式(2)積分求解撓度曲線存在不少實(shí)際操作上的困難.

一個(gè)樸素的思想是對(duì)彎矩函數(shù) MP(x)和彎曲剛度EI(x)做多項(xiàng)式插值，使上述被積函數(shù)為有理函數(shù)，不定積分一定可以用初等函數(shù)表示[1].然而這樣不僅計(jì)算復(fù)雜，而且多項(xiàng)式插值在模型中又引入了插值誤差，對(duì)撓度曲線的求解精度造成了損失，還不容易進(jìn)行誤差估計(jì).

文獻(xiàn)[2]通過(guò)拉氏變換求解梁的撓度曲線，得到了一種新的計(jì)算梁的撓度曲線方式，該方法在梁受分段分布荷載時(shí)較為簡(jiǎn)便，但該方法受限于彎矩函數(shù)為多項(xiàng)式和彎曲剛度為常數(shù)的假設(shè)，其導(dǎo)出的撓度曲線公式與直接積分差別不大.

考慮用無(wú)量綱載荷法計(jì)算上述梁的撓度曲線，不妨虛設(shè)單位載荷作用在梁的xa處，由力的平衡容易得到虛設(shè)單位載荷下彎矩函數(shù)為

另外，由于積分法和單位載荷法均是基于微分方程(1)的精確求解方法，因此它們的計(jì)算結(jié)果必然是一致的[3].

2 Green函數(shù)法

考慮式(1)表示的變剛度梁的彎曲變形撓度曲線求解問(wèn)題，不妨令邊界條件為

微分方程(1)中的算子可以記作

由文獻(xiàn) [3]結(jié)論，上述微分算子對(duì)應(yīng)的 Green函數(shù)為

其中xa為梁中任一點(diǎn)坐標(biāo).式(7)滿足

其中δ(x)為狄拉克函數(shù)[5].

由Green函數(shù)性質(zhì)，變剛度梁的撓度曲線函數(shù)可寫為

將式(9)分部積分，有

將式 (7)代入式 (10)，得變剛度梁撓度曲線的解析式為

直接對(duì)式(11)求導(dǎo)可得

式(11)和式(12)即為Green函數(shù)表示的變剛度梁撓曲線和轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式.

比較式 (2)和式 (11)兩種解答的格式可以看到，Green函數(shù)法得到的式(11)更具優(yōu)勢(shì).不同于積分法式(2)中撓度曲線需要求不定積分，式(11)撓度曲線的解為定積分形式，在求解任一點(diǎn)位移值時(shí)可采用數(shù)值積分法求得任意精度的數(shù)值解，無(wú)需考慮被積函數(shù)積分后能否表示成初等函數(shù)形式，當(dāng)MP(x)/(EI(x))形式較復(fù)雜或梁上載荷分段分布時(shí)，仍能采用統(tǒng)一的式(11)求解.基于這點(diǎn)，式(11)所示的定積分形式解還適合用于統(tǒng)一的工程計(jì)算軟件的程序編制，最后求解的積分精度取決于數(shù)值積分方法選取點(diǎn)數(shù)，求解誤差可控.當(dāng)然，式(11)所示定積分形式解也存在一定缺點(diǎn)，如在計(jì)算每點(diǎn)撓度均需分別計(jì)算數(shù)值積分，實(shí)際使用時(shí)通常可以采用在梁上先求足夠數(shù)量點(diǎn)的撓度，再做多項(xiàng)式插值來(lái)替代.

對(duì)比式 (4)和式 (11)可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)梁兩端簡(jiǎn)支時(shí)，Green函數(shù)法導(dǎo)出的式(11)事實(shí)上等價(jià)于單位載荷法.但單位載荷法計(jì)算撓度曲線和轉(zhuǎn)角需要設(shè)置兩個(gè)不同的單位載荷并分別進(jìn)行分析，Green函數(shù)法計(jì)算撓度與轉(zhuǎn)角的式(11)和式(12)是形式統(tǒng)一的，對(duì)撓度直接求導(dǎo)即得轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式，這相較單位載荷法顯得更為簡(jiǎn)潔.

3 Green函數(shù)法的一個(gè)改進(jìn)

從式 (11)可以看到，利用式 (11)計(jì)算梁撓度曲線的一個(gè)前提是需要彎矩函數(shù) MP(x)較容易求得，而在分布載荷尤其是分段分布載荷作用時(shí)，彎矩函數(shù)MP(x)是不易求解的，這使得式(11)在計(jì)算復(fù)雜類型載荷時(shí)存在一定困難，且不易應(yīng)用于電算的程序編制.

考慮梁的平衡方程

邊界條件設(shè)為

對(duì)比式 (13)與式 (1)，易知其對(duì)應(yīng)的微分算子是相同的，邊界條件也類似，直接類比式(11)推導(dǎo)結(jié)果，可得彎矩函數(shù)為

直接求導(dǎo)可得剪力函數(shù)為

可以看到，上式中對(duì)分布載荷q(x)沒(méi)有特別限制，即使是分段分布載荷、復(fù)雜函數(shù)形式載荷均可通過(guò)數(shù)值積分計(jì)算.式(15)使得式(11)計(jì)算公式的適用范圍更加廣泛.

通過(guò)式(15)先計(jì)算彎矩函數(shù)MP(x)，再通過(guò)式(11)計(jì)算撓曲線方程，將變剛度梁撓度曲線計(jì)算過(guò)程劃分為兩步.如果在用式(15)計(jì)算彎矩函數(shù)時(shí)使用數(shù)值積分，將給撓度曲線計(jì)算帶來(lái)中間誤差，不過(guò)該中間誤差僅存在于式(11)被積函數(shù)的分子項(xiàng)中，誤差控制較為容易.

當(dāng)梁兩端簡(jiǎn)支時(shí)，由邊界條件可得

當(dāng)梁為懸臂梁也即一端固支一端自由時(shí)，邊界條件為

先由式 (18b)解出 M1和 M2，進(jìn)而由式 (15)求得MP(x)的表達(dá)式，代入式(18a)求得w1和w2.

當(dāng)梁兩端固支時(shí)，邊界條件為

求出w1,w2,M1和M2.

此外，對(duì)于支座位移等復(fù)雜邊界條件，可類似上述方法先求得未知量w1,w2,M1和M2，再代入式(11),式 (12),式 (15)和式 (16)得到對(duì)應(yīng)邊界條件下各物理量的計(jì)算公式，因此它們對(duì)不同邊界條件的變剛度梁均是適用的.

4 一個(gè)特例——等剛度梁

事實(shí)上，當(dāng)梁的彎曲剛度為常數(shù)時(shí)，上述梁的撓度曲線公式(11)和式(15)還可以歸結(jié)為一個(gè)公式.結(jié)合式(1)與式(13)，可得

其中p=EI(x),是常量.該微分方程的算子記作

當(dāng)梁兩端簡(jiǎn)支時(shí)，邊界條件為

由文獻(xiàn)[3]中Green函數(shù)定義，微分算子L?對(duì)應(yīng)的Green函數(shù)需滿足

式(23)等價(jià)于下面3個(gè)條件：

① g(x,xa)連同其一、二、三、四階導(dǎo)數(shù)在x/=xa時(shí)，都是 x的連續(xù)函數(shù)，滿足非齊次方程L?g(x,xa)=0；

②滿足邊界條件

③g(x,xa)在正方形 0≤x≤l,0≤xa≤l上是二階連續(xù)的，且[pg′′(x,xa)]′看作 x的函數(shù)時(shí)，在x=xa處具有第一類間斷，其躍度為1，即

由上述 3個(gè)條件可以構(gòu)造該微分算子對(duì)應(yīng)的Green函數(shù)為由Green函數(shù)性質(zhì)，有

將式(26)代入式(27)，即得彎曲剛度為常數(shù)時(shí)撓度曲線的表達(dá)式

式 (28)等價(jià)于式 (11)和式 (15)分兩步計(jì)算的結(jié)果，可以直接將式(15)代入式(11)推導(dǎo)得出.

類似地，當(dāng)梁一端固支一端自由時(shí)，邊界條件為

對(duì)應(yīng)的Green函數(shù)滿足

可求得Green函數(shù)表達(dá)式為

當(dāng)梁兩端固支時(shí)，邊界條件為

對(duì)應(yīng)的Green函數(shù)滿足

可求得Green函數(shù)表達(dá)式為

將式(31)和式(34)代入式(27)可分別求得懸臂梁和兩端固支梁在彎曲剛度為常數(shù)時(shí)的撓度曲線.

5 結(jié)論

本文基于求解微分方程的Green函數(shù)法推導(dǎo)了變剛度梁撓度曲線公式.Green函數(shù)法將微分方程的解歸結(jié)為定積分的形式，對(duì)不同邊界條件下變剛度、受復(fù)雜載荷梁的撓度曲線求解均適用，且直接求導(dǎo)即可得轉(zhuǎn)角計(jì)算公式，具有形式統(tǒng)一、簡(jiǎn)便、精度好等特點(diǎn)，在桿系結(jié)構(gòu)計(jì)算軟件的編制中有重要應(yīng)用價(jià)值.

1 陳天權(quán).數(shù)學(xué)分析講義.第一冊(cè).北京：北京大學(xué)出版社,2009

2 劉明超,丁曉燕.拉氏變換求解梁的撓曲線方程.力學(xué)與實(shí)踐,2012,34(2):78-80

3 郭孟武.積分法與單位載荷法一致性的數(shù)學(xué)推證.力學(xué)與實(shí)踐,2013,35(4):70-72

4 彼得羅夫斯基.偏微分方程講義.段虞榮譯.北京：人民教育出版社,1978

5 吳崇試.數(shù)學(xué)物理方法.北京：北京大學(xué)出版社，2003

SOLUTION OF DEFLECTION CURVE OF VARIABLE STIFFNESS BY GREEN FUNCTION METHOD

LIU Shenglai1)
(Department of Civil Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084,China)

In the problem of linear elasticity of variable stiffness beam,the solution of the deflection curve of static load is usually obtained by integral method or unit-load method.Based on the differential equation of the problem,this paper gives a new type of solution with Green function method to get the deflection curve of the variable stiffness beam.It can be seen from the derivation results that the formulas proposed in this paper have the characteristics of uniformity,accuracy,simplicity and suitable for computerization,which will have important application value for the analysis of the frame structure.

variable stiffness beam,deflection curve,Green function method

O342

A

10.6052/1000-0879-17-093

2017-03-22收到第1稿，2017-05-19收到修改稿.

1)劉勝來(lái)，碩士研究生，主要從事結(jié)構(gòu)工程與計(jì)算力學(xué)的研究.E-mail：liusl1992@sina.com

劉勝來(lái).變剛度梁撓度曲線的Green函數(shù)法求解.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(5):445-448 Liu Shenglai.Solution of de fl ection curve of variable sti ff ness by Green function method.Mechanics in Engineering,2017,39(5):445-448

(責(zé)任編輯:胡 漫)