聶小華 吳存利

(中國飛機強度研究所，西安710065)

考慮不確定性因素的有限元屈曲模型驗證

聶小華 吳存利1)

(中國飛機強度研究所，西安710065)

研究了考慮不確定性因素的有限元屈曲模型驗證和確認方法，提出了不確定參數(shù)選擇的相關(guān)性和敏度分析方法以及基于面積度量的模型評估方法.針對化銑整體壁板，開展了有限元屈曲模型驗證研究，首先利用8件試驗件，獲得了壁板屈曲載荷的試驗值，然后依據(jù)試驗加載情況，建立了考慮試驗臺的壁板有限元模型，最后利用面積度量方法對有限元模型進行了驗證和確認.本文的模型驗證和確認方法可為其他工程結(jié)構(gòu)開展類似的工作提供借鑒.

整體壁板,建模,模型驗證,不確定性,正態(tài)分布,面積度量

有限元仿真模型的驗證一直是工程技術(shù)人員感興趣的問題.近年來隨著虛擬試驗技術(shù)的發(fā)展和在工程中成功應用，有限元模型驗證更引起人們廣泛的關(guān)注. 一方面通過模型驗證保證虛擬試驗結(jié)果對物理系統(tǒng)或物理過程相關(guān)特性的定量估算是可靠的；另一方面為模型修正提供指導.關(guān)于模型驗證，最初主要集中在確定性結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)，利用物理試驗數(shù)據(jù)對有限元模型進行驗證和確認，然而，工程結(jié)構(gòu)中通常包含各種不確定性因素，如不同批次材料的彈性模量、密度參數(shù)，結(jié)構(gòu)制造和工藝引起的幾何尺寸允差，結(jié)構(gòu)的裝配允差，試驗中測量允差等,因而工程計算中所涉及的物理參數(shù)都具有某種程度上的不確定性.由于這些不確定性因素的存在，結(jié)構(gòu)響應預測變得更為復雜.為了使建立的有限元模型更符合工程實際，利用試驗數(shù)據(jù)對有限元模型驗證就應充分考慮結(jié)構(gòu)中各個不確定性因素，以及結(jié)構(gòu)物理試驗中的不確定因素.

目前，對于考慮不確定性因素的模型驗證，國外已開展了大量研究，發(fā)展了多種模型驗證方法.Ferson等[1]針對熱分析模型,提出了累積函數(shù)面積度量方法來驗證熱分析模型，Thacker等[2]系統(tǒng)討論了累積函數(shù)面積度量的方法，并介紹了Z度量的方法，Hills等[3]詳細研究了基于最大概似度量的模型驗證與評估方法，并討論了與其他度量方法的等效性,McFarlan等[4]研究了采用多響應量對模型驗證，并詮釋了采用多元統(tǒng)計的Hotelling’s T2檢驗來驗證模型,Roy等[5]從不確定參數(shù)來源、不確定參數(shù)結(jié)構(gòu)及傳播、模型驗證等方面進行了全面概述，并通過具體事例進行了說明.近年來隨著模型驗證技術(shù)的發(fā)展，國外又出版了這方面的專著[68]，制定了模型校核和驗證指南[910].對于考慮不確定性因素的模型驗證和確認，國內(nèi)也開展了相應的研究工作，主要集中在結(jié)構(gòu)動力模型[1112]，而對于靜力有限元模型，目前還未見有公開的資料.

本文研究了考慮不確定性因素的靜力有限元模型的驗證方法，討論了模型驗證和確認方法，包括模型不確定性參數(shù)選取的敏度分析方法，以及基于面積度量的模型驗證方法.針對化銑整體壁板，開展了模型驗證研究.首先通過 8件壁板試驗件，獲得了壁板整體失穩(wěn)載荷的試驗結(jié)果，然后依據(jù)試驗支持和加載方式，建立了化銑整體壁板有限元模型，最后利用面積度量方法完成了對有限元模型的驗證和確認.

1 考慮不確定因素的模型驗證方法

1.1 相關(guān)性和敏度分析

考慮不確定性因素的模型驗證，首先需要選擇不確定性參數(shù)，實際結(jié)構(gòu)含不確定性參數(shù)較多，這種不確定性包括幾何、材料、載荷、邊界條件，每一類不確定性對預測結(jié)果可能都有影響，為了尋找對預測結(jié)果影響較大的參數(shù)，需要進行相關(guān)性和敏度分析.

對多變量系統(tǒng)，傳統(tǒng)的敏度分析采用只變化一個參數(shù)，其他參數(shù)取恒定值的策略.這種方法得到的敏度值是一個局部值，不能衡量參數(shù)在整個取值范圍內(nèi)對系統(tǒng)響應的影響.本文對不確定性參數(shù)相關(guān)性和敏度分析，采用隨機分析方法，其過程如下.

假設有n個隨機參數(shù)，第i個隨機參數(shù)的均值和標準差為μi和σi,其第j個樣本可以表示為

式中，xij表示對第i個隨機參數(shù)的第j次抽樣，fi為第i個隨機參數(shù)的概率密度函數(shù),Rand[fi(μi,σi)]j表示對服從概率密度函數(shù)為fi的隨機變量第j次隨機抽樣.

對n個隨機參數(shù)分別進行m次抽樣，得到每個隨機參數(shù)的m個樣本，利用樣本通過模型計算，得到結(jié)構(gòu)響應值的m個樣本，即

獲得了隨機參數(shù)樣本和模型預測值的樣本，就可以利用統(tǒng)計方法分析隨機變量對模型預測值的相關(guān)性和敏度.相關(guān)性采用 Spearman秩系數(shù)[13]來度量.Spearman秩系數(shù)是用來考察分析參數(shù)在取值范圍內(nèi)的變化對輸出量的影響.第i個隨機參數(shù)與模型預測值的Spearman秩系數(shù)可寫為

式中，xij和yj為輸入變量和響應輸出變量，R(xij)和R(yj)為xij和yj在其樣本序列中的秩.

實際上Spearman秩系數(shù)是輸入和輸出參數(shù)之間相互關(guān)系的非線性度量，用于度量變量之間相互關(guān)系的強弱，在沒有重復數(shù)據(jù)的情況下，如果一個參數(shù)隨另一個參數(shù)的變化是嚴格單調(diào)的，則Spearman秩系數(shù)就是1或?1.系數(shù)為1意味著輸入?yún)?shù)和響應值為正相關(guān)，而?1為負相關(guān).在計算樣本秩時，如果某幾個樣本相同，則這些樣本的秩取其平均值.

響應量對輸入?yún)?shù)的敏度可以采用最小二乘法得到，第i個參數(shù)與響應量的相關(guān)系數(shù)是

式中,xij和yj分別為輸入變量和響應輸出變量，ˉxi為xij的均值，ˉy為yj的均值.

由式(4)計算的敏度值的大小與輸入?yún)?shù)的量級有關(guān)，比如材料的楊氏模量為100GPa，而泊松比為0.1，為了消除參數(shù)量級對敏度大小的影響，采用折算敏度量，即

相關(guān)性和敏度分析指明了模型對輸入?yún)?shù)的依賴性.它可以用來指導對模型不確定參數(shù)的選擇，數(shù)學模型對參數(shù)的依賴性也指明了物理系統(tǒng)對參數(shù)的依賴性.

1.2 模型驗證方法

對模型驗證，工程中通常采用4種方法：(1)假設檢驗；(2)貝葉斯方法；(3)均值比較；(4)面積度量方法.前3種方法都有其固有的缺點.例如假設檢驗先對所研究的問題作假設，然后根據(jù)某統(tǒng)計量的值，以及給定的顯著性水平進行檢驗，作出拒絕或接受的判斷，這與模型驗證有顯著區(qū)別，模型驗證是定量評估模型的精度.貝葉斯方法多用來對模型修正，而均值比較也只能是模型預測值和試驗值集中趨勢的比較，不能定量評估模型好壞.實際上，預測值概率分布包含了大量模型信息，利用預測值和試驗值的概率密度分布函數(shù)或累積分布函數(shù)來客觀地度量有限元模型逼近數(shù)學模型的程度是恰當?shù)?，于是面積度量方法被提出了[1]，并被進一步得到詮釋[10].

面積度量方法定義如下

式中，F(xiàn)mod(y)和Fexp(y)分別是模型預測值和試驗值的累積分布函數(shù)，μexp為試驗值的均值.上式積分的含義是模型預測結(jié)果與試驗結(jié)果累積分布函數(shù)曲線所圍成的面積，其值越小，表明模型越能模擬實際物理結(jié)構(gòu).

從式(6)可以看出，面積度量非負.如果模型預測值和試驗值的累積函數(shù)完全相同，面積度量值為零.對于模型確認的閾值，文獻 [10]建議 M閾值為0.1，即如果Marea≤0.1，模型通過驗證，即認為模型是合理的，否則模型不被認可.

2 化銑整體壁板屈曲有限元模型驗證

2.1 試驗研究

化銑整體壁板共 8件.試驗件構(gòu)型見圖 1,其中試驗件高度為典型的翼肋間距，未考慮蒙皮的曲率，試驗件高 h=300mm,蒙皮厚度 t=3mm,筋條間距 l=70mm,左右端加筋條距側(cè)邊距離都為l1=35mm.

圖1 試驗件構(gòu)型及尺寸

試件在25噸材料試驗機上進行端壓，材料試驗機的載荷精度為±1%.用千分表和位移傳感器測量試件的端部壓縮量和蒙皮、長桁的撓度.用YJD-1應變儀測量蒙皮，長桁的縱向壓縮和彎曲應變.試驗裝置見圖2.

圖2 試驗裝置

試件置于壓力機上、下兩臺面之間，采取平端壓方法.安裝時試件橫剖面形心對準壓力機壓力中心，并保證試件軸線與壓力機臺面垂直，試件兩端面與壓力機臺面貼合且平行.為了確定試件受載時的應力水平與臨界屈曲載荷，試件上貼有應變片(見圖1)，試件端部位移用百分表來測量.試驗時，先進行預試，加載至估算載荷的30%，進行應變、位移測量，分析試驗情況.在試件狀態(tài)滿足試驗要求的情況下，進行正式試驗，分級加載，進行應變、位移測量和變形觀察，直至試件失穩(wěn)破壞為止，記錄失穩(wěn)載荷.

從試驗中觀測到8件試驗件均因整體失穩(wěn)而導致破壞，破壞前蒙皮無明顯局部失穩(wěn)波形，高載時，壁板呈柱狀彎曲，突然總體破壞.

圖3給出了試驗應變隨載荷的變化圖.從圖3可見，試驗件前后面相同位置的應變(1對1?，2對2?，3 對 3?，4 對 4?)以及左右應變 (1?，2?對 3?，4?)的測量值存在著明顯的差異，這是由壁板的初曲度，端面與試驗機臺面不垂直導致壓力不均勻造成的.

表1為試驗件屈曲載荷的試驗值.試驗結(jié)果較為分散，其原因大致有：(1)8件試驗件材料來自不同批次的材料，材料差異性引起試驗結(jié)果差異；(2)工藝引起化銑厚度差異；(3)壓力不均勻.

圖3 試驗應變

表1 化銑整體壁板試驗結(jié)果

2.2 有限元建模研究

對化銑整體壁板屈曲載荷分析，首先需要建立有限元模型.由于屈曲載荷與模型的邊界條件、網(wǎng)格密度和單元選擇有關(guān)，因此建模時重點考慮載荷施加、邊界約束和網(wǎng)格劃分和單元選取等因素.

2.2.1 載荷施加

載荷施加要考慮兩方面因素，一方面需要合理地模擬試驗加載的平端壓方法，另一方面要考慮試驗件端頭的不平度對載荷分配的影響.為了能真實地模擬試驗加載情況，對壓力機臺面的部分結(jié)構(gòu)也建立有限元模型，并在模型的上方選取兩個點作為載荷加載點，這兩個點應在同一個水平面上，且分別應在二分之一試驗件形心延長線上，利用多點約束建立加載點和上臺面的剛體約束.圖4為載荷施加示意圖.

圖4 載荷施加示意圖

如果施加的總載荷為 p，則作用在兩個加載點上的載荷為

式(7)和式(8)中，η為載荷分配系數(shù)，η取0.5時，模擬載荷均勻加載；η取其他值，模擬載荷不均勻加載.

2.2.2 邊界約束

邊界約束施加也應模擬試驗件真實支持情況，由于試驗時采用平端壓方法，壓力機臺面和試驗件端面只有z的負方向運動，因此，對試驗件和壓力機臺面施加約束如下.將試驗件上端頭的加筋和蒙皮內(nèi)側(cè)邊固定在壓力機上臺面，對壓力機臺面施加x向和y向的約束.對于試驗件下端面，約束端面上所有z向位移、蒙皮內(nèi)側(cè)邊y向位移和形心點的x位移.這里只對端頭蒙皮的內(nèi)側(cè)邊施加y向約束，其目的是釋放蒙皮端面的面外變形.

2.2.3 材料屬性

由于試驗件在材料線性范圍內(nèi)發(fā)生整體屈曲，因此有限元建模時只考慮材料的線性特性.試驗件材料為Ly12cz，取其彈性模量E為75.362GPa，泊松比μ為0.291.壓力機臺面為30CrMnSiNi2A鋼，材料彈性模量為196GPa，泊松比為0.3.

2.2.4網(wǎng)格劃分和單元選擇

在結(jié)構(gòu)屈曲分析計算中，網(wǎng)格的尺度顯著影響著計算結(jié)果的精度.Lynch系統(tǒng)地研究了機身加筋板離散化為曲殼元時，單元尺度對解的收斂性的影響[14].研究表明解的收斂性對網(wǎng)格尺度的要求跟元素類型有密切關(guān)系.對化銑整體壁板建模，采用實體單元.下面利用已有理論解的四邊簡支板來確定厚度方向劃分為一個單元時，利用商用Abaqus軟件來研究其他方向單元尺度對解的收斂性的影響.

取試驗件1/4蒙皮來研究線性元(C3D8R)和二次元(C3D20R)的尺度對屈曲載荷的影響.圖5為四邊簡支蒙皮示意圖，圖6為計算結(jié)果.從圖 6可知，隨著蒙皮長度和寬度方向單元數(shù)增加，采用兩種單元的計算結(jié)果都收斂到解析解.對于C3D20R元素，采用較粗的網(wǎng)格就能收斂到理論解.因此對整體壁板蒙皮建模，采用C3D20R元.

圖5 1/4蒙皮

圖6 單元個數(shù)對計算結(jié)果影響

采用Abaqus軟件前置界面對整體壁板建模，將筋條和蒙皮分開來建，然后利用 tie命令將筋條和蒙皮綁在一起.為了獲得較高精度的計算結(jié)果，蒙皮劃分為40×40×1網(wǎng)格.筋條也采用C3D20R元模擬，為了不造成單元形狀的畸變，對筋條剖面劃分時忽略了尖角，見圖7，將剖面劃分8份，見圖8，在長度方向劃分為40個單元.

圖7 筋條簡化

圖8 筋條剖面劃分

對于與整體壁板連接的壓力機結(jié)構(gòu)，采用C3D8R體元來離散化. 整個模型共有 1632個C3D20R單元，240個 C3D8R單元.試驗件與連接結(jié)構(gòu)的有限元模型見圖9.

圖9 整體壁板與連接結(jié)構(gòu)有限元模型

2.3 模型驗證

模型驗證是通過度量計算結(jié)果與試驗結(jié)果一致性來實現(xiàn)的.利用已有的試驗數(shù)據(jù)，通過統(tǒng)計方法來驗證有限模型，在模型驗證中充分考慮試驗和建模中一些不確定因素.這些不確定因素包括測量誤差、設計允差、制造允差等.為了有效地對模型評估，首先需要分析試驗和模型中一些不確定量對預測結(jié)果的相關(guān)性及敏度，采用式(3)的Spearman秩方法和式(4)的最下二乘方法來研究屈曲載荷對不確定參數(shù)的相關(guān)性和敏度，然后利用式(6)的面積度量方法對模型驗證.

2.3.1 不確定參數(shù)對屈曲載荷相關(guān)性和敏度

不確定參數(shù)主要包括載荷系數(shù)η、板的厚度t、筋條寬度b、材料的彈性模量E和泊松比ν，工程分析中認為這些隨機參數(shù)服從正態(tài)分布.表2依據(jù)工程經(jīng)驗給出這些隨機量的均值、變異系數(shù)、標準差以及取值區(qū)域.

表2 隨機變量統(tǒng)計性質(zhì)和取值范圍

采用300組隨機參數(shù)樣本進行分析，每個隨機參數(shù)的樣本可通過蒙特卡洛方法抽樣得到.由于這些參數(shù)都認為服從正態(tài)分布，在實際操作中,只要知道均值u和標準差σ，就可利用函數(shù)Random.gauss(u,σ)隨機產(chǎn)生服從均值為u和標準差為σ的樣本.圖10給出了屈曲載荷隨不均勻載荷系數(shù)、結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)和材料性能的變化關(guān)系.圖中的均值線的斜率可以看作是屈曲載荷對每個變量的敏度.表3也給出了這些隨機參數(shù)對屈曲載荷相關(guān)性系數(shù)和敏度值.從表3和圖10可以看出，相對于載荷系數(shù)和材料泊松比，板的厚度、筋條寬度和材料的彈性模量對屈曲載荷具有較大的相關(guān)性和敏度，這說明整體壁板的屈曲載荷對這些參數(shù)有較大的依賴性.因此，對模型驗證，只考慮板的厚度、筋條寬度和材料的彈性模量的不確定性.

圖10 屈曲載荷對各隨機量的敏度

表3 隨機變量的相關(guān)性和敏度

2.3.2 考慮不確定性因素的有限元模型驗證

對模型驗證，需要知道模型預測值和試驗值的累積分布函數(shù) (cumulative distribution function,CDF)，然后利用式(6)來計算二者圍成的面積，再計算 Marea，如果 Marea≤0.1，可認為模型是合理的，即認為模型能反映試驗件真實剛度以及支持狀態(tài).

(1)模型預測值的累積分布函數(shù)

由于壓力不均勻性以及材料泊松比的不確定性對整體加筋板屈曲載荷影響甚微，在模型驗證中，只考慮材料的彈性模量、板的厚度、筋條寬度作為結(jié)構(gòu)的隨機參數(shù)，3個隨機參數(shù)的統(tǒng)計特性由表2給出.利用Random.gauss函數(shù)獲得這3個隨機變量的樣本，將每組樣本代入到參數(shù)化的有限元模型中，通過計算獲得試驗件整體屈曲載荷預測值.

選取400組樣本進行隨機有限元計算，獲得400個壁板整體屈曲載荷樣本值.將樣本值從小到大分成20個區(qū)間，每個區(qū)間間距為2kN，計算落在每個區(qū)間載荷的頻數(shù)，得到屈曲載荷與各區(qū)間頻數(shù)圖，見圖11.

圖11 屈曲載荷的柱狀分布圖

圖11顯示，在板的厚度、筋條寬度和材料的彈性模量服從正態(tài)分布的情況下，加筋板的整體屈曲載荷也服從正態(tài)分布.因此，可認為模型預測值累積函數(shù)為正態(tài)累積函數(shù).

(2)試驗值的累積分布函數(shù)

試驗值的統(tǒng)計分布采用兩種方法給出.一種方法是將化銑整體壁板試驗結(jié)果視為服從高斯分布.利用表 1的 8個試驗值，計算高斯分布的均值和標準差.另一種方法是，構(gòu)造非減的階梯函數(shù)Sn(x)為試驗值累積分布函數(shù)[1]，Sn(x)表達式為

式中，n為試驗值樣本總數(shù)，而I(xi,x)為

實際上，在構(gòu)造Sn(x)時，假設了每次試驗值的概率為1/n,也意外著Sn(x)每次在縱軸上升幅度為1/n.由兩種方法給出的試驗累積分布函數(shù)見圖12.

圖12 兩種方法給出的試驗累積分布函數(shù)

(3)模型驗證和確認

通過計算模型預測值和試驗結(jié)果的累積分布函數(shù)圍成的面積實現(xiàn)對模型評估和確認，如圖 13所示. 圖 13(a)是假定試驗值累積分布函數(shù)為高斯的情況，而圖 13(b)為階梯分布的情況. 對于圖13(a),計算得到面積度量值為Marea=0.006；對于圖 13(b)，計算得到 Marea=0.011.M閾值取 0.1，顯然Marea＜M閾值，表明本文的屈曲分析模型是合理的.

圖13 試驗和預測的CDF及其所圍的面積

圖13 試驗和預測的CDF及其所圍的面積(續(xù))

3 結(jié)論

本文詳細研究了考慮不確定因素的有限元屈曲模型驗證技術(shù)，討論了不確定參數(shù)選取的相關(guān)性分析和敏度分析方法，以及基于面積度量的模型驗證方法.以整體加筋板為例說明了模型驗證和確認的過程.縱觀全文，可以得到如下結(jié)論.

(1)文中提出的考慮不確定因素的有限元模型驗證方法，可以有效地對靜力有限元模型進行確認.模型驗證中充分考慮了建模過程和物理試驗中的一些不確定因素，借用概率統(tǒng)計方法對模型的可靠性進行評價，避免因不確定因素干擾對模型可靠與否作出錯誤的判斷.

(2)不確定參數(shù)的選擇可采用相關(guān)性分析或敏度分析來實現(xiàn).利用相關(guān)性或敏度分析，選取對模型預測結(jié)果影響較大的參數(shù)，而剔除影響小的參數(shù).

(3)面積度量方法可以有效地對模型進行評估，通過模型預測值和試驗值的累積分布函數(shù)實現(xiàn)對模型的驗證.

考慮不確定因素的模型驗證技術(shù)需要大量的試驗數(shù)據(jù)，以及多次重復的有限元建模工作，因此需要建立試驗數(shù)據(jù)庫，并開展參數(shù)化建模的研究.另外，面積度量方法是利用單響應預測值模型進行評估，還不能用于多響應預測值，因此需要發(fā)展多響應預測值模型評估技術(shù).

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VALIDATION AND CONFIRMATION OF STATIC FINITE ELEMENT MODEL BY CONSIDERING UNCERTAINTIES

NIE Xiaohua WU Cunli1)
(Aircraft Strength Research Institute of China，Xi’an 710065，China)

The finite element static models are validated by considering uncertain factors.The concepts of the correlation and the sensitivity in selecting uncertain parameters are proposed,as well as a general area metric,to validate finite element models.The model of an integrated stiffened panel is used to demonstrate the validation approach.The physical tests of the integrated stiffened panels are carried out to obtain the buckling loads.The finite element model is built with consideration of the stiffened panel and the test-bed.The reliability of the model is assessed against the experimental data by using the area metric.The validation approach in this paper can be used for similar engineering cases.

integrated stiffened panels,modeling,model validation,uncertainty,normal distribution,area metric

V258.3

A

10.6052/1000-0879-17-047

2017-02-15收到第1稿，2017-03-16收到修改稿.

1)吳存利，研究員，博士，主要從事計算結(jié)構(gòu)力學和飛機強度計算技術(shù)的研究.E-mail:cunli888@sina.com

聶小華,吳存利.考慮不確定性因素的有限元屈曲模型驗證.力學與實踐,2017,39(5):460-467 Nie Xiaohua,Wu Cunli.Validation and con fi rmation of static finite element model by considering uncertainties.Mechanics in Engineering,2017,39(5):460-467

(責任編輯:周冬冬)