方文川

（漳州第一中學(xué)，福建 漳州 363000）

動態(tài)平衡問題的解題策略

方文川

（漳州第一中學(xué)，福建 漳州 363000）

動態(tài)平衡問題是學(xué)生學(xué)習(xí)靜力學(xué)過程中遇到的一個重要題型，它是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的重點也是難點問題。這種題型的特點是因物體位置的變化引起其它相關(guān)物理量的變化，一般都有“緩慢”變化的字眼。文章從動態(tài)平衡的特征入手，全面系統(tǒng)地談靜力學(xué)中動態(tài)平衡問題的解題策略，讓學(xué)生學(xué)會思考，進(jìn)而提升物理學(xué)科素養(yǎng)。

動態(tài)平衡；解題策略；解析法；圖解法；相似三角形法

一、一般動態(tài)平衡問題的分析

1.處理一般動態(tài)平衡問題的基本方法

處理動態(tài)平衡問題的基本方法主要有三種：解析法（公式法）、圖解法、相似三角形法。具體選擇什么方法應(yīng)根據(jù)問題的特征進(jìn)行選擇。有的題目可能有多種解法，有的題目則適合采用其中的一種方法，而教師解決問題的策略就是能夠根據(jù)問題的特征選擇最簡單有效的方法。下面根據(jù)物體受力的特征分類討論：

（1）物體受兩個力且有兩個力總垂直

例題1【2016·全國Ⅱ卷】質(zhì)量為m的物體用輕繩AB懸掛于天花板上。用水平向左的力F緩慢拉動繩的中點O，如圖1所示。用T表示繩OA段拉力的大小，在O點向左移動的過程中

A.F逐漸變大，T逐漸變大B.F逐漸變大，T逐漸變小C.F逐漸變小，T逐漸變大D.F逐漸變小，T逐漸變小

分析與解答：解題首先要把握住題眼，本題的題眼有“緩慢”字眼，又結(jié)合題目的物理情景易知本題屬于動態(tài)平衡問題。

對O點受力分析可知：O點受三個力，如圖2所示：

解法一：根據(jù)O點受力特征：發(fā)現(xiàn)其中F與mg這兩個力方向總是垂直，本題可用解析法解答如下。

由圖2采用正交分解法可得：Tcosθ=mg，Tsinθ=F.

由O點緩慢向左可知：θ增大，cosθ減小，T增大；tanθ增大，F(xiàn)增大，因此選A。

解法二：由題給條件可知：重力大小和方向均不變且F的方向不變，本題也可用圖解法。

圖解法解題的要點是先找出題目中的不變量，畫圖過程中要確保不變量得到體現(xiàn)，同時還要確保

方向變化趨勢的分析是準(zhǔn)確的。

如圖3所示，先把三個力平移到一個三角形上，其次確保重力大小和方向均不變且F的方向不變，最后T與mg的夾角不斷變大，可得新的三角形中F與T均變大，如圖4因此選A。

本題的兩種方法解題各有優(yōu)點，公式法的推理嚴(yán)密，容易理解和接受，但計算較為繁瑣；圖解法

顯得簡單明了，但矢量三角形容易畫錯，特別是矢量三角形如何體現(xiàn)題干中的不變量。

（2）物體受三個力，任意兩個力并未總是垂直

例題2【2013·天津卷】如圖5所示，小球用細(xì)繩系住，繩的另一端固定于O點?，F(xiàn)用水平力F緩慢推動斜面體，小球在斜面上無摩擦地滑動，細(xì)繩始終處于直線狀態(tài)，當(dāng)小球升到接近斜面頂端時細(xì)繩接近水平，此過程中斜面對小球的支持力FN以及繩對小球的拉力FT的變化情況是

A.FN保持不變，F(xiàn)T不斷增大B.FN不斷增大，F(xiàn)T不斷減小

C.FN保持不變，F(xiàn)T先增大后減小D.FN不斷增大，F(xiàn)T先減小后增大

對小球受力分析可知：小球受三個力，如圖6所示

易發(fā)現(xiàn)隨著斜面向左運動，小球緩慢上升，三力中的其中兩力并未始終垂直，不宜用解析法，但重力大小和方向均不變且FN的方向不變，宜用圖解法較為方便。圖解法過程分析同例題1。

由圖7可知FT先減小后增大，F(xiàn)N一直增大。因此選D

例題3【2015秋·淮南期末】如圖8，一輕桿BO，其O端用光滑鉸鏈鉸于固定豎直桿AO上，B端掛一重物，且系一細(xì)繩，細(xì)繩跨過桿頂A處的光滑小滑輪，用力F拉住．現(xiàn)將細(xì)繩緩慢往左拉，使桿BO與桿AO間的夾角θ逐漸減小，則在此過程中，拉力F及桿BO所受壓力FN的大小變化情況是

A.FN先減小，后增大

B.FN始終不變

C.F先減小，后增大

D.F逐漸減小

對結(jié)點B受力分析可知：結(jié)點B受三個力，如圖9所示：

通過三個力方向的分析可知本題三力中有兩力方向一直在變，本題宜用相似三角形法。

設(shè) AB=l，AO=H，BO=L，把 B 結(jié)點所受三力平移到同一個三角形，可以發(fā)現(xiàn)力的矢量三角形與幾何三角形 △AOB相似，如圖10，由此可得：

（3）物體受三個力以上

例題4【2017·德陽模擬】如圖11所示，某人通過光滑的定滑輪拉住一重物，當(dāng)人向右跨出一步后，人與物體仍保持靜止，則下列說法正確的是

A.人對繩子的拉力增大

B.地面對人的支持力不變

C.地面對人的摩擦力減小

D.人對地面的作用力增大

析與解：本題的題眼是“當(dāng)人向 右跨出一步后，人與物體仍保持靜止”，由題目的物理情景易知本題屬于動態(tài)平衡問題。

通過對重物分析可知：繩子拉力T=mg（mg為重物的重力），因此繩子拉力不變，A錯；

對人進(jìn)行受力分析如圖12：由于受力超過三個，宜選擇正交分解法解題。

水平：Tcosθ；豎直：Tsinθ+N=Mg（Mg為人的重力）。

人向右跨出一步可知，θ變小，cosθ變大，而T不變由水平平衡方程可知f變大，因此C錯；θ變小，sinθ變小，而T與Mg不變由豎直平衡方程可知N變大，因此B錯；人對地面的作用力即為人對地的壓力和摩擦力的矢量和與N和f的合力方向等大反向，N和f均與變大且夾角不變，其合力變大，因此D正確。本題答案為D。

2.處理一般動態(tài)平衡問題的思路總結(jié)

處理一般動態(tài)平衡問題一般是先選擇好研究對象，其次對研究對象進(jìn)行受力分析，再根據(jù)研究對象受力的個數(shù)按以下原則選擇解決問題的方法。

（1）若物體受力只有三個的情況下：①物體所受的其中兩個力總是垂直，可以用解析法（公式法）；②若未滿足①的特征，仍用解析法解題在數(shù)學(xué)運算上將帶來很大的麻煩，此時若有其中一個力大小、方向均不變，且另一個力的方向不變，則宜用圖解法；③若未滿足①②兩個特征，則宜用相似三角形法解題更方便。

（2）若物體受力超過三個，則宜用解析法（公式法）

二、動態(tài)平衡問題的兩類特殊模型

1.滑輪或掛鉤類

此類模型的特點：滑輪或掛鉤兩側(cè)繩子的拉力大小總是一樣，平衡時兩側(cè)繩子與水平夾角一樣，兩側(cè)繩子的總長不變。設(shè)兩側(cè)繩子長度分別為l1，l2，與水平夾角為θ1和θ2，兩側(cè)繩子的水平距離為d，則有：

力學(xué)關(guān)系：水平：Facosθ1=Fbcosθ2

∵ Fa=Fb∴ θ1= θ2

豎直：Fasinθ1+Fbsinθ2=jg綜合以上關(guān)系有：2Fsinθ=mg

幾何關(guān)系：總長：l=l1+l2；繩子兩端點水平距離d=l1cosθ1+l2cosθ2=lcosθ.

例題5【2017·天津卷】如圖14所示，輕質(zhì)不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點，懸掛衣服的衣架鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止?fàn)顟B(tài)。如果只人為改變一個條件，當(dāng)衣架靜止時，下列說法正確的是

A.繩的右端上移到b′，繩子拉力不變

B.將桿N向右移一些，繩子拉力變大

C.繩的兩端高度差越小，繩子拉力越小

D.若換掛質(zhì)量更大的衣服，則衣架懸掛點右移

【答案】AB

析與解：本題的題眼是衣架鉤是“光滑”的，繩子是“不可伸長”，滿足上述模型的基本特征。

設(shè)兩桿間距離為d，繩長為l，Oa、Ob段長度分別為l1和l2，則l=l1+l2，兩部分繩子與豎繩與水平方向夾角分別為θ1和θ2，受力分析如圖15。由繩子中各部分張力 相 等 Fa=Fb=F ，有 θ1=θ2。同 時 滿 足 2Fsinθ=mg …①l1cosθ+l2cosθ=lcosθ=d …②AC選項中，d和l均不變，由得 θ不 變 ，又 由知，F(xiàn)不變，因此A正確，C錯誤；B選項N右移，d增大，l不變，由②式可得cosθ增大，sinθ減小，由①式可得F增大，因此B正確，D錯誤，應(yīng)往左邊移動。

2.兩個力方向的夾角總是不變的

此類模型的特點是物體受三個力，有一個力大小和方向均不變且另兩個力的方向夾角總是不變。解決問題的策略是：如果這兩個力夾角總是垂直，宜用解析法（公式法）較為方便，若不垂直，用解析法將會帶來大量繁雜數(shù)學(xué)運算，此時宜用圖像法（作輔助圓）［2］，但是這種題型的圖解法并不像前面基本題型的圖解法那么容易，而要利用的圓的一個重要性質(zhì)來作圖，即圓里面同一條弦所對應(yīng)的圓周角是不變的，也就是要在同一個圓里面去畫三角形以確保這個模型里面有一個力大小方向均不變且另兩個力方向的夾角不變。

例題6．【2017·新課標(biāo)Ⅰ卷】如圖16，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另一端N。初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之保持夾角α不變。在OM由豎直被拉到水平的過程中

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

析與解：本題題眼是“緩慢”拉起，保持夾角α不變，滿足上述模型特征。而且α≠π/2，宜用圖解法。

以重物為研究對象，物理受三個力，其中mg大小方向均不變，而OM繩上的拉力F2與MN上拉力F1夾角總是α。由平衡條件可知三力合力為零，三力構(gòu)成封閉三角形且其中兩力夾角不變。利用圓的性質(zhì)：圓里面同一條弦所對應(yīng)的圓周角是不變的，作出圖17可知：

在F2轉(zhuǎn)至水平的過程中，MN上的張力F1逐漸增大，OM的張力F2先增大后減小，因此AD正確。

例題7．【2017·山西大同聯(lián)考】一鐵球懸掛在OB繩的下端，輕繩OA、OB、OC的結(jié)點為O，輕繩OA懸掛在天花板上的A點，輕繩OC拴接在輕質(zhì)彈簧測力計上。第一次，保持結(jié)點O位置不變，某人拉著輕質(zhì)彈簧測力計從豎直位置緩慢轉(zhuǎn)動到水平位置，如圖18甲所示，彈簧測力計的示數(shù)記為F1。第二次，保持輕繩OC垂直于OA，緩慢釋放輕繩，使輕繩OA轉(zhuǎn)動到豎直位置，如圖18乙所示，彈簧測力計的示數(shù)記為F2。則

A.F1恒定不變，F(xiàn)2逐漸增大

B.F1、F2均逐漸增大

C.F1先減小后增大，F(xiàn)2逐漸減小

D.F1逐漸增大，F(xiàn)2先減小后增大

析與解：兩個過程均有“緩慢”字眼，由題中情景可知兩個過程均屬于動態(tài)平衡問題。

題圖甲中，OA與OC的合力與重力等大反向，且保持不變，OA的方向不變，滿足一般動態(tài)平衡問題中的第二種特征宜用圖解法（如圖19），通過畫平行四邊形可知，當(dāng)OC順時針轉(zhuǎn)動到水平位置時，F(xiàn)1先減小后增大。題圖18乙中，設(shè)OA繩與豎直下行為θ，因為OA與OC垂直，且合力與重力等大反向，由公式法可得，F(xiàn)2＝mgsin θ，根據(jù)題意，隨著θ的減小，F(xiàn)2逐漸減小，故選項C正確。題圖18乙同時也滿足兩力方向夾角總是不變的特點，亦可用輔助圓畫圖得到結(jié)果（如圖20）。因此本題選C。

總之，處理力學(xué)動態(tài)平衡問題時，先判斷題目所給的物理模型特征，若是一般的動態(tài)平衡問題則應(yīng)該按處理一般動態(tài)平衡問題的方法去做；若滿足文章所述的后面兩種特殊模型，宜用后面的方法解決。復(fù)習(xí)過程中要讓學(xué)生學(xué)會準(zhǔn)確建立物理模型，根據(jù)物理模型的特征選用相應(yīng)的解題方法，做到事半功倍，提高學(xué)習(xí)效率；要培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維，提高學(xué)生解決物理問題的能力，把提高學(xué)生的物理學(xué)科素養(yǎng)落到實處。

［1］彭前程.積極探索基于核心素養(yǎng)理念下的物理教學(xué)［J］.中學(xué)物理，2016（2）.

［2］彭立君.利用“輔助圓”巧解一類動態(tài)平衡問題［J］.物理教學(xué)探討，2016（12）.

福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2017年度課題“基于核心素養(yǎng)的高中物理教學(xué)策略的研究”（項目準(zhǔn)號：FJJKXB17-470）。

（責(zé)任編輯：詹國榮）