任芬芳，汪曉勤，陳玲玲

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美國早期數(shù)學(xué)教科書中的極限概念

任芬芳1，2，汪曉勤3，陳玲玲4

（1．華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200241；2．浙江師范大學(xué)行知學(xué)院，浙江金華 321004；3．華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院，上海 200062；4．上海市朱家角中學(xué)，上海 201713）

圍繞“極限概念”這一主題，考察了1870—1939年間出版的92種美國數(shù)學(xué)教科書，發(fā)現(xiàn)書中的極限定義分成動態(tài)、靜態(tài)、動靜結(jié)合3類；大多數(shù)為描述性定義，少部分為形式化定義．對照歷史上數(shù)學(xué)家給出的極限定義得出結(jié)論：70年間，數(shù)學(xué)教科書中的極限概念的演變過程是極限概念歷史發(fā)展過程的一個縮影．

早期數(shù)學(xué)教科書；極限的定義；極限的歷史；認(rèn)識論障礙

1 引 言

17世紀(jì)，牛頓（Isaac Newton，1643—1727）、萊布尼茨（G. W. Leibniz，1646—1716）創(chuàng)立了微積分，但牛頓發(fā)表的微積分論文由于不嚴(yán)密而受到質(zhì)疑．直到19世紀(jì)柯西（A. L. Cauchy，1789—1857）創(chuàng)立極限理論，才為微積分打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，完善了微積分．沒有極限，微積分岌岌可危．若對極限沒有深刻的認(rèn)識，也就不可能透徹地理解微積分的本質(zhì)，因此，極限理論的學(xué)習(xí)是微積分學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，而極限概念（尤其是它的分析定義）的教學(xué)則是微積分教學(xué)的難點(diǎn)之一．

著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家克萊因（M. Kline，1908—1992）曾指出：“每一位中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該知道數(shù)學(xué)史；有許多理由，但最重要的一條理由或許是：數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南．”[1]研究概念的歷史、確定其發(fā)展緩慢和產(chǎn)生困難的時期有助于指明認(rèn)識論障礙的存在[2]．對產(chǎn)生于18世紀(jì)的極限概念來說，19、20世紀(jì)的數(shù)學(xué)教科書能很好地體現(xiàn)其發(fā)生、發(fā)展的規(guī)律．為了更好地進(jìn)行極限理論教學(xué)，圍繞極限概念這個主題，以極限的描述性定義為主要研究對象，對美國20世紀(jì)中葉以前出版的數(shù)學(xué)教科書進(jìn)行考察，試圖回答以下問題：92種教科書有哪些極限定義？這些定義是如何演變的？有何特征？與歷史上的極限概念有何聯(lián)系？

2 研究對象

選取20世紀(jì)中葉之前出版的92種美國數(shù)學(xué)教科書進(jìn)行研究．其中，代數(shù)教科書有25種（其中13種用于大學(xué)，其余用于中學(xué)．因查閱美國大學(xué)相關(guān)數(shù)學(xué)教科書，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)沒有出現(xiàn)極限定義，而是直接使用極限概念，故將這13種大學(xué)代數(shù)教材一起討論），幾何教科書有67種（均用于中學(xué)）．主要作者有：G. A. Wentworth（1835—1906）、D. E. Smith （1860—1944）、W. Wells（1851—1916）等．若以10年為一段，圖1給出了各教科書的時間分布情況．

圖1 92種教科書的時間分布

在92種教科書中，極限概念散見于各種不同知識點(diǎn)的章節(jié)中，并沒有很明確的歸屬．

就25種代數(shù)教科書而言，所在章節(jié)大致可以分為“零與無窮”、“級數(shù)與極限”、“變量與極限”、“函數(shù)與極限”、“極限”及“線性方程”6類，詳見表1．

表1 極限概念在25種代數(shù)教科書中的章節(jié)分布

可以發(fā)現(xiàn)，“變量與極限”這一章節(jié)所占比例最高，為44%；在有關(guān)章節(jié)的標(biāo)題中出現(xiàn)“極限”的教科書共計(jì)20種，占80%，但極限內(nèi)容單獨(dú)成章的教科書僅有5種．

就67種幾何教科書而言，所在章節(jié)大致可以分為“圓與圓的度量”、“比與比例”、“極限理論”、“量”、“多面體、圓柱、錐體”及“附錄”6類，詳見表2．

表2 極限概念在67種幾何教科書中的章節(jié)分布

很明顯，“圓與圓的度量”所占比例最高，為70%，遠(yuǎn)高于第二位的“比與比例”；而極限內(nèi)容單獨(dú)成章的教科書僅有4種，占6%．

92種教科書中章節(jié)標(biāo)題涉及“極限”的并不多，共24種，僅占26.1%．

統(tǒng)觀92種教科書中的極限概念，其呈現(xiàn)方式分為5種：直接給出定義，先給引例再給定義，先給定義再給例子，引例、定義、例子3者皆有，只有描述沒有定義．

圖2 極限概念在92種教科書中呈現(xiàn)方式分布

如圖2所示，先給定義再給例子的方式所占比例最高，為68.5%；僅給出定義的教科書所占比例也不少，為16.3%．

3 極限定義的類型

3.1 分 類

統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，92種教科書給出的極限定義主要可分成3類：第一類是動態(tài)的描述，“變量越來越接近或趨近常量”，稱為“動態(tài)定義”；第二類則是靜態(tài)的描述，“變量與常量的差小于任意給定的數(shù)”，稱為“靜態(tài)定義”；第三類則把兩者結(jié)合起來使用，在一個定義中既有“趨近”也有“差”，稱為“動靜結(jié)合定義”．此外，其中兩種教科書并未給出明確的定義，只是用引導(dǎo)性的描述語言闡述“極限概念”．

表3列舉了92種教科書中所出現(xiàn)的3類定義的典型形式，其中動態(tài)定義5個、靜態(tài)定義4個、動靜結(jié)合定義7個．

表3 92種教科書中出現(xiàn)的極限定義的典型形式

下面給出“沒有明確定義”的“極限概念”：

（1）提問什么是變量、常量．

（2）給出例①：點(diǎn)在線段上移動，第一秒到達(dá)中點(diǎn)，第二秒到達(dá)剩下一半的中點(diǎn)，第三秒到達(dá)剩下四分之一的中點(diǎn)……隨后提出3個問題：產(chǎn)生了哪兩個不同的距離；距離接近哪個距離，何時達(dá)到；距離接近哪個距離，何時達(dá)到．例②：將分?jǐn)?shù)改寫成一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)、……隨后提問：每次改寫對小數(shù)的值有什么影響，接近多少；每次改寫對與小數(shù)的差有什么影響，接近多少．

（3）提問什么是變量的極限、上極限、下極限．

（4）變量可以與它的極限接近到什么程度．

（5）繼續(xù)舉例：①一個長方形的短邊連續(xù)變化，問哪些邊是變量，極限是多少；角是變量嗎，極限是多少；面積受到什么影響，極限是多少？為什么逐漸減小的邊不能變成零？②圓內(nèi)接正多邊形（如正方形或等邊三角形），二等分每段弧，并連接成弦，得到兩倍邊數(shù)的內(nèi)接正多邊形，類似地得到四倍、八倍、……邊數(shù)的圓內(nèi)接正多邊形，問變量的最終形式與極限．

（6）提及有時變量不能無限接近極限，如上述圓內(nèi)接多邊形的例子倒過來．

上述提問并沒有給出答案，也沒有給出具體定義，只是引導(dǎo)學(xué)生慢慢了解什么是“變量的極限”．但毫無疑問，這個過程蘊(yùn)含了極限概念．

3.2 分 布

3類定義的總數(shù)基本持平，個別教科書出現(xiàn)兩類定義，其中動態(tài)定義27個，靜態(tài)定義33個，動靜結(jié)合定義37個．圖3是3類定義的具體時間分布，以10年為分布單位．

如圖3所示，92種教科書的極限概念開始于動態(tài)定義，結(jié)束于靜態(tài)定義．前后各20年的教科書數(shù)量較少，重點(diǎn)考察中間30年，即1890—1919．有一個很明顯的現(xiàn)象：1890—1899這10年動態(tài)定義多于其它兩種定義，1900—1909這10年3種定義差不多，而1910—1919這10年動態(tài)定義少于其它兩種定義．

圖3 3類定義的時間分布

3類定義中既有純文字的“描述性定義”，也有字母、符號表示的“形式化定義”．圖4呈現(xiàn)的是這些教科書中極限定義的演變過程，圖5是這些定義的數(shù)量分布．

圖4 極限定義的演變

圖5 極限定義的數(shù)量分布

第一個動態(tài)定義出現(xiàn)在1872年，出自塔班（E. T. Tappan, 1824—1888）的《平面與立體幾何》[6]，是描述性定義．1904年出現(xiàn)形式化定義，即：當(dāng)接近定值，且-任意小時，無限接近定值l，那么l稱為當(dāng)趨近時的極限．該定義出自查理·斯密（C. Smith，1844—1916）的《初等代數(shù)》[20]，是全部動態(tài)定義中唯一一個形式化定義．

第一個靜態(tài)定義出現(xiàn)在1885年，即：當(dāng)變量的值能用一系列確定的區(qū)間測量并持續(xù)進(jìn)行時，與給定常數(shù)的差小于任意給定的量，無論多小，但不能完全等于這個常數(shù)，這個常數(shù)稱為變量的極限，出自溫特沃斯（G. A. Wentworth, 1835—1906）的《平面與立體幾何基礎(chǔ)》[9]，是描述性定義．1904年出現(xiàn)形式化定義，即：變量按一個給定的無窮序列改變，如果差保持小于每個給定的正數(shù)，那么被稱為接近極限，出自范（H. B. Fine，1858—1928）的《范氏大代數(shù)》[19]．1909年出現(xiàn)了含有“差的絕對值”的形式化定義，即：假定常數(shù)和變量在變化時滿足保持小于任意給定數(shù)(>0)，那么稱趨近極限，出自里茨（H. L. Rietz，1875—1943）與克雷索恩（A. R. Crathorne，1873—1946）的《大代數(shù)》[22]．靜態(tài)定義中共有5個形式化定義，其中兩個使用“”，3個使用“”或等價形式．這些形式化定義均出現(xiàn)在代數(shù)教科書中，但沒有必然規(guī)律．

而第一個動靜結(jié)合定義出現(xiàn)在1880年，即：一個量按照一定的規(guī)律接近某個確定的量，如果第一個量可以無限接近但不能達(dá)到第二個量，那么第二個量（不變的量）稱為第一個量（變量）的極限，出自布拉德伯里（W. F. Bradbury，1829—1914）的《初等幾何》[7]，也是描述性定義，比第一個靜態(tài)定義早5年．1899年出現(xiàn)形式化定義，即：變量越來越接近一個常數(shù)，與的差保持小于任意給定的量，那么稱為的極限，出自比曼（W. W. Beman，1850—1922）的《新平面與立體幾何》[15]．動靜結(jié)合定義中共有5個形式化定義，其中兩個出現(xiàn)在代數(shù)教科書中，3個出現(xiàn)在幾何教科書中；且與前面兩類不同，首次出現(xiàn)形式化定義是在幾何教科書中．

綜上，描述性定義貫穿整個考察年代，而形式化定義雖有出現(xiàn)，卻寥寥無幾．

3.3 釋 例

由于極限概念難以理解，絕大多數(shù)教科書都給出了具體的例子對極限定義加以闡釋，根據(jù)這些例子的特征將其分成4類．

3.3.1 “芝諾悖論”型

即：動點(diǎn)沿著線段從點(diǎn)往點(diǎn)運(yùn)動，首先到達(dá)的中點(diǎn)，再到達(dá)的中點(diǎn)，然后到達(dá)的中點(diǎn)……在這個運(yùn)動過程中，動點(diǎn)所經(jīng)過的距離趨近于線段的長度，即線段長度就是距離的極限．

這類例子出現(xiàn)在絕大多數(shù)教科書中，與中國古代《莊子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”有異曲同工之妙，不論哪一類定義都可以使用．上述形式常用于闡釋動態(tài)定義或動靜結(jié)合定義．

而教科書中出現(xiàn)的這類例子還有兩種形式：

（2）將一個長方形二等分，其中之一再二等分，再取其一二等分，……依次類推，小長方形的面積依次是原長方形面積的,,,, …，可以小于任意所給定的常數(shù)．這種形式出現(xiàn)較少，用于闡釋幾何教科書中動態(tài)定義．

3.3.2 “無限小數(shù)”型

3.3.3 “圓的度量”型

首先指出圓內(nèi)接（外切）正多邊形（如正方形或等邊三角形）將圓分成若干等弧，二等分每段弧，并連接弦，得到兩倍邊數(shù)的內(nèi)接正多邊形；重復(fù)這個過程，依次得到四倍、八倍……邊數(shù)的內(nèi)接（外切）正多邊形．緊接著問產(chǎn)生了哪些變量，這些變量的極限是多少．如圓周長、圓面積、圓半徑分別是圓內(nèi)接（外切）多邊形周長、面積、邊心距的極限，等等．

這類例子主要用于闡釋在與圓相關(guān)的章節(jié)中出現(xiàn)的極限定義，以動靜結(jié)合定義為主；既有正多邊形“接近”圓的過程，也有相應(yīng)兩個量的“差”可以小于任意給定的量．

3.3.4 “幾何元素”型

主要有以下幾種情況：

（1）長方形的短邊連續(xù)變化，問邊、角、面積的極限分別是多少？并提出一個很關(guān)鍵的問題：“為什么逐漸減小的邊不能變成零？”

（2）增大等腰三角形的兩腰長，則兩底角不斷增大，趨近直角，但是不能取到直角，這個過程中兩底角的極限是直角．

（3）增大直角三角形的其中一條直角邊，則其對應(yīng)的角不斷增大，趨近直角，但是不能取到直角，這個過程中該銳角的極限當(dāng)然也是直角．

這類例子主要用于闡釋動態(tài)定義，涉及幾何圖形（圓除外）的元素，出現(xiàn)在幾何教科書中，強(qiáng)調(diào)“動”的過程．

綜上，4類例子與定義類型有一定的相關(guān)性．如“一尺之棰”型可靜可動，不同的形式對應(yīng)不同的定義類型．

此外，這4類例子均符合定義中的“變量與常量不能相等”這一點(diǎn)，或許是人們認(rèn)為“變量不能等于極限”的原因之一．

4 討 論

4.1 數(shù)學(xué)家給出的極限定義

古希臘詭辯學(xué)派的安提豐（Antiphon，公元前426—公元前373）在解決“化圓為方”的問題時提出如下方法：作圓內(nèi)接正方形，將邊數(shù)加倍，得內(nèi)接正八邊形；再將邊數(shù)加倍，得內(nèi)接正十六邊形……；依此類推，最后正多邊形窮竭了圓．后來阿基米德將其發(fā)展為“窮竭法”，是極限思想的萌芽．當(dāng)時的“極限”觀念是純幾何的，而目前常用的極限概念是數(shù)量的[26]．

公元18世紀(jì)，隨著微積分的創(chuàng)立，數(shù)學(xué)家們對極限概念開始進(jìn)一步討論．微積分的基礎(chǔ)薄弱，究其原因是算術(shù)觀念與幾何觀念的混雜，這也是牛頓與萊布尼茲工作中許多含糊不清的根源[26]．直到19世紀(jì)，柯西將極限概念明確為算術(shù)的[26]，并建立極限理論，才為微積分奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

極限概念從最初的“幾何”觀念轉(zhuǎn)變?yōu)楹髞淼摹皵?shù)量”觀念，這一事實(shí)與92種教科書中幾何教科書居多相符．

在微積分創(chuàng)立前后的數(shù)個世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們曾經(jīng)給出的、較有代表性的極限定義有：

1655年，英國數(shù)學(xué)家沃里斯（J. Wallis，1616—1703）在《無窮小算術(shù)》中提出了函數(shù)極限的算術(shù)概念：它是被函數(shù)逼近的數(shù)，使得這個數(shù)和函數(shù)之間的差能夠小于任一指定的數(shù)，并且當(dāng)過程無限地繼續(xù)下去，差最終將消失[27]．

1735年，英國數(shù)學(xué)家羅賓斯（B. Robins，1707—1751）在《論艾薩克·牛頓爵士的流數(shù)法以及最初比與最終比方法的本質(zhì)與可靠性》一書中這樣定義極限：當(dāng)一個變量能以任意接近程度逼近一最終的量（雖然永不能絕對等于它），我們定義這個最終的量為極限[28]．

1821年，法國數(shù)學(xué)家柯西在《分析教程》中寫道：當(dāng)一個變量逐次所取的值無限趨近一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就有多小，這個定值就叫做所有其它值的極限[29]．

約1860年，德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（K. W. T. Weierstrass，1815—1897）認(rèn)為上述定義不夠明確而給出了現(xiàn)在所使用的定義：如果給定任何一個正數(shù)，都存在一個正數(shù)，使得對于區(qū)間內(nèi)的所有都有，則說在處有極限[29]．

可以發(fā)現(xiàn)，這4個的極限定義包括了動態(tài)、靜態(tài)及動靜結(jié)合定義；先有描述性定義，再有形式化定義；從有記載的極限定義演變?yōu)殪o態(tài)形式化定義跨越了兩百多年，如圖6所示．

圖6 數(shù)學(xué)家的極限定義

羅賓斯給出的定義強(qiáng)調(diào)了變量與其極限不能相等，有38.7%的教科書的定義也體現(xiàn)了這一點(diǎn)；創(chuàng)立了極限理論的柯西所給出的極限定義是動態(tài)描述性定義；97個定義中只有11個形式化定義，但與維爾斯特拉斯的定義相比還是有所欠缺的．

教科書中極限定義的演變體現(xiàn)了極限概念的歷史演變過程．

4.2 極限概念的認(rèn)識論障礙

極限概念在歷史上有4大認(rèn)識論障礙[2]：（1）數(shù)形未能結(jié)合；（2）無窮大和無窮小的概念；（3）極限概念的定義形式；（4）極限能否取到？下面結(jié)合教科書中的極限概念對這4大認(rèn)識論障礙進(jìn)行分析．

（1）早期教科書所用的闡釋定義的例子基本上是“路歸路，橋歸橋”，幾何教科書用幾何例子，代數(shù)教科書用代數(shù)例子．即使代數(shù)教科書的定義用幾何例子來闡釋，也沒有將其轉(zhuǎn)換成代數(shù)形式，基本沒有實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”．

究其緣由，或是因?yàn)榘严鄳?yīng)的幾何例子代數(shù)化并不容易，且用描述性語言來說明定義更容易讓學(xué)習(xí)者接受．

（2）動態(tài)定義一般用“越來越接近”或“趨近”這類詞來表示變化過程，只有兩個定義例外，一個用“足夠的步數(shù)”、而另一個定義用“無窮多個連續(xù)的值”．而靜態(tài)定義一般用“無論多小”或“小于任意給定的量”來表示變量與其極限的差．說明早期教科書避免出現(xiàn)“無窮大”和“無窮小”的概念．

（3）從極限定義形式的演變來看，總共3類97個定義中，描述性定義占有絕對優(yōu)勢，且貫穿始終．形式化定義首次出現(xiàn)在1899年，在考察的這些定義中出現(xiàn)較早，但其后處于弱勢，隨機(jī)出現(xiàn)，總共只有11個．67種幾何教科書總共只有3個形式化定義，而代數(shù)教科書1903年才出現(xiàn)形式化定義，但稍晚的代數(shù)教科書基本上都采用了形式化定義．

（4）92種教科書中最早出現(xiàn)的極限定義強(qiáng)調(diào)“變量不能達(dá)到常量”，即變量不能等于極限，共有36種教科書提及，占38.7%．這點(diǎn)隨著時間的推移慢慢弱化、定義中不再要求，但闡釋定義仍然是“不能相等”的例子，容易產(chǎn)生誤解．

因此，92種教科書中呈現(xiàn)的極限定義特征及其釋例體現(xiàn)了歷史上人們對極限概念的4大認(rèn)識論障礙．

5 結(jié)論與啟示

綜上所述，早期教科書中的極限定義可以分成動態(tài)定義、靜態(tài)定義、動靜結(jié)合定義3類．這3類定義在數(shù)量上相差不大．這些定義大多數(shù)為描述性定義，且貫穿始終；少部分為形式化定義，零星點(diǎn)綴．整體來看，92種教科書中呈現(xiàn)的極限定義及其特征體現(xiàn)了人們對極限概念的不同理解．

基于以上分析得到如下啟示．

（1）對教科書編寫的啟示．

（2）對教學(xué)要求的啟示．

從極限思想的萌芽到極限理論的建立經(jīng)歷了數(shù)千年，那么多偉大的數(shù)學(xué)家對極限尚不能很快融會貫通，對學(xué)生當(dāng)然也不能操之過急．92種教科書中出現(xiàn)的極限定義不完善的地方，如“變量與極限的差小于任意給定的常數(shù)”、“變量不能等于它的極限”、沒有涉及“某一變化過程”等，其實(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)極限概念時容易出現(xiàn)的錯誤．了解了這些教科書中的極限定義以后，也就知道學(xué)生出現(xiàn)的這些錯誤是很正常的．在了解學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的前提下，在教學(xué)中對這些地方需要特別關(guān)注．

（3）對教學(xué)設(shè)計(jì)的啟示．

教科書的定義呈現(xiàn)方式中有示例（包括引例和舉例）的占84%，而極限定義的理解又是一個難點(diǎn)，所以不論教科書中采用何種形式，在教學(xué)設(shè)計(jì)時可以采用“引例+定義+舉例”的形式．引例可以幫助學(xué)生對極限有一個初步的了解，形成概念雛形；隨后給出極限定義，幫助學(xué)生對極限有一個統(tǒng)籌的觀點(diǎn)，并與自己形成的概念雛形加以比較；而后舉例說明，幫助學(xué)生理解極限定義、并修正自己的概念雛形，最終將極限定義內(nèi)化．

英國數(shù)學(xué)家德摩根（A. De Morgan，1806—1871）強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)中的歷史次序，認(rèn)為教師在教代數(shù)時，不應(yīng)該一下子把新符號都解釋給學(xué)生，而應(yīng)該讓學(xué)生按歷史順序去學(xué)習(xí)符號[3]．雖然早期教科書中的極限概念還不是很完善，但正是這種不完善，才更符合人們的認(rèn)知過程，據(jù)此可以確定學(xué)生對極限概念理解的認(rèn)識論障礙．從極限思想的初步萌芽，到柯西初步創(chuàng)立極限理論，再到數(shù)學(xué)教科書的出版，歷經(jīng)數(shù)千年的時間，仍然沒有、的影子，那么要讓學(xué)生們短短數(shù)十分鐘掌握“”語言并不是一件容易的事情．美國早期數(shù)學(xué)教科書是一面鏡子，從中折射出人們理解極限概念的困難，據(jù)此完全可以預(yù)測、并深刻理解今日課堂上學(xué)生的學(xué)習(xí)困難．

[1] 汪曉勤，歐陽躍．HPM的歷史淵源[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003，12（8）：24-27．

[2] David Tall.[M]. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1991.

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Limit Concept in the Early American Mathematical Textbooks

REN Fen-fang1, 2, WANG Xiao-qin3, CHEN Ling-ling4

(1. Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. Xingzhi College Zhejiang Normal University, Zhejiang Jinhua 321004, China;3. Teacher Education College, East China Normal University, Shanghai 200241, China;4. Shanghai Zhujiajiao Secondary School, Shanghai 201713, China)

In this paper, the definitions of limit in 92 American mathematical textbooks published before the middle of the 20th century are examined. It was found that there are three types of definitions of limit: dynamic, static and mixed and the majority of them are descriptive definitions. Compared with the definitions given by mathematicians, the evolution of the concept of limit was just a miniature of its long history.

early mathematics textbooks; definition of limit; history of the concept of limit; epistemological obstacles

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

G40-059.3

A

1004–9894（2017）04–0038–06

2017–03–20

上海市教育科學(xué)研究項(xiàng)目——中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的有效設(shè)計(jì)，子課題——中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中數(shù)學(xué)文化素材的案例設(shè)計(jì)（D1508）；浙江省2014年高等學(xué)校訪問學(xué)者專業(yè)發(fā)展項(xiàng)目——HPM視角下的微積分教學(xué)研究（FX2014008）

任芬芳（1982—），女，浙江東陽人，華東師范大學(xué)博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究．