李 娜，楊 帆

(南開大學 哲學院， 天津 300350)

一種模糊集合論的公理化方法

李 娜，楊 帆

(南開大學 哲學院， 天津 300350)

模糊集合論是模糊理論的數(shù)學基礎，其公理化可以從不同的邏輯語言出發(fā)。經(jīng)典邏輯是較為簡潔的一種方法。夏平基于扎德的模糊集概念創(chuàng)立了第一個公理化模糊集合論Za。這個公理化是ZF的。將它擴張為NBG是一種自然的考慮。這樣的擴張將作為從非經(jīng)典邏輯如模糊邏輯出發(fā)建立集合論的一個基礎。

模糊集合論；公理化；NBG

Abstract: Fuzzy set theory (FST) is the foundation of fuzzy theory. The axiomatization of FST is almostly based on varieties of logic languages. Classical logic is a concise approach. Chapin gave the first axiomatization of FST named Za based on Zadeh’s concept of fuzzy sets. Za is a ZF-like axiomatization and an extension to NBG shall be discussed naturally. The extension will be a foundation of those constructions of set theory based on non-classical logic, such as fuzzy logic.

Keywords: fuzzy set theory; axiomatization; NBG

模糊集合論是美國工程學家扎德(Zadeh)于1965年創(chuàng)立的[1]，隨后發(fā)展出了模糊數(shù)學理論，并在幾十年間取得了巨大進展，現(xiàn)已與工程、計算機等領域密不可分。

對模糊集合論進行公理化研究，能夠促進我們更好地把握模糊數(shù)學的性質(zhì)，從而將定理和命題等形式化，夯實模糊數(shù)學的理論基礎。我們都知道，康托的樸素集合論，正是經(jīng)過策梅羅(Zermelo)和弗蘭克爾(Frankle)等人的公理化形成的ZF系統(tǒng)，才使得集合論能夠更為廣泛地運用和影響到現(xiàn)代數(shù)學中去。同樣，從模糊集合論到模糊數(shù)學，也需要公理化。

一、公理化的考量

首先對模糊集合論進行公理化的是夏平(Chapin)[2-3]。他考察了扎德的模糊集理論，發(fā)現(xiàn)扎德對屬于關系∈持有“沒有與其在經(jīng)典集理論中相同作用”的觀點?；诖?，他從一個屬于關系∈出發(fā)，構造了一個類似于ZF的理論。

夏平定義一個屬于關系∈是一個三元關系∈(x,y,z)，表示x是y的元素，其隸屬度至少為z，即[x∈y]≥z。在此基礎上，他給出了一系列公理。這些公理有ZF中的外延公理、空集公理、對集公理、并集公理、無窮公理、替換公理、冪集公理、正則公理，以及選擇公理和其他3個他單獨給出的公理：

(1)關系公理，保證了∈接受y中x的隸屬度，也接受所有“更小”的值，即如果x是y的元素的程度至少為z且w比z“更小”(包含于)，那么x是y的元素的程度也至少為w；

(2)非平凡公理，說明了可能的隸屬度并非僅有空集。

(3)積公理，ZF理論中的笛卡爾積可以定義出來，而在這個理論中所有序?qū)Χ际菢藴实?，就不能通過笛卡爾積是PP(x∪y)的子集來得到。

值得注意的是，一些關于集合存在的公理是以不同強弱度給出的。一種聲稱冪集的存在，使得其成員都有最大隸屬度；另一種則聲稱集合的存在，使得它們的成員有合適的非最小隸屬度。相應地得出了Za及其擴張Za+，及二者加上選擇公理的ZaC和Za+C。同時，夏平給出了基于此理論的一些代數(shù)運算等。

可惜的是，他并沒有給出承諾的自然數(shù)、序數(shù)和基數(shù)理論。顯然這些理論的缺失使得夏平的公理化模糊集合論并不完整。不過，他對謂詞的率先定義卻啟發(fā)了很多學者的思路，之后的大多理論都基于夏平的理論而進行。后來，塔米爾(Tamir)等人提出可以從NBG(von Neumann-Bernays-G?del Set Theory)的角度對模糊集合論公理化的思路[4]，不過他們僅僅給出了一些定義和陳述性的分析，并未實際實現(xiàn)。

迄今為止，國內(nèi)外對于模糊集合論的公理化，尚未形成一個達成一致的系統(tǒng)，眾說紛紜，各有側(cè)重。與從非經(jīng)典邏輯出發(fā)去建構非經(jīng)典集合論來拯救集合論的目的不同，模糊集合論的出現(xiàn)本身是為了補充關于扎德的模糊集概念而興起的，對其公理化的邏輯選擇也并非完全依賴于非經(jīng)典邏輯。模糊集合論的公理化有多種方法，根據(jù)使用的邏輯不同，我們可以分為經(jīng)典方法(即使用一階邏輯作為語言)和非經(jīng)典方法(即使用多值邏輯、模糊邏輯、乘積邏輯等作為語言)。本文在塔米爾等人的設想基礎上，將夏平的方法進行推廣，給出一個基于NBG的公理化理論。這是經(jīng)典方法的一個推廣。

二、一種NBG公理化方法

首先的問題在于謂詞∈的定義。近年來，貝侯內(nèi)克(Běhounek)等人選擇將夏平的三元關系中表示隸屬度的第三元“隱藏”為元語義層面[5]。不過，模糊集合論中的核心概念并非模糊集本身，而是元素對于模糊集的隸屬程度。將隸屬度單獨考慮在某種程度上是必要的。所以，這里我們的定義仍然是三元謂詞?！?X,Y,Z)表示X按隸屬度Z屬于Y，或者X屬于Y的程度為Z，即[X∈Y]=Z。

這定義了類和集合。我們之后用大寫字母X,Y,Z,…,表示類變元，用小寫字母x,y,z,…,表示集合變元。X是一個類，記作Cls(X)。如果一個類按任意的隸屬度屬于一個類，那么它就是一個集合，記作M(X)。不是集合的類就是真類(記作Pr(X))。

定義2.2Dg(X)=(?Y)(?Z)(∈(Y,Z,X))

這定義了度(degree)，一個類是一個度當且僅當它在關系∈中處于第三元。此后，我們可以將其記作Dg(X)。

這定義了空類，以后我們也將Em(X)方便地記作?。

下面我們給出5組公理。這里的公理雖然是由哥德爾(G?del)給出的形式[6]，但由于模糊集合的存在，會有些不同。

A1:Cls(x)

A3:(?Z)(?Y)(∈(X,Y,Z))→M(X)

A4:(?X)(?Y)((?u)(∈(u,X,W)?∈(u,Y,W))→X=Y)

A5:(?x)(?y)(?W)(?z)((∈(u,z,W)∧W≠?)?u=x∨u=y)

公理A1斷言，每一個集合都是一個類。公理A2是新增加的，它確保了隸屬度不只有?。公理A3說的是，如果一個類按任意的隸屬度屬于一個類，那么它就是一個集合。公理A4即類的外延公理，集合的外延公理可以由A3得到。公理A5是無序?qū)?，z稱作x和y的無序?qū)Γ涀鱷x,y}。由無序?qū)?，我們有下面的定義：

定義2.4{x}={x,x}

定義2.5〈x,y〉={{x},{x,y}}

[x,y]稱作x和y的序?qū)Α?/p>

定理2.6〈x,y〉=〈u,v〉→x=u∧y=v

定理的證明與通常NBG中的證明沒有區(qū)別，故此略去。

定義2.6〈x,y,z〉=〈x,〈y,z〉〉

定義2.7〈x1,x2,…,xn〉=〈x1,〈x2,…,xn〉〉

定義2.8X?Y?(?Z)(?W)(∈(Z,X,W)→∈(Z,Y,W)),X?Y?X?Y∧X≠Y

這里給出了包含關系和真包含關系。

B1:(X)(?x)(?y)(?Y)(?w)(∈(〈x,y〉,X,Y)∧Y≠?→∈(x,y,w)∧w≠?)

B2:(X)(?Y)(?Z)(?x)(?W)(?W′)(?W″)(∈(x,Y,W)∧W≠?∧∈(x,Y,W′)∧W′≠?? ∈(x,Z,W′)∧W″?W∧W″?W′∧W″≠?)

B3:(?X)(?Y)(?x)(?W)(∈(x,Y,W)∧W≠??∈(x,X,?))

B4:(?X)(?Y)(?x)(?W)(∈(x,Y,W)∧W≠??(?y)(?W′)∈([y,x],X,W′)∧W′≠?)

B5:(?X)(?Y)(?x)(?y)(?W)(?W″)(∈([y,x],Y,W)∧W≠??∈(x,X,W′)∧W′≠?)

B6:(?X)(?Y)(?x)(?y)(?W)(?W″)(∈([x,y],Y,W)∧W≠??∈([y,x],X,W′)∧W′≠?)

B7:(?X)(?Y)(?x)(?y)(?z)(?W)(?W″)(∈([x,y,z],Y,W)∧W≠?? ∈([y,z,x],X,W′)∧W′≠?)

B8:(?X)(?Y)(?x)(?y)(?z)(?W)(?W′)(∈([x,y,z],Y,W)∧W≠?? ∈([x,z,y],X,W′)∧W′≠?)

這組公理是類存在公理。

C1:(?x)((?w)(∈(?,x,w)∧z≠?)∧(?y)(?w′)((∈(y,x,w′)∧w′≠?)→(?z)(?w″)(∈(z,x,w″)∧y?z∧w″≠?)))

C2:(?x)(?y)(?z)((?w)(∈(z,y,w)∧w≠??z?x))

C3:(?x)(?y)(?z)(?w)(∈(z,y,w)?(?t)(?t′)(?t″)(∈(z,t,t′)∧∈(t,x,t″)∧w?t′∧w?t″))

C4:(?t1)(?t2)…(?tk)((?x)(?!y)An(x,y;t1,t2,…,tk)→(?u)(?v)((?w)(?r)(w≠?→(∈(r,v,w)?(?s)(∈(s,u,w)∧An(s,r;t1,t2,…,tk))))))

這組公理是集合存在公理。公理C1是無窮公理，公理C2是冪集公理，公理C3是并集公理，公理C4是替換公理。這是由夏平給出的形式。

D:(?X)(X≠?→(?x)(?w)(∈(x,X,w)∧w≠?∧(?y)(?w′)(?w″)((∈(y,x,w′)∧w′≠?)∨(∈(y,X,w″)∧w″≠?))))

這條公理是類的正則公理。任意一個非空類X，它必定有一個模糊子集，而這個模糊子集與它沒有相同的元素。與ZF中的基礎公理不同，它要保證的是集合與類沒有相同元素。

E:(?X)((?x)(?y)(?z)(?w)(∈(〈x,z〉,X,w)∧∈(〈y,z〉,X,w)∧w≠?→x=y)∧(?x)(x≠?→(?y)(?t)(?t′)(∈(y,x,t)∧t≠?∧∈(〈y,x〉,X,t′)∧t≠?)))

可以看出，這條選擇公理與哥德爾給出的差別不大。

至此，我們已經(jīng)給出了所有的公理，將夏平的方法擴張到NBG系統(tǒng)中去。

三、結(jié)語

早期扎德提出模糊集后曾引起很大爭議，美籍華裔數(shù)學家王浩也因模糊理論沒有堅實的數(shù)學基礎而對其持懷疑態(tài)度。對模糊集合論進行公理化能讓我們較好地處理這些質(zhì)疑，即為模糊理論提供一個堅實的數(shù)學乃至哲學基礎考量。對比經(jīng)典數(shù)學(相較于模糊數(shù)學，也可稱為精確數(shù)學)及其基礎集合論，從集合論公理化角度為模糊數(shù)學搭建一個同樣的基礎，正是印證該考量的方法。將現(xiàn)有的一些ZF式模糊集合論擴張為NBG，也是對理論的完善和豐富。另一方面，雖然模糊數(shù)學已經(jīng)在應用中取得較大成功，其某些基礎概念的定義仍不太明確，建立統(tǒng)一的、作為基礎的集合論也可以化歸這些定義。使用經(jīng)典邏輯是比較簡化的一種形式，這種形式將模糊集中的隸屬度看作是三元關系中的一元。在邏輯語言選擇上，還可以選取多值邏輯語言或者特定的模糊邏輯語言，這會在以后的文章中詳細探討。

[1] ZADEH L A.Fuzzy sets[J].Information & Control,1965,8(3):338-353.

[2] CHAPIN E W.Set-valued set theory.I[J].Notre Dame Journal of Formal Logic,1975,15(4):619-634.

[3] CHAPIN E W.Set-valued set theory.II[J].Notre Dame Journal of Formal Logic,1975,16(4):255-267.

[4] TAMIR D E,ZHI-QIANG C,KANDEL A,et al.An axiomatic approach to fuzzy set theory[J].Information Sciences,1990,52(1):75-83.

[6] G?DEL K,BROWN G W.The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory[M].[S.l.]:Princeton University Press,1940.

(責任編輯張佑法)

AnApproachtotheAxiomatizationofFuzzySetTheory

LI Na, YANG Fan

(Philosophy College, Nankai University, Tianjin 300350, China)

B813

A

1674-8425(2017)09-0018-03

2017-05-24

國家社會科學基金重點項目“基于哲學邏輯的集合論研究”(16AZD036)

李娜(1958—)，女，河南開封人，教授，博士生導師，研究方向：現(xiàn)代邏輯。

李娜，楊帆.一種模糊集合論的公理化方法[J].重慶理工大學學報(社會科學)，2017(9):18-20.

formatLI Na, YANG Fan.An Approach to the Axiomatization of Fuzzy Set Theory[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2017(9):18-20.

10.3969/j.issn.1674-8425(s).2017.09.003