牛勇

【摘 要】本文對(duì)概率論課程教學(xué)中的概率公理化及性質(zhì)進(jìn)行詳細(xì)的探討，同時(shí)輔以若干例題 ?加深同學(xué)對(duì)公理化思想的認(rèn)識(shí)，并能靈活的運(yùn)用概率的相關(guān)性質(zhì)解決一些有趣的實(shí)際問(wèn)題，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也提升教學(xué)質(zhì)量。

【關(guān)鍵詞】概率論;公理化;古典概型

中圖分類(lèi)號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2019）14-0109-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.14.051

Some Thoughts on the Teaching of Probability Axiomatization and its Properties

NIU Yong

（Department of Mathematics and Physics，Hefei University， Hefei Anhui 230601， China）

【Abstract】In this paper， we make a detailed discussion on the axiomatization and nature of probability in the course of probability theory teaching， with some examples to deepen the students' understanding of the axiomatization idea， and to use the relevant nature of probability flexibly to solve some interesting practical problems. As a result， it improve students interest in learning and the quality of teaching.

【Key words】Probability theory; Axiomatic; Classical probability

概率是一門(mén)古老的學(xué)科，一般認(rèn)為它是在17世紀(jì)中葉由研究賭博問(wèn)題而誕生，但是作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，直到20世紀(jì)中葉，它都沒(méi)有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。期間許多學(xué)者提出了各種各樣的概率的定義，如古典概率、幾何概率等等，但是它們都有自己的缺陷性。直到20世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家勒貝格提出著名的勒貝格測(cè)度及積分理論，才使得概率論有了建立嚴(yán)密數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的工具。受到希爾伯特在1900年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上建議用數(shù)學(xué)的公理化方法推演全部物理內(nèi)容，首當(dāng)其沖就是概率和力學(xué)。1933年，前蘇聯(lián)著名學(xué)者柯?tīng)柲缏宸蛲ㄟ^(guò)對(duì)與實(shí)變函數(shù)中相關(guān)概念內(nèi)比的方式建立概率論公理化體系，并迅速得到承認(rèn)，這是概率論歷史上非常重要的里程碑，從此概率作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支也有了嚴(yán)密數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，從而更好地促進(jìn)概率及相關(guān)學(xué)科的飛速發(fā)展。但是，對(duì)與一般普通院校的數(shù)學(xué)或統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)學(xué)生，測(cè)度及相關(guān)理論超過(guò)了他們的能力范圍，因此相應(yīng)的概率論教學(xué)中并非嚴(yán)格論述概率公理化的方法。處理的方式，類(lèi)似理工科概率統(tǒng)計(jì)的方式，先講簡(jiǎn)單的古典概率，進(jìn)一步再講幾何概率，最后講概率的公理化定義及相關(guān)性質(zhì)。但是作為數(shù)學(xué)或統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，概率的理論要求要更高，因此可以適當(dāng)?shù)丶尤胼^簡(jiǎn)單的域，概率測(cè)度的內(nèi)容，加深他們對(duì)概率本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。我院作為應(yīng)用型高校的典范院校，從2012年開(kāi)始進(jìn)行模塊化改革，為此我們深入的思考概率論相關(guān)模塊化改革問(wèn)題，并取得一定成果。本文我們以概率公理化及性質(zhì)這部分內(nèi)容來(lái)談?wù)劷虒W(xué)中一些設(shè)計(jì)和思考的問(wèn)題。

1 概率公理化

首先，概率的公理化定義如下：

設(shè)Ω是樣本空間，F(xiàn)是Ω的某些子集構(gòu)成的σ域，對(duì)任意A∈F，定義一個(gè)集函數(shù)P（A）滿足：

（1）非負(fù)性：P（A）>0;

（2）規(guī)范性：P（Ω）=1;

（3）克列可加性：設(shè)A1，A2，…，An，…是一列兩兩互不相容事件，則：

則：稱(chēng)P（·）是定義在（Ω，F(xiàn)）上的概率（測(cè)度）[1]。

根據(jù)上面三條基本公理很容易推出概率的一些有用的性質(zhì)。例如在（3）中，另所以事件Ai=？覫，容易得到P（？覫）=0。再帶入（3）中，可以得到概率具有有限可加性。即設(shè)A1，A2，…，An是n個(gè)兩兩互不相容事件，則：P（ A ）= P（Ai）。結(jié)合在公理化教學(xué)之前的古典概率問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考為什么在公理化中要求的是更強(qiáng)的可列可加性而非有限可加的條件？其實(shí)在古典概率的教學(xué)中，就已經(jīng)提示了他的缺點(diǎn)，即樣本空間中只能有有限個(gè)樣本點(diǎn)，而實(shí)際中很多問(wèn)題樣本點(diǎn)都是無(wú)窮多個(gè)。從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，可列可加性來(lái)源于勒貝格測(cè)度在定義的時(shí)候是必須的，而我們公理化的實(shí)質(zhì)就是借鑒了實(shí)變函數(shù)中測(cè)度的處理方式。另一方面，有限可加性能否導(dǎo)出可列可加性呢？或者進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生，如果再加上什么條件就能使得二者等價(jià)呢？在教學(xué)的過(guò)程中，稍加引導(dǎo)不難得到相應(yīng)的結(jié)論。

首先，我們通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的反例，說(shuō)明有限可加是不能直接導(dǎo)出可列可加的，但是這種反例在一些院校的教學(xué)中較為缺乏。有鑒于此，我們構(gòu)造如下反例：

例1設(shè)F是Ω=[0，1）中的所有左閉右開(kāi)區(qū)間所生成的域，定義F上的集函數(shù)P（·）如下：如果存在a∈[0，1）使得[a，1）？哿A，則定義P（A）=1;否則，定義P（A）=0。容易驗(yàn)證，這樣的P（·）滿足非負(fù)性、規(guī)范性和有限可加性。但是，很顯然它不滿足可列克加性。實(shí)際上，我們?nèi)∈录嗀i=[1- ，1- ），i=1，2，…，n，顯然此時(shí)A1，A2，…，An是兩兩互不相容的。容易計(jì)算， A =[0，1），再根據(jù)P（·）的定義：P（ A ）=P（[0，1））=1;但是另一方面，P（Ai）=0，i=1，2，…，n，又可得P（ A ）=0，從而矛盾。因此集函數(shù)P（·）不滿足可列可加性。對(duì)與學(xué)有余力的同學(xué)，我們還可以進(jìn)一步分析在有限可加基礎(chǔ)上增加什么條件就能得到可列可加性。這需要進(jìn)一步引入概率的下連續(xù)性，即對(duì)與F上的集函數(shù)P（·），若對(duì)F的任意單調(diào)不減事件序列{An}，有： P（A ）=P（ A ）。有限可加性和下連續(xù)性綜合起來(lái)就和可列可加性等價(jià)，具體的證明也不難，可以根據(jù)課時(shí)和學(xué)生的掌握程度來(lái)確實(shí)是否在課堂上講授。這樣，學(xué)生對(duì)與這兩種可加性就有更深刻的認(rèn)識(shí)。

總得來(lái)說(shuō)，概率的公理化是建立在實(shí)變函數(shù)的基礎(chǔ)上，難點(diǎn)和要點(diǎn)就在于事件類(lèi)的選擇，如果事件選地過(guò)少，就相當(dāng)于定義域太小，不能滿足實(shí)際需要;如果里面的事件選取的過(guò)多，又可能導(dǎo)致無(wú)法給出一個(gè)不產(chǎn)生歧義的概率定義。因此最后，我們選擇包含所有我們關(guān)心得事件所構(gòu)成的σ域F，它保證事件的所有交、并、逆、差等運(yùn)算進(jìn)行可列次仍然封閉。這種對(duì)可列運(yùn)算封閉的集合類(lèi)，也暗示我們后面在定義概率的時(shí)候，需要滿足可列可加的性質(zhì)。

2 概率的性質(zhì)

在上面討論公理化的基礎(chǔ)上，很容易導(dǎo)出概率的一些性質(zhì)，這些性質(zhì)對(duì)與后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)以及之前的古典概型、幾何概型的計(jì)算都有重要的作用。在教學(xué)過(guò)程中，為了讓學(xué)生很好地掌握這些性質(zhì)，我們可以舉一些有代表性的例子來(lái)加以說(shuō)明，同時(shí)一些有趣的例子能更好地激發(fā)學(xué)生對(duì)概率的性質(zhì)。首先，我們列舉一下概率的主要性質(zhì)如下：

這些性質(zhì)還可以有進(jìn)一步導(dǎo)出次可加性和概率的單調(diào)性等，同時(shí)這里的內(nèi)容進(jìn)一步用到后面的條件概率、乘法公式，以及全概率公式和貝葉斯公式等相結(jié)合，會(huì)讓學(xué)生感覺(jué)公式太多，太復(fù)雜，在實(shí)際中不知道用哪個(gè)公式。為此，我們應(yīng)循序漸進(jìn)的推導(dǎo)這些性質(zhì)，并輔以適當(dāng)有趣的實(shí)例讓學(xué)生更好地掌握這里的內(nèi)容。下面我們舉兩個(gè)有趣的例子來(lái)說(shuō)明性質(zhì)（3）和（5）在實(shí)際中的應(yīng)用。

例2：（最大車(chē)牌號(hào)問(wèn)題）某城有N輛車(chē)，車(chē)牌編號(hào)從1到N，某人在去該城的途中把所遇到的車(chē)牌記下（可能號(hào)碼有重復(fù)），求抄到的最大號(hào)碼是k的概率（1≤k≤N）？

這個(gè)題目是典型的古典概型問(wèn)題，即每輛車(chē)號(hào)碼被抄下的概率相同。我們首先想到的是用排列組合的方法來(lái)計(jì)算，但是考慮到這些號(hào)碼的可重復(fù)性，直接就算較為困難。為此，我們換一個(gè)角度思考，如果我們考慮記下的號(hào)碼不超過(guò)k這樣的事件為Bk，則題目中抄到的最大號(hào)碼是這個(gè)事件就可以表示成Bk與Bk-1兩個(gè)事件差。即，如果記事件抄到的最大號(hào)碼是k為Ak，則Ak=Bk-Bk-1，且Bk-1？哿Bk。顯然，P（Bk）= ，再更加性質(zhì)（3）容易得到P（Ak）= 。這個(gè)題目很有意思，在二戰(zhàn)的時(shí)候，盟軍用它來(lái)估計(jì)德國(guó)的軍火生產(chǎn)能力，具體來(lái)說(shuō)可以從繳獲的坦克的號(hào)碼、擊毀坦克的號(hào)碼、以及運(yùn)輸中抄下的坦克編號(hào)就能得這里所謂的k，而P（Ak）可以利用統(tǒng)計(jì)中的序貫分析的方法加以估計(jì)，這樣就可以把這里的N大致的反解出來(lái)，從戰(zhàn)后披露的數(shù)據(jù)看，當(dāng)時(shí)的推斷較為準(zhǔn)確的，取得較好效果。[3]

例3：（匹配問(wèn)題）某人一次寫(xiě)了n封信，并準(zhǔn)備n個(gè)信封。如果他隨機(jī)的將n封信裝入n個(gè)信封，問(wèn)至少有一封信的裝對(duì)的概率是多少？

這個(gè)題目也是古典概型問(wèn)題，很多同學(xué)看到題目以后很快會(huì)想到用對(duì)立事件來(lái)處理，至少有一封信的裝對(duì)的反面是沒(méi)有一封信裝對(duì)，但問(wèn)題是沒(méi)有一封信裝對(duì)這樣一個(gè)事件也是無(wú)法直接計(jì)算的。因此，我們要想辦法轉(zhuǎn)化原有的問(wèn)題，把上述事件分解成一些簡(jiǎn)單的事件再加以計(jì)算。這里關(guān)鍵在于至少有一封信的裝對(duì)如何換一個(gè)角度去表達(dá)。結(jié)合和事件的定義，如果我們記Ak表示第k封信裝對(duì)，則 Ai即為至少有一封信裝對(duì)這個(gè)事件，然后再用一般的加法公式就可以得到相應(yīng)結(jié)果。此時(shí)容易計(jì)算，P（Ai）= = ，P（AiAj）= = ，…，P（A1A2…An）= 。

利用一般的加法公式，易得：

3 小節(jié)

概率公理化一直以來(lái)都是概率論教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，它是整個(gè)概率論大廈的基礎(chǔ)，因此很重要，同時(shí)由于它是建立在抽象的測(cè)度和積分基礎(chǔ)上，從而又是較難掌握的內(nèi)容。我們?cè)趯?shí)際的教學(xué)中，因從簡(jiǎn)單的古典概型、幾何概型慢慢地過(guò)渡到概率的公理化，對(duì)與其中的抽象的測(cè)度和積分可稍加介紹，同時(shí)也可以反過(guò)來(lái)用公理化去解釋之前的古典概型和幾何概型。通過(guò)這種循序漸進(jìn)，實(shí)例引導(dǎo)的方式，幫助學(xué)生深入理解公理化的思想，并能靈活的運(yùn)用概率的性質(zhì)，解決實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)習(xí)的興趣和教學(xué)質(zhì)量。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李賢平.概率論基礎(chǔ)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]茆詩(shī)松，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]魏宗舒，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2008.