沈 君，苗俊紅

(海南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 海南 海口 571158)

基于模糊判斷矩陣的兩種排序方案

沈 君，苗俊紅

(海南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 海南 ?？?571158)

模糊判斷矩陣的一致性有兩種定義,一種是將滿足加性傳遞性的模糊判斷矩陣稱為一致性判斷矩陣，另一種是將滿足乘性傳遞性的模糊判斷矩陣稱為一致性判斷矩陣，在這兩種一致性意義下研究模糊判斷矩的排序問題，各給出一種排序計算方法，并用實例驗證了方法的有效性。

模糊判斷矩陣；排序向量；權(quán)重

一、引 言

層次分析法(AHP法)在多屬性決策中有非常重要的地位，它可以對決策方案進行綜合排序或確定屬性的權(quán)重。決策者把對屬性或方案的偏好信息數(shù)量化，構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣。判斷矩陣分為互反判斷矩陣和模糊判斷矩陣兩種類型，相對于互反判斷矩陣，模糊判斷矩陣在屬性兩兩重要性的比較上更合理，更符合人類思維判斷的一致性[1][2][3]。模糊一致矩陣在模糊綜合評判、權(quán)重分析、系統(tǒng)分析和系統(tǒng)評價等軟科學中得到廣泛應(yīng)用。近年來，模糊矩陣排序研究成為研究熱點，取得了豐碩研究成果。

文獻[4],文獻[5]，文獻[6]分別提出了中轉(zhuǎn)法，最小方差法和權(quán)的最小平方法及特征向量法求解模糊判斷矩陣排序；文獻[7]提出了模糊判斷矩陣的最小一乘、文獻[8]提出了用最小偏差法確定模糊判斷矩陣排序；文獻[9]通過構(gòu)造函數(shù)，將模糊判斷矩陣轉(zhuǎn)化為AHP判斷矩陣來獲得排序；文獻[10]提出了模糊判斷矩陣的集成方法；還有學者提出了二次規(guī)劃和非線性規(guī)劃的方法排序。

模糊判斷矩陣的一致性概念不只一種。目前,模糊判斷矩陣的一致性有兩種定義,一種是將滿足加性傳遞性的模糊判斷矩陣稱為一致性判斷矩陣，另一種是將滿足乘性傳遞性的模糊判斷矩陣稱為一致性判斷矩陣，本文在這兩種一致性意義下研究模糊判斷矩陣排序問題，各給出了一種排序計算方法，并用實例驗證了方法的有效性。

二、基本概念

定義2.1 設(shè)模糊矩陣，R=(rij)n×n若0

定理2.1[1]設(shè)是階模糊矩陣，則R是模糊一致矩陣的充分必要條件是存在一個n階歸一化的向量W=(w1,w2,…,wn)T及一個正數(shù)a，使得?i,jrij=a(wi-wj)+0.5成立。

三、基于積型和加型模糊一致判斷矩陣的排序方法

(一)基于積型模糊一致判斷矩陣的排序方法

(1)

定理3.1 設(shè)模糊判斷矩陣R=(rij)n×n，則由(1)求出的排序向量w=(w1,w2,…,wn)滿足：

，.

證明 建立Lagrange函數(shù)：

對各變量求偏導(dǎo),并令偏導(dǎo)等于0,得：

(2)

對上述方程組中前n個式子求和，

(3)

即：

(4)

對上面n個式子相加，得：

(5)

把(5)式代入(4)式，有：

(二)基于加型模糊一致性判斷矩陣的排序方法

(6)

定理3.2 設(shè)模糊判斷矩陣R=(rij)n×n，則由(6)求出的排序向量w=(w1,…,wn)滿足：

證明 建立規(guī)劃模型：

為了求解上述線性規(guī)劃，構(gòu)造Lagrange函數(shù)：

令：

(7)

將(7)中前n個方程相加，得到：

解得λ=0，代入(7)式前n個方程中，得：

四、算例

例4.1[8]假設(shè)一個決策者對決策方案集提供的模糊判斷矩陣為：

利用定理3.1,得模糊互補判斷矩陣B的排序向量：w=(0.171,0.478,0.239,0.112)，排序方案為x2?x3?x1?x4。利用定理3.2，得模糊判斷矩陣B排序向量為w=(0.233,0.350,0.250,0.167),排序方案為x2?x3?x1?x4。文獻[8]中方法得到排序向量為：w=(0.1732,0.4326,0.2343,0.1599)，與本文方法對比，雖然排序向量略有差異，但是排序方案都是相同的。

例4.2[8]設(shè)某一多屬性決策問題有4個屬性ui,i=1,2,3,4，為了確定他們的權(quán)重，專家對wi,i=1,2,3,4，利用0.1～0.9五標度進行兩兩比較，并給出模糊判斷矩陣：

文獻[8]提到有學者用中轉(zhuǎn)法、最小方差法、最小偏差法、特征向量法得到B的排序向量分別為：

w=(0.3000,0.2333,0.2667,0.2000)，w=(0.4000,0.2000,0.3000,0.1000)，

w=(0.4302,0.1799,0.2749,0.1150),w=(0.4303,0.1799,0.2748,0.1150)，

利用本文中定理3.1，得B的排序向量為：w=(0.3883,0.1932,0.2951,0.1234)，利用本文中定理4.1，得B的排序向量為w=(0.3500,0.2167,0.2833,0.1500)。盡管用不同方法計算出來的排序向量略有差異，但是相應(yīng)屬性排序結(jié)果是相同的，即都有x1?x3?x2?x4。

五、總 結(jié)

本文針對積型和加型兩種模糊一致性判斷矩陣與模糊判斷矩陣的排序向量之間存在差異問題,通過最小化差異,得到了模糊判斷矩陣排序向量兩種方案。這兩種方案不僅計算簡單,而且算例也表明其可行、有效。

[1] 呂躍進.基于模糊一致矩陣的模糊層次分析法的排序[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2002(2)：81-85.

[2] 樊治平，姜艷萍.模糊判斷矩陣排序方法研究的綜述[J].系統(tǒng)工程，2001，19(5)：12-18.

[3] 和媛媛，鞏在武.模糊判斷矩陣最優(yōu)化排序方法研究綜述[J].統(tǒng)計與決策，2011，(7)：165-168.

[4] 徐澤水.模糊互補判斷矩陣排序的一種算法[J]. 系統(tǒng)工程學報, 2001, 16(4): 311-314.

[5] 徐澤水.模糊互補判斷矩陣排序的最小方差法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐, 2001,21(10): 93-96.

[6] 徐澤水.互補判斷矩陣的兩種排序方法——權(quán)的最小平方法及特征向量法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2002,22(7):71-75.

[7] 馬曉燕,魏立平,國忠金.基于模糊互補判斷矩陣的對數(shù)最小一乘法及算法程序設(shè)計[J]. 數(shù)學的實踐與認識,2007, 39(9): 63-68

[8] 劉衛(wèi)鋒，何霞.模糊判斷矩陣排序向量的最小偏差法[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2012，26(6)：132-134.

[9] 肖四漢.具有不同形式偏好信息的群決策理論與方法研究[D].沈陽:東北大學, 2001.

[10] 鐘小偉，傅鴻源.模糊一致矩陣排序方法的集成 [J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2014，28(2)：126-130.

[11] 蘭繼斌等.模糊層次分析法權(quán)重研究[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2006，(9)：107-112.

(責任編輯：趙峰)

Abstract： Multiplicative and additive consistency of fuzzy judgment matrix are defined. Two Ordering Schemes of priority weight vector are obtained by building and solving two programming models. Two examples are used to illustrate the applicability of the proposed schemes.

Keywords： fuzzy judgment matrix; priority vector; weight

TwoOrderingSchemesBasedonthePriorityWeightVectorofFuzzyJudgmentMatrix

SHEN Jun, MIAO Jun-hong

(School of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China)

O159

A

1009-9743(2017)03-0150-04

2017-04-05

沈君，女，漢族，河北保定人。碩士。海南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院副教授。主要研究方向：不確定信息處理、高等數(shù)學研究。苗俊紅，女，漢族，山東德州人。碩士。海南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院副教授。主要研究方向：隨機微分方程、概率論

2017年海南省自然科學基金面上項目“復(fù)模糊集值函數(shù)的積分及其應(yīng)用研究”(編號：117123)成果之一。

10.13803/j.cnki.issn1009-9743.2017.03.031