豆媛媛

摘 要：全等三角形是中學幾何中的重要知識，在數(shù)學幾何學習中有著承上啟下的作用。本文從兩個三角形的關系出發(fā)，旨在研究兩個三角形全等關系，著重學習全等三角形的概念和性質以及判定定理，學會靈活運用知識解決實際問題。

關鍵詞：全等三角形 對應邊 對應角

引言

基于數(shù)學知識自身的發(fā)展需要，從兩個三角形的關系出發(fā)，考慮形狀和大小兩個維度因素，把兩個三角形的關系分為四種，本文旨在研究其中一種，即形狀和大小都相同的兩個三角形，也就是全等三角形。首先，認識全等三角形，體會邊角的對應關系；其次，師生共同探究判定三角形全等的條件，理解判斷三角形全等的內在機理；再次，用符號和文字語言表示全等三角形的判定定理；最后，能夠根據(jù)具體情況選擇判定定理，進而靈活運用全等三角形的性質定理和判定定理解決實際問題。[1]

一、 課時內容安排及教學目標整體設計

兩個三角形的關系有表1幾種情況：

兩個三角形形狀和大小都相同，即全等；（2）兩個三角形大小相同、形狀不同，即面積相等，等面積三角形在小學已經學過；（3）兩個三角形大小不同、形狀相同，即相似，相似三角形將在后續(xù)學習中進行研究；（4）兩個三角形形狀和大小都不同，不作研究。

本節(jié)課旨在研究全等三角形，主要包括全等三角形的概念與性質的學習，以及全等三角形判定的探究。我們對整個教學單元進行如下的設計，見表2。

學生在學習這個單元知識時，主要困難在于：一是尋找全等三角形的邊角對應關系比較難；二是學生對于全等三角形的判定定理的來龍去脈不是十分清楚；三是靈活運用性質定理和判定定理解決問題也有困難。為了積極地引導學生、幫助學生，教師在教學中應該注意：

第一，為了使學生能夠對兩個三角形在形狀和大小兩個方面的各種關系有一個整體的認識和把握，教學就不能只是局限在學生對三角形全等關系的概念記憶，而是先幫助學生整體認識兩個三角形的各種關系，建立起兩個三角形關系的上位概念。然后在上位概念的基礎上，學習和理解三角形全等關系的下位概念，并發(fā)現(xiàn)全等三角形的對應關系及其性質。

第二，由于教材將全等三角形的四個定理分節(jié)來進行教學，每節(jié)課配以相應的鞏固練習，這樣的安排的好處是學生對于當天學習的定理記憶和掌握得比較好，但是當四個判定定理綜合以后學生在解決問題時往往會出現(xiàn)一頭霧水的混亂現(xiàn)象，不知道到底應該用哪個判定定理。因此，我們要將教材進行重組，引導學生主動探索和整體感悟全等三角形的判定定理的形成過程。

這樣的教學目標設計，更多地關注學生的學習，關注學生的學習過程。在教學過程中，不斷滲透數(shù)學思想和方法，使得學生學會研究問題的方法，培養(yǎng)學生數(shù)學的思維；不斷調動學生的主動性和積極性，促使學習真正發(fā)生，保障教學活動高效進行、學生健康全面發(fā)展。[2]

二、教學過程設計

第一課時

[課堂引入]

教師活動：回顧三角形，引導學生從形狀和大小兩個方面分析兩個三角形的關系。

學生活動：討論交流，總結歸納，表達三角形的四種關系。

設計意圖：學生在討論交流中體會二元分類法，在教師引導下逐漸形成分類討論的思想。

教師活動：導入課堂，引出本節(jié)課的學習內容——全等三角形（形狀和大小都相同的兩個三角形）。

[發(fā)現(xiàn)新知]

教師活動：給出幾組圖形，讓學生判斷是否全等。

學生活動：依據(jù)定義判斷全等三角形，體會全等三角形的定義。

教師活動：引導學生找全等三角形的特點，提示：從三角形的元素入手，例如邊、角，還可以從三角形的其他要素入手，如中位線、高線、周長、面積等等。

學生活動：動手操作，將同桌兩人的等腰直角三角板重合，找其特點；在作兩個任意的全等三角形，驗證結論。

教師活動：組織交流，總結全等三角形的性質。

設計意圖：教師引導，學生主動發(fā)現(xiàn)，有助于理解知識。

[探索應用]

教師活動：提出全等三角形的表示方法，強調全等三角形的對應關系。

教師活動：給出三角形動態(tài)變化的圖，如平移、旋轉、翻轉，讓學生找對應邊、對應角；接著，給出其他一些復雜圖形，讓學生找對應關系。

學生活動：學生找對應關系，形成自己的經驗，互相交流經驗。

設計意圖：教師在學生的認知水平上，逐步設計活動，使得學生參與其中，根據(jù)自己的經驗學會找全等三角形的對應關系，再在班里互相交流，豐富自己的經驗，突破找全等三角形對應關系這一難點。

學生活動：在隨堂練習中，找對應關系，用符號語言表示全等三角形，說出全等三角形的性質。

[總結歸納]

學生活動：梳理本節(jié)課的學習過程，總結重點。

教師活動：總結歸納，補充說明。

第二課時

[復習舊知、引入新課]

教師、學生活動：復習上節(jié)課的內容。

教師活動：給出一個三角形，讓同學做一個與它全等的三角形。首先思考：至少需要幾個條件？一個？兩個？三個？……

學生活動：一個條件？一個角還是一個邊？動手操作，看看小組內同伴的三角形都是全等的嗎？實踐證明都不行。

設計意圖：學生動手實踐，體會全等的定義。通過動手，調動學生的學習積極性，使得每一位學生參與進來。在教學過程中，滲透用反例證明結論不成立的思想。

學生活動：兩個條件？那幾種情況？分別在每種情況下，作三角形，再在組內進行比較，看看三角形是否全等，實踐證明已知兩個條件作出的三角形也不一定全等。

教師活動：如果已知三個條件，都有哪些情況？

學生活動：紛紛說出自己的想法。endprint

教師活動：總結三個條件的幾種情形，滲透分類的方法。

[主動探索、獲得新知]

情形一：三條邊

教師活動：已知一個三角形的三條邊，你能畫出這個三角形嗎？把你畫的三角形與同伴畫的進行比較，它們一定全等嗎？

學生活動：利用尺規(guī)作圖（作一條線段等于已知線段），作出滿足條件的三角形，然后，用剪刀把你所作的三角形剪下來，和同伴的進行比較，看看這兩個三角形是否完全重合（全等）。

學情預設：已知三條邊，我們所作的三角形一定會重合（全等），即三條邊對應相等的兩個三角形一定全等。

情形二：三個角

教師活動：已知一個三角形的三個角，你能畫出這個三角形嗎？把你畫的三角形與同伴畫的進行比較，它們一定全等嗎？

學生活動：作圖并與同伴進行比較，看這兩個三角形是否完全重合（全等）。

學情預設：已知三個角，我們所作的三角形不一定全等，即三個角對應相等的兩個三角形不一定全等。

情形三：一邊兩角

如果“一邊兩角”中的邊是兩角所夾的邊。

教師活動：已知一個三角形的兩個內角及它們所夾的邊，你能畫出這個三角形嗎？把你畫的三角形與同伴畫的進行比較，它們一定全等嗎？

學生活動：作圖并與同伴進行比較，看這兩個三角形是否完全重合（全等）。

學情預設：已知兩角及兩角所夾的邊，我們所作的三角形一定全等，即兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形一定全等。

如果“一邊兩角”中的邊是其中一角的對邊，情況會怎么樣呢？

教師引導啟發(fā)：你能將這個問題轉化為上述問題嗎？

學情預設：已知兩角及其中一角的對邊，根據(jù)三角形內角和定理知，三角形的三個角都相等，轉化為已知兩角及兩角所夾的邊的問題，由上述結論可知，這兩個三角形一定全等。

情形四：兩邊一角

如果“兩邊一角”中的角是兩邊的夾角。

教師活動：已知一個三角形的兩條邊及其它們所夾的角，你能畫出這個三角形嗎？把你畫的三角形與同伴畫的進行比較，它們一定全等嗎？

學生活動：作圖并與同伴進行比較，看這兩個三角形是否完全重合（全等）。

學情預設：已知兩邊及兩邊所夾的角，我們所作的三角形一定全等，即兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形一定全等。

如果“兩邊一角”中的角是其中一邊的對角。

教師活動：已知一個三角形的兩條邊及其中一邊所對的角，你能畫出這個三角形嗎？把你畫的三角形與同伴畫的進行比較，它們一定全等嗎？

學生活動：作圖并與同伴進行比較，看這兩個三角形是否完全重合（全等）。

學情預設：已知兩邊及其中一邊的對角，我們所作的三角形不一定全等，即兩邊分別相等且其中一邊的對角相等時，兩個三角形不一定全等。

設計意圖：教師引導學生動手操作，在動手的過程中深刻理解全等的概念，體會分類討論以及化歸轉化的思想。在小組合作探究的過程中，培養(yǎng)學生的動手實踐能力，提高學生協(xié)作探究解決問題的能力，使得學生在主動探索中得到三角形全等的條件，經歷探索的過程，體驗學習的快樂。

第三課時

[復習總結]

全等三角形判定條件的探索過程：

一個條件（×）

兩個條件（×）

三個條件

三條邊（）

三個角（×）

一邊兩角

兩角及其夾邊（）

兩角及其一角的對邊（）

兩邊一角

兩邊及其夾角（）

兩邊及其一邊的對角（×）

[整體認知、升華理解]

教師活動：讓學生總結歸納全等三角形的判定條件，并且用語言文字及符號語言表達這些定理。

學生活動：總結歸納，試著用文字和符號表達。

教師活動：板書總結。

教師活動：組織學生共同反思本節(jié)課的教學內容和思想方法，小組之間相互補充完成課堂小結，實現(xiàn)對探究三角形全等的條件的深化。

教師引導作最終總結：

1.分類討論的思想方法，化歸的思想；

2.在動手操作中體會全等的概念，掌握三角形全等的判定條件；

3.從全等的定義出發(fā)，理解三角形全等的條件。

全等的定義是可以完全重合，也就是說符合全等條件的兩個三角形，一定是“同一個”的。站在這個思想上來看，三角形全等的證明可以看成是，分析題目所給條件能否完全的、唯一的確定一個三角形，如果是，即證明全等。

第四課時

學生活動：回憶全等三角形的探究過程，梳理思路。

教師活動：組織學生在小組內講解交流，再在班級中講授。

教師活動：例題講解，注重幾何推理的規(guī)范表達。

學生活動：注意聽講，然后進行習題練習。

設計意圖：在學習完所有的判定定理之后，設計習題課，意在使得學生真正理解全等三角形的判定定理，學會根據(jù)具體情境選擇合適的判定定理，能用數(shù)學符號語言規(guī)范地表達幾何推理過程。

第五課時

教師活動：給學生設置一些綜合性的習題，引導學生分析問題、解決問題，例如，在證明兩個三角形全等的過程中，如果知道兩組角，再找任意一組邊即可（角角邊或角邊角）；如果知道兩組邊，只能找夾角（角邊角），而且，角的相等可能與平行線有關。

學生活動：學會將知識的理解運用到分析問題中去，提高自己解決問題的能力。

設計意圖：全等三角形的判定定理可以和全等三角形的性質定理、平行線的性質和判定等知識點綜合考查，設計這些綜合性題目，有利于培養(yǎng)學生的信息獲取與分析能力和解決問題的能力。

結語

這樣的教學設計，在掌握知識與培養(yǎng)技能的基礎上，更有利于學生能力的提高，這是數(shù)學教學的重要內容，也是數(shù)學教學育人價值的具體體現(xiàn)。本單元的探究方法在“相似三角形”的教學中具有可類比性，其中的數(shù)學思想在數(shù)學學習中也尤為重要。再者，我們要鼓勵學生在全等三角形的判定條件的基礎上通過弱化條件的分析研究形成新的猜想，還可以研究在特殊三角形中全等的判定條件。

參考文獻

[1] 馬復. 數(shù)學 七年級下冊[M]. 北京： 北京師范大學出版社， 2013.

[2] 吳亞萍. 中小學數(shù)學教學課型研究[M]. 福建教育研究， 2014（10）.endprint