王漢進(jìn)

[摘 要] 三角函數(shù)中有很多值得我們研究的問題，有些問題可以用全新的視角去發(fā)現(xiàn)，有些是與不同知識(shí)的新結(jié)合，以具體問題為例對(duì)此進(jìn)行深入探討.

[關(guān)鍵詞] 三角函數(shù)；三角形；向量；全等三角形；編制；應(yīng)用

三角知識(shí)一直是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)，同時(shí)也是解決生產(chǎn)實(shí)際問題的工具，以三角函數(shù)問題為載體的立意新穎的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題一直受到命題專家的青睞；多年來，三角知識(shí)一直是高中學(xué)生比較頭疼的問題，特別是如何探究任意三角形的邊角關(guān)系去解決一些日常生活中與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題，本文筆者通過幾道典型試題的剖析，旨在闡述對(duì)于三角函數(shù)和三角變換問題的處理技巧，相信能給讀者帶來一定的幫助.

三角函數(shù)與三角形在“接觸”中升級(jí)

以三角函數(shù)為載體的解三角形問題，通常是給出三角形的邊角關(guān)系，求角、邊即最值問題，主要考查三角變換能力和正弦、余弦定理靈活運(yùn)用能力.

說明：通過本題的解析過程可以歸納出處理三角形問題要注意三個(gè)方面的問題：①巧用三角形內(nèi)角和性質(zhì)與誘導(dǎo)公式的有機(jī)結(jié)合進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化；②在解題中合理融入三角函數(shù)性質(zhì)；③準(zhǔn)確靈活運(yùn)用正弦、余弦定理進(jìn)行解題.

三角函數(shù)與平面向量因“牽手”而深化

將三角函數(shù)問題融入平面向量的知識(shí)平臺(tái)上進(jìn)行考查的創(chuàng)新題型是近年來出現(xiàn)頻率較高的“流行”題型，主要涉及平面向量與三角函數(shù)相結(jié)合探求三角函數(shù)的最值等相關(guān)問題.

說明：本題以平面向量知識(shí)為平臺(tái)考查三角函數(shù)問題，解題的關(guān)鍵思想是進(jìn)行數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，將此類向量的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題進(jìn)行求解，常見的轉(zhuǎn)化途徑為：①利用向量平行或垂直的充要條件；②利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)；③利用向量模長(zhǎng)公式.

三角形解的個(gè)數(shù)判別新認(rèn)識(shí)

解三角形是三角函數(shù)中一個(gè)較難的知識(shí)點(diǎn)，從我們大量教學(xué)實(shí)踐來看，求三角形解的個(gè)數(shù)判別是較難的知識(shí)點(diǎn). 為什么這個(gè)知識(shí)點(diǎn)不好教呢？很多老師說：我們不是有正弦定理和余弦定理么？書本上不是有圖形判別方式嗎？用這樣的方式就可以解決三角形解的個(gè)數(shù). 但從學(xué)生解決問題實(shí)踐來看，完全與我們教師所想的情況不符. 學(xué)生在解的個(gè)數(shù)判別時(shí)并不會(huì)利用教材圖形化的方式去解決，學(xué)生為何不選擇教材的方式呢？筆者認(rèn)為第一個(gè)原因是教材方式的煩瑣性，學(xué)生對(duì)于圖形的使用遠(yuǎn)沒有運(yùn)算來得方便；第二個(gè)原因是更主要的，教材沒有把解的判斷更好的方式與初中數(shù)學(xué)中全等三角形的判斷聯(lián)系起來，學(xué)生對(duì)于初中數(shù)學(xué)全等三角形判別方式可謂是根深蒂固，試想：為什么三邊都明確告知的三角形唯有一解？為什么兩邊一夾角都明確告知的三角形唯有一解？為什么兩角一邊都明確告知的三角形唯有一解？為什么兩邊一對(duì)角都明確告知的三角形有可能有多種情況？我們來看如何利用初中固有知識(shí)創(chuàng)新解決這一學(xué)生痼疾：

說明：回頭我們思考這樣的創(chuàng)新解決方式，筆者認(rèn)為初中全等三角形判別方式是學(xué)生頭腦中已經(jīng)固有的解決模型，教材另辟蹊徑反而顯得累贅，我們不妨使用學(xué)生已經(jīng)固有的知識(shí)結(jié)合新的問題，從全等三角形判別方式（邊邊邊、邊角邊、角角邊）以及大邊對(duì)大角的三角形性質(zhì)，讓學(xué)生輕松地獲得了三角形解的個(gè)數(shù)的判別. 這種基于知識(shí)全面性的理解和使用有助于引導(dǎo)學(xué)生站在更高的角度審視問題解決新思路，為解決更多問題開拓了新思路.

三角問題的創(chuàng)新編制

學(xué)生能解決問題是學(xué)習(xí)的一種層次，但是從僅僅解決問題、會(huì)做題的角度來說，這僅僅是初級(jí)層次.可以這么說，通過解題學(xué)生了解了知識(shí)使用的程度和頻率，但是卻往往不清楚同類型問題背景載體下還有哪些知識(shí)值得挖掘使用，這才是數(shù)學(xué)問題解決的第二層次.筆者以三角中的一個(gè)典型問題舉例說明：

學(xué)生創(chuàng)編1：若b=2，△ABC為銳角三角形，求sinA+sinC的取值范圍.

學(xué)生創(chuàng)編2：若b=2，求ac的最大值.

學(xué)生創(chuàng)編3：若b=2，求a2+c2的最大值.

學(xué)生創(chuàng)編4：若b=2，求△ABC的面積的最大值.

學(xué)生創(chuàng)編5：若b=2，求三角形邊b所在高的最大值；

說明：從問題本身出發(fā)，往往僅僅只能解決一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但是教師引導(dǎo)下的問題創(chuàng)編，讓學(xué)生從同樣問題背景載體下的不同知識(shí)使用以及知識(shí)整合的使用，讓學(xué)生對(duì)于知識(shí)的熟練程度和黏合程度有了更大的認(rèn)識(shí)（解答從略）.

總之，三角函數(shù)是一種特殊的、以角度為自變量的函數(shù)模型，是非常有創(chuàng)新角度的函數(shù)模型. 有些問題以常規(guī)變量建立函數(shù)模型解決起來非常困難，但以角度去思考本身就是一種理解層面的創(chuàng)新. 三角函數(shù)正是因?yàn)榻梃b了函數(shù)特征，又具備角度靈活性的特點(diǎn)，在很多知識(shí)中顯示了承接性.三角知識(shí)中有很多重要的知識(shí)，正余弦定理、三角公式等，但是這些知識(shí)不能孤立地來看待，這些知識(shí)下可以鏈接初中數(shù)學(xué)，上可以串接向量、實(shí)際運(yùn)用問題，做到創(chuàng)新使用、融會(huì)貫通，是我們學(xué)會(huì)一種知識(shí)、掌握一種知識(shí)的重要心得. 這樣長(zhǎng)期引導(dǎo)有助于學(xué)生以點(diǎn)及面地看待知識(shí)，循序漸進(jìn)地理解知識(shí)，融會(huì)貫通地使用知識(shí)，將學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的理解和運(yùn)用提高到一個(gè)新的學(xué)習(xí)境界，培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力和一定的創(chuàng)新素養(yǎng).