張曉燕

[摘 要] 根據(jù)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的需要，在學(xué)完一個單元知識后，開設(shè)相應(yīng)的單元復(fù)習(xí)課，將所學(xué)的知識內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)地連貫，讓學(xué)生更為深刻地認(rèn)識本章節(jié)知識內(nèi)容的本質(zhì)屬性，從而形成知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這對提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力會大有裨益。

[關(guān)鍵詞] 單元復(fù)習(xí)；思維訓(xùn)練；知識網(wǎng)絡(luò)

一、問題的提出

高中數(shù)學(xué)的單元復(fù)習(xí)課是將前面所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行簡單的回顧，還是通過大量習(xí)題來鞏固知識與技能？教師如何通過精心的設(shè)計及點評促進(jìn)學(xué)生對該章節(jié)的內(nèi)容的理解，進(jìn)而能融會貫通？上述問題若沒有解決好，復(fù)習(xí)課或許就成為新授課的復(fù)制品，不但使學(xué)生易產(chǎn)生倦怠，而且也很難使學(xué)生在原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上再上新的臺階。筆者認(rèn)為，復(fù)習(xí)課的設(shè)計應(yīng)側(cè)重于歸類綜合，縱橫溝通，才能使知識的網(wǎng)絡(luò)長期根植于學(xué)生的腦海之中。

二、明確目標(biāo)，精心設(shè)計

系統(tǒng)掌握圓錐曲線知識，對圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)、定性研究等方面進(jìn)行綜合復(fù)習(xí)。進(jìn)一步體會坐標(biāo)法解決幾何問題，提升學(xué)生的思維能力和運(yùn)算能力。重點是知識梳理歸類，形成知識網(wǎng)絡(luò)，圓錐曲線的綜合應(yīng)用。該課以問題鏈的形式引導(dǎo)學(xué)生梳理單元知識與方法，加強(qiáng)各知識點間的橫向聯(lián)系，將單個的知識連成串，結(jié)成網(wǎng)。著重引導(dǎo)學(xué)生尋找發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，指導(dǎo)學(xué)生用類比的方法研究圓錐曲線問題，增強(qiáng)學(xué)生舉一反三的學(xué)習(xí)能力。設(shè)計把課堂結(jié)構(gòu)順序調(diào)整過來，讓學(xué)生有效先學(xué)，課堂以探究體驗為核心，展示交流為途徑，實現(xiàn)以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)模式。在教學(xué)之前教師精心準(zhǔn)備該課的典型例題，以該單元的內(nèi)容為切入點，從課前練習(xí)逐步深化到課中，讓學(xué)生在已有知識基礎(chǔ)上不斷地探究更深層次的內(nèi)容，以螺旋式上升的教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生掌握本章節(jié)知識與方法。

課前練習(xí)1、2

1.已知動圓P過點，且與圓N：相切，求動圓圓心P的軌跡方程。若改變圓N的半徑，使點M在圓N上或在圓N外，點P的軌跡方程是什么？

2.課本P28推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程過程中，有方程①，

②。將②式變形為③，再將③式變形為④。回答下列問題：（1）你能解釋方程①、④的幾何意義嗎？（2）根據(jù)③式你能得到什么結(jié)論？從函數(shù)角度分析③式等號右邊的式子，你有什么發(fā)現(xiàn)？（3）方程④中的離心率e的范圍是時，它表示什么曲線？時，它表示什么曲線？

設(shè)計說明：回顧本單元已學(xué)的知識與方法是單元知識復(fù)習(xí)必不可少環(huán)節(jié)之一，第1題的目的是將知識與方法蘊(yùn)藏于問題之中，避免了空洞的羅列概念，學(xué)生在思考解決問題的過程中回顧相關(guān)知識、弄清概念、操練方法、積累經(jīng)驗。

第2題引導(dǎo)學(xué)生理解性閱讀課本知識，將等式中蘊(yùn)藏的橢圓的定義、焦半徑公式、橢圓上的點到焦點距離的取值范圍、圓錐曲線的統(tǒng)一定義等基礎(chǔ)知識一一尋找出來，讓學(xué)生感知各部分之間的聯(lián)系，從而使得學(xué)習(xí)內(nèi)容在學(xué)生心目中成為一個知覺整體。旨在將新授課中學(xué)習(xí)的零散知識串連，學(xué)生基礎(chǔ)知識得到系統(tǒng)梳理，形成知識網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)成有機(jī)整體。

課前練習(xí)3

3.已知是圓錐曲線C的焦點，P為C上任一點，點。

（1）若曲線C的方程是，則PA+PF的最小值是__________；

（2）若曲線C的方程是，則PA+PF的最小值是__________；

（3）若曲線C的方程是，則PA+PF的最小值是__________。

變式：已知是橢圓C：的右焦點，P為C上任一點，點，求PA+PF的最小值。

設(shè)計說明：練習(xí)3三道題形式類似，解法相同，課堂上指導(dǎo)學(xué)生觀察三個目標(biāo)式中PF的系數(shù)特征，點P在相應(yīng)準(zhǔn)線上的射影及點A與圓錐曲線的位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生探究求PA+PF的最小值一般解法。反思將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為（d為點P到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）的目的是什么？將問題轉(zhuǎn)化為求定點A與定直線（與焦點F相對應(yīng)的準(zhǔn)線）上的動點距離的最小值，其幾何依據(jù)是點到直線的距離最短。

變式與練習(xí)3題型貌似相同，但目標(biāo)式中PF的系數(shù)不再為，類比前三題的解法，將PF轉(zhuǎn)化為到相應(yīng)的準(zhǔn)線距離已行不通，思維受阻！引導(dǎo)學(xué)生再思考練習(xí)1中目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為的目的，類比解決問題的幾何本質(zhì)，解題思路就此打開！設(shè)橢圓的左焦點為F1，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為，問題轉(zhuǎn)化為橢圓上的動點P與橢圓內(nèi)兩定點A，F(xiàn)1距離之差的最小值，其幾何依據(jù)是三角形兩邊之差小于第三邊。

通過這一系列問題的探討，對問題的解決方法進(jìn)行歸類總結(jié)，不僅加深學(xué)生對問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)理解，優(yōu)化了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且將圓錐曲線中的這類問題與學(xué)生熟知的幾何原理聯(lián)系起來，學(xué)生感到熟悉，能較快地使新知在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到附著點，知識融會貫通，順利將新知納入到舊知結(jié)構(gòu)中，形成牢固的知識體系。

課前練習(xí)4

4.在△ABC中，，，直線AB，AC的斜率乘積為，求頂點A的軌跡。

設(shè)計說明：練習(xí)4是課本的一道習(xí)題，蘊(yùn)含豐富的教學(xué)功能。

功能之一：動中有定的好素材。運(yùn)動變化中尋求變化規(guī)律或定點、定值及某特定性質(zhì)是解析幾何研究的重點。若平面內(nèi)的動點M與兩個定點，的連線的斜率分別是，，若為正常數(shù)，則點M在以A1，A2為頂點的雙曲線上；若為負(fù)常數(shù)，則點M在以A1，A2為頂點的橢圓上。反之，雙曲線上的點與兩頂點連線斜率之積為一正常數(shù)；橢圓上的點與兩頂點連線斜率之積為一負(fù)常數(shù)。

功能之二：培養(yǎng)學(xué)生類比的思維模式。橢圓與雙曲線的學(xué)習(xí)有積極的相互遷移作用，研究橢圓（雙曲線）的某一性質(zhì)時，通過問題的引領(lǐng)，學(xué)生會很自然的思考雙曲線（橢圓）中有沒有類似的結(jié)論。有意識地培養(yǎng)學(xué)生的類比思維模式，他們就能經(jīng)常利用一些簡單的類比問題的解答，逐點模仿求解，有時也可利用較簡單類比問題的方法或結(jié)果去思考解決問題，往往達(dá)到事半功倍的效果。

功能之三：具有探究價值。橢圓上異于長軸的點與長軸的兩端點連線斜率之積為定值，與短軸兩端點連線斜率之積也是定值，由于長軸與短軸的端點都關(guān)于原點對稱，那么橢圓上關(guān)于原點對稱的任意兩點與橢圓上的任一點連線斜率之積也是定值嗎？雙曲線上關(guān)于原點對稱的任意兩點與雙曲線上的任一點連線斜率之積也是定值嗎？這種具有典型性、探究性、發(fā)散性的問題，讓學(xué)生經(jīng)歷合情合理的觀察、思考、實驗、推導(dǎo)的過程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，認(rèn)識、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力。

三、引導(dǎo)探究、注重思維訓(xùn)練

在實際教學(xué)中教師可采用以問題鏈的形式引導(dǎo)學(xué)生展開探究性學(xué)習(xí)。以課前練習(xí)4為例。

問題1：軌跡與軌跡方程的區(qū)別是什么？點A的軌跡是雙曲線上所有點嗎？

設(shè)計說明：辨別軌跡與軌跡方程的區(qū)別，以及培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

問題2：平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點M與兩個定點，的連線的斜率之積是不為零的常數(shù)，請你給定一個常數(shù)，求出相應(yīng)的點M的軌跡方程。

設(shè)計說明：讓學(xué)生展示交流，發(fā)現(xiàn)當(dāng)給定的常數(shù)為正數(shù)時，M在以A1，A2為頂點的雙曲線上；當(dāng)給定的常數(shù)是負(fù)數(shù)時，M在以A1，A2為頂點的橢圓上。

問題3：根據(jù)討論，你有什么猜想？請驗證你的猜想。

設(shè)計說明：滲透特殊到一般數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸納、驗證一般性的規(guī)律。

問題4：平面直角坐標(biāo)系xOy中，是橢圓C：的左右頂點，M是橢圓C上異于的任一點，你有什么猜想？請驗證你的猜想。

設(shè)計說明：引導(dǎo)學(xué)生反過來思考，培養(yǎng)逆向思維。

問題5：平面直角坐標(biāo)系xOy中，是橢圓C：的上下頂點，M是橢圓C上異于的任一點，成立嗎？請說明理由。

設(shè)計說明：為引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步的探索、思考做鋪墊。

問題6：我們發(fā)現(xiàn)了，，與都是橢圓C的頂點，每對點在坐標(biāo)平面內(nèi)有什么位置特點？對于橢圓上任意關(guān)于原點對稱的點，成立嗎？

設(shè)計說明：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，認(rèn)識理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

問題7：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過原點的直線與橢圓交于A，B兩點，M為橢圓上任一點，若MA，MB斜率都存在，則。寫出雙曲線中類似的結(jié)論，并判斷其真假。

設(shè)計說明：滲透類比的數(shù)學(xué)思想方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比的思維模式。

問題8：（2011江蘇高考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M，N分別是橢圓的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k。

設(shè)計說明：該復(fù)習(xí)課側(cè)重展現(xiàn)了知識的應(yīng)用價值。使學(xué)生通過該課的學(xué)習(xí)不僅要具備良好的有觀察和歸納能力，也會在探究的過程中不斷地獲得新的體驗，從而形成較好的應(yīng)用意識。

四、結(jié)語

本課通過對教材的挖掘，為學(xué)生搭建了探索型腳手架，將基本概念梳理復(fù)習(xí)及練習(xí)放在課堂之前，在課堂教學(xué)中主要以師生互動、同伴協(xié)作和交流為主體，以學(xué)生的探究為主題，將學(xué)生知識的內(nèi)化放在首位，這對學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)將會產(chǎn)生積極的推動作用。

（責(zé)任編輯：張華偉）