陳炎

[摘 要] 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心價值，是解決問題的行為指南. 思想方法非無本之木，它深深扎根于數(shù)學(xué)知識和學(xué)習(xí)的過程中. 極限思想是數(shù)學(xué)思想方法之一，在中學(xué)階段具有較廣泛的用途和學(xué)習(xí)價值. 通過把握教學(xué)時機，尋找合適的契機，適時滲透數(shù)學(xué)思想方法，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

[關(guān)鍵詞] 教學(xué)時機；極限思想；案例分析；滲透

問題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）（以下簡稱《課標(biāo)》（2011版））指出：“課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學(xué)的特點，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法. ”數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，是數(shù)學(xué)的精髓所在. 數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程和整體思想等在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有較高的地位，教師經(jīng)常提，學(xué)生也經(jīng)常用. 但在初中階段，對于極限思想，教師引導(dǎo)得不夠，學(xué)生體會得不深，實踐比較匱乏，但當(dāng)學(xué)生進(jìn)入高中學(xué)習(xí)時，又有較多的知識需要用極限思想統(tǒng)領(lǐng)、較多的問題需要用極限方法解決，如微積分等，學(xué)生會感到比較“突然”. 著眼于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，作為教師，我們是否可以作一些嘗試，在初中階段即時、適時地滲透極限思想，為學(xué)生的將來發(fā)展做鋪墊呢？

問題分析

極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用. 借助極限思想，人們可以從有限認(rèn)識無限，從“不變”認(rèn)識“變”，從量變認(rèn)識質(zhì)變，從近似認(rèn)識精確，極限思想的重要性可見一斑. 實際上，在初中階段的教學(xué)中有不少領(lǐng)域都有極限的“影子”. 那么，如何對學(xué)生進(jìn)行極限思想的滲透呢？直接告訴？顯然蒼白無力，學(xué)生感觸不深；抓住時機，則事半功倍. 時機是指在教育過程中事物發(fā)展或一事物轉(zhuǎn)化為他事物的關(guān)鍵點、樞紐站、決定性的環(huán)節(jié). 正如將15克鹽放在你的面前，無論如何你都難以下咽，但將15克鹽放入一碗美味可口的湯中，你就會在享用佳肴時將15克鹽全部吸收了. 湯，就是教師精心設(shè)計的“助力器”，享用佳肴就是“潤物細(xì)無聲”的過程，最終實現(xiàn)了目標(biāo)——鹽的吸收. 教師通過創(chuàng)設(shè)適宜情境，選擇恰當(dāng)?shù)妮d體，抓住有力的時機，能在經(jīng)歷過程的教育中，對學(xué)生滲透極限思想.

嘗試解決

基于問題所在和對問題的分析，下面筆者以學(xué)生為主體，從學(xué)生的角度出發(fā)并結(jié)合筆者的教學(xué)實踐，淺談滲透極限思想的時機，旨在交流、分享.

1. 在學(xué)生認(rèn)知沖突時順勢利導(dǎo)

認(rèn)知沖突就是個體意識到個人認(rèn)知結(jié)構(gòu)與環(huán)境或個人認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)部不同成分之間不一致時所形成的狀態(tài)；是學(xué)生已有的知識經(jīng)驗與現(xiàn)實情境不相符時在心理上所產(chǎn)生的矛盾或沖突. 教學(xué)中，對于一個新的知識學(xué)習(xí)的必要性以及一個新的方法的產(chǎn)生，教師往往會創(chuàng)設(shè)一種情境，通過引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲，此時滲透極限思想，學(xué)生的認(rèn)識會更深刻.

案例1 求+++…+的和（其中n是正整數(shù)）.

師：求+.

生1：結(jié)果是.

（反應(yīng)迅速）

師：正確. 那++呢？

生2：.

（學(xué)生似乎反應(yīng)慢了一點）

師：很好，計算能力還是挺棒的！那+++…+呢，其中n是正整數(shù)？

（此時學(xué)生一臉驚愕，驚呼后即安靜地埋頭思考并演算. 2分鐘后，有學(xué)生舉手）

生3：和是.

師（追問）：能把你的思考過程和大家分享一下嗎？

生3：其實很簡單，起始值是，接著是，然后是，歸納、猜想可得所求式子的和是.

師：了不起，你的歸納能力很強！但是數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，歸納、猜想后，還應(yīng)做什么？

生（齊）：證明.

生4：設(shè)S=+++…+①，則S=+++…+ ②，①-②得S=-，所以S=.

生5：圖1為邊長為1的正方形，先對圖形對折，并在剩余的圖形里繼續(xù)對折……則借助求解陰影部分的面積可得+++…+=1-=.

案例分析 先從兩個較簡單的計算入手，學(xué)生快速進(jìn)入狀態(tài)，為后面的探究做好心理鋪墊和信心支持. 然后問題推廣到一般以后，學(xué)生感覺較為棘手，引發(fā)認(rèn)知沖突，促進(jìn)學(xué)生主動思考并積極尋找解題的方法. 在問題解決的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了左邊等式的n項和可求，并從數(shù)、形兩個角度給出了求解方法，一方面鍛煉了學(xué)生克服困難的勇氣，滲透了數(shù)形結(jié)合思想；另一方面，對于生5的回答，教師可以追問：當(dāng)n趨向于非常大的數(shù)值時（暫不適宜提“無窮”大），算式的結(jié)果是什么？從圖中可以直觀地看出此時的和即為大正方形的面積，結(jié)果為1，凸顯極限思想. 此題實際上是高中要學(xué)習(xí)的等比數(shù)列前n項和的求法，但放在初中階段，按照現(xiàn)有學(xué)生的認(rèn)知水平，也能順利解決；同時對學(xué)生的諸多能力都有促進(jìn)作用，何樂而不為？

2. 在學(xué)生認(rèn)知錯誤時將錯就錯

心理學(xué)家蓋耶說過：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學(xué)生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學(xué)習(xí)時刻. ”學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中難免會出現(xiàn)錯誤，所謂“人非圣賢，孰能無過？”更不用說我們面對的是一群未成年的孩子. 教室應(yīng)該是容許錯誤發(fā)生的地方，“錯誤”但不錯過.

案例20.=1.

（出示0.=1？）

師：左右兩邊相等，可能嗎？

生（齊）：不可能.

師：那么這兩個數(shù)誰大呢？

生1：當(dāng)然是1唄！

師：既然0.<1，那么哪位同學(xué)能找一個數(shù)，介于這兩個數(shù)之間？

生2：這還不簡單？0.9999……哦，不對！

（學(xué)生剛一隨口說完，發(fā)現(xiàn)問題遠(yuǎn)不像想象中那么簡單，立刻否定了之前的回答）

生3：這個數(shù)是不存在的，因為0.與1之間沒有“縫隙”，所以0.=1.

師：我們要為該同學(xué)良好的數(shù)學(xué)推理能力點個贊（同學(xué)們笑）. 該同學(xué)提出了與大家不一樣的觀點，可是有沒有更直接的方法來證明這一結(jié)論呢？

生4：設(shè)0.=x，則9.=10x，兩式相減得9x=9，所以x=1.

（熱烈的掌聲自發(fā)響起）

案例分析 在本案例中，針對學(xué)生普遍會犯的錯誤，教師沒有直接“糾錯”，而是順?biāo)浦?，將錯就錯. 教師追問：“既然0.<1，那么哪位同學(xué)能找一個數(shù)，介于這兩個數(shù)之間？”通過問題的指向，學(xué)生會立即發(fā)現(xiàn)此數(shù)難以找到，引發(fā)學(xué)生的思維碰撞，感性的認(rèn)識需上升到理性思考. 通過借助一元一次方程這一刻畫現(xiàn)實世界的有效模型，最終將問題很好地解決. 在這一過程中，學(xué)生有這樣幾點收獲：（1）想當(dāng)然并不可靠，直觀感受不一定正確；（2）方程在解決實際問題中有廣泛的應(yīng)用；（3）無限（0.）與有限（1）的和諧統(tǒng)一，學(xué)生能初步體會到極限思想的存在. 另外，在這一案例的基礎(chǔ)上，教師還可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生體會極限思想，如·=4（無限乘以無限等于有限）等. 因此，當(dāng)發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯誤時，教師若能認(rèn)真對待，不回避、不埋怨，抓住稍縱即逝的教育時機，與學(xué)生一起分析錯因，尋求正確之道，不僅能夠促進(jìn)教師的課堂駕馭能力，而且能促進(jìn)學(xué)生主動地思考、辨析. 在這一過程中，滲透極限思想，效率會大幅提高.

3. 在學(xué)生解題無助時雪中送炭

學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中離不開解題，也經(jīng)常會遇到不會做的習(xí)題. 此時，學(xué)生非常渴望得到點撥與幫助，教師此時伸出“援手”，“雪中送炭”之情將加深學(xué)生對解決問題方法的認(rèn)識與理解.

案例3 （2015年河池中考）如圖2，菱形ABCD的邊長為1，直線l經(jīng)過點C，交AB的延長線于點M，交AD的延長線于點N，則+=______.

（直接出示問題，教師巡視，2分鐘后學(xué)生依然解題思路不清晰）

師：從此題的結(jié)構(gòu)來看，所求線段倒數(shù)和與線段所在位置無關(guān)，可嘗試先將問題特殊化，然后再尋求一般解法.

（在教師的啟發(fā)下，部分學(xué)生嘗試作圖，生1上黑板上畫出圖形，如圖3）

生1：將直線l的位置特殊化為平行于AB，即點N與點D重合，l與AB沒有交點，此時==1，但的值不確定.

生2：我認(rèn)為=0.

師：說說你的想法.

生2：，，…隨著分母的增大，分?jǐn)?shù)的值越來越小，越來越接近0，l與AB沒有交點，所以AM非常大，所以=0，因而+=0+1=1.

案例分析 在學(xué)生最需要的時刻，教師悄然出現(xiàn)，所帶來的啟發(fā)更容易引起共鳴. 華羅庚先生說過：“解題時先足夠地退，退到我們最易看清楚的地方，認(rèn)透了，鉆深了，然后再上去.”在解決此題的過程中，先將問題特殊化，得到一個“極端結(jié)果”，然后從特殊到一般，在此過程中積累的經(jīng)驗將有利于一般情況下的問題解決. 在特殊化的操作中，學(xué)生感到困難的是（當(dāng)AM→+∞）的值，而學(xué)生的潛力是無窮的，借助生2的精彩發(fā)言，將問題巧妙地轉(zhuǎn)化、化歸. 教師沒有“一言堂”，通過啟發(fā)式教學(xué)，學(xué)生自己完全有能力解決. 極限思想，其實是解題的需要.

4. 在學(xué)生綜合實踐時錦上添花

綜合實踐是新一輪基礎(chǔ)教育改革的新生事物，是一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動. 它是一種基于學(xué)生的直接經(jīng)驗，體現(xiàn)知識綜合運用的課程形態(tài).

案例4求拋物線y=-x2+1與x軸所圍成圖形的面積.

生1：如圖4，以AB為直徑作半圓，以半圓的面積來近似求面積，可得S=π·12=π.

生2：如圖5，連接AC，BC，以△ABC的面積來近似求面積，可得S=×2×1=1.

生3：如圖6，取OB的中點E，過點E作DE⊥x軸于點E，交拋物線于點D，連接CD，BD，

所以所求面積近似為S=

2××+1+××=.

生4：如圖7，將OB三等分，分點分別為E，G，分別過點E，G作x軸的垂線，與拋物線分別交于點D，F(xiàn)，則所求面積近似為S=2××+1+×

×++××=.

生5：如圖8，作矩形ABCD，則S=2，然后在矩形區(qū)域內(nèi)隨機投擲米粒，當(dāng)次數(shù)足夠大時，記下落在矩形區(qū)域內(nèi)的米粒數(shù)為m，落在拋物線區(qū)域內(nèi)的米粒數(shù)為n，則=，所以S=.

案例分析 《課標(biāo)》（2011版）指出：“綜合與實踐內(nèi)容設(shè)置的目的在于培養(yǎng)學(xué)生綜合運用有關(guān)的知識與方法解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，積累學(xué)生的活動經(jīng)驗，提高學(xué)生解決現(xiàn)實問題的能力. ”生1、生2、生3、生4都給出了解決的辦法，可以說是越來越精確，而生5卻另辟蹊徑，通過實驗的方法求面積，實在是一大亮點. 對于初中生來說，這樣一個實踐活動的處理方案，沒有現(xiàn)成的方法可供借鑒，需要學(xué)生充分利用已有的知識儲備，尋求解題之路. 所謂仁者見仁，智者見智. 標(biāo)準(zhǔn)答案是（-x2+1）dx=，至于學(xué)生能夠精確到什么程度，已經(jīng)不是最重要的了. 活動的關(guān)注點是：在嘗試解決這一問題的過程中，學(xué)生究竟采用了什么方法，有哪些創(chuàng)造性的成分，用到了什么數(shù)學(xué)思想，能力有沒有得到鍛煉與提升等. 此時，教師在學(xué)生探究熱情高漲的情況下，適時引導(dǎo)、拔高，將起到錦上添花的效果. 如方法中用到的以直代曲，滲透的極限思想；學(xué)生做到三等分點，就不想繼續(xù)了，而古人祖沖之計算圓周率的艱辛以及劉徽“割圓術(shù)”的堅持不懈都可以給學(xué)生以觸動等.

教學(xué)啟示

1. 數(shù)學(xué)思想方法的重要性

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)大廈的基石. 日本著名的教育家米山國藏指出：“作為知識的數(shù)學(xué)，出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想、研究方法等，這些將隨時隨地發(fā)生作用，使人們終身受益. ”的確，數(shù)學(xué)知識是定型的、靜態(tài)的；知識的記憶是暫時的；而思想方法的掌握是永久的. 《課標(biāo)》（2011版）也指出：“獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗. ”簡稱為“四基”. 因此，在平時的教學(xué)過程中，教師要深刻認(rèn)識到數(shù)學(xué)思想方法的重要性，并能夠?qū)⑵渥鳛榕嘤龑W(xué)生核心素養(yǎng)的內(nèi)容，精心設(shè)計、經(jīng)歷過程，促進(jìn)學(xué)生能力的提升.

2. 極限思想教學(xué)的必要性

極限思想是數(shù)學(xué)思想方法的重要組成部分，且教材中蘊含了體現(xiàn)極限思想的豐富內(nèi)容，但是在當(dāng)前的教學(xué)中，極限思想沒有得到很好地提煉，學(xué)生對極限思想還比較陌生. 而通過以上幾個案例，筆者可以切身感受到極限思想的“無處不在”，同時它還與數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般等緊密聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了關(guān)聯(lián)性. “不是缺乏美，而是缺少一雙發(fā)現(xiàn)美的眼睛.”教師要能夠從平時的素材中捕捉、提煉、引導(dǎo)、教育，促進(jìn)學(xué)生極限思想意識的提升，這不僅能豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，而且有利于學(xué)生形成“數(shù)學(xué)式”的思考方式.

3. 極限思想教學(xué)的科學(xué)性

“皮之不存，毛將焉附？”極限思想不是空中樓閣，它扎根于“基層”，與數(shù)學(xué)知識緊密相連，空洞的強調(diào)、枯燥的說教極限思想的重要性，學(xué)生記不住，感受也不深. 選擇合適的載體，抓住適宜的時機，選擇更加科學(xué)的教學(xué)方式，有利于學(xué)生高效地領(lǐng)悟極限思想和運用極限思想，從而有助于學(xué)生認(rèn)同并自覺應(yīng)用極限思想.

《莊子》有言：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭. ”可以認(rèn)為這是樸素的極限思想. 在極限思想的教學(xué)研討之路上，只要我們不斷努力，一定能夠?qū)崿F(xiàn)“有限嘗試的無限未來”！