周忠武

[摘 要] 本文主要針對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中忽視數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，提出自己的看法. 并結(jié)合兩個(gè)案例，分析在數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)律教學(xué)中，如何發(fā)揮學(xué)生的主體地位，使學(xué)生積極主動(dòng)地參與到數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中.

[關(guān)鍵詞] 教學(xué)過(guò)程；思想方法；思維能力；數(shù)學(xué)概念

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）的總目標(biāo)指出，“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程”. 然而受“應(yīng)試”的影響，許多老師仍然熱衷于對(duì)學(xué)生解題和考試技能的訓(xùn)練，忽視知識(shí)的產(chǎn)生發(fā)展過(guò)程. 因此，在義務(wù)教育階段應(yīng)該加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生主動(dòng)參與并經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程.

讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成

過(guò)程

當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的普遍現(xiàn)象是注重解題，忽視概念. 教師對(duì)概念的講解如蜻蜓點(diǎn)水般一帶而過(guò)，然后就迫不及待地進(jìn)入“題海戰(zhàn)術(shù)”模式. 在筆者看來(lái)，數(shù)學(xué)概念是展開(kāi)數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)和依據(jù)，概念理解不清就難以深入地展開(kāi)相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，獲得數(shù)學(xué)知識(shí)技能. 此外，數(shù)學(xué)概念本身的形成過(guò)程就蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，而這些思想方法正是訓(xùn)練學(xué)生思維能力的最好素材. 所以對(duì)概念的教學(xué)不能以簡(jiǎn)單粗暴的方式不了了之，應(yīng)該細(xì)嚼慢咽，循序漸進(jìn).

案例1 函數(shù)的概念

現(xiàn)有教材體系中，在學(xué)習(xí)函數(shù)之前，函數(shù)對(duì)初中生而言是一個(gè)未知的領(lǐng)域. 在研究初中函數(shù)前，學(xué)生所接觸的都是和常量有關(guān)的知識(shí)，而初中函數(shù)揭示的是兩個(gè)變量間的依賴(lài)關(guān)系. 學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)之前缺乏與函數(shù)直接相聯(lián)系的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ). 斯根普曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“超過(guò)個(gè)人已有概念層次的高階概念不能用定義方式來(lái)溝通，只能收集有關(guān)例子供其經(jīng)驗(yàn)，再靠他自己抽象以形成概念. ”所以在筆者看來(lái)，在函數(shù)概念教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)盡可能采取概念形成的模式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般再回歸到特殊，從具體到抽象再到具體的過(guò)程.

1. 重視生活背景引入

可以在生活中尋找多個(gè)領(lǐng)域的函數(shù)的模型，讓學(xué)生接受各種類(lèi)似的刺激，感受接下來(lái)所學(xué)知識(shí)（即函數(shù)）廣泛的應(yīng)用性和研究的必要性. 然后讓學(xué)生運(yùn)用已有數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)突破模型，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，解決問(wèn)題.

2. 加強(qiáng)例證分析，抽象本質(zhì)屬性

首先讓學(xué)生獨(dú)立思考和分組討論，對(duì)比所列舉案例的共性與差異. 通過(guò)學(xué)生之間的交流和思想碰撞分化出例證的各種屬性，再概括出它們的共同屬性. 在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前有常量和變量的認(rèn)知基礎(chǔ)，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)以下特征：列舉的所有案例都處于一個(gè)變化的過(guò)程中；這個(gè)變化的過(guò)程都只存在兩個(gè)變量，即自變量和因變量；都能通過(guò)若干個(gè)常量建立起它們間的等式關(guān)系；重點(diǎn)是這個(gè)過(guò)程都是因?yàn)橐粋€(gè)量發(fā)生變化從而導(dǎo)致另一個(gè)量發(fā)生變化，所以?xún)勺兞恐g存在某種不可描述的依賴(lài)關(guān)系等. 為了描述這種難以形容的依賴(lài)關(guān)系，教師可以分別列出關(guān)于上述案例中自變量和因變量的取值表，使這種抽象的依賴(lài)關(guān)系具體化，為學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)本質(zhì)特征搭建一個(gè)“腳手架”. 然后提出一系列具有啟發(fā)意義的組合問(wèn)題：我們?cè)撊绾蚊枋鲞@種依賴(lài)關(guān)系？當(dāng)自變量取定一個(gè)確定的值時(shí)，這個(gè)變化過(guò)程中對(duì)應(yīng)的因變量有幾個(gè)？當(dāng)因變量取一個(gè)確定值時(shí)，是否只有唯一的自變量與之對(duì)應(yīng)？這樣，函數(shù)中兩變量之間的依賴(lài)關(guān)系和“唯一性”就能在“腳手架”和組合問(wèn)題的幫助下被學(xué)生突破. 接下來(lái)師生合作，通過(guò)總結(jié)概括，抽象出上述案例一系列共有特征：變化過(guò)程，兩個(gè)變量，相互依賴(lài)，唯一對(duì)應(yīng). 最后將這些共同屬性推廣到同類(lèi)事物中，把具有上述四個(gè)共同特征的事物歸為一類(lèi)，引出函數(shù)概念. 得到函數(shù)模糊的表象之后，可以試著讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言描述什么是函數(shù)，對(duì)比教材中給出的規(guī)范的概念敘述，對(duì)學(xué)生的表述進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，形成概念.

3. 概念辨析，建立聯(lián)系

在學(xué)生形成簡(jiǎn)單的函數(shù)概念意象之后，為了對(duì)概念進(jìn)一步深化，教師需要指出概念中的關(guān)鍵屬性和內(nèi)涵，并據(jù)此列舉適當(dāng)反例以充實(shí)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，防止形成錯(cuò)誤的理解. 最后我們不妨讓學(xué)生結(jié)合自身實(shí)際，根據(jù)關(guān)鍵屬性，舉出生活中的函數(shù)例子. 知識(shí)只有來(lái)源于實(shí)踐，又還原于實(shí)踐，才能完成其形成過(guò)程. 所以需要引導(dǎo)學(xué)生再?gòu)囊话慊貧w到特殊，檢測(cè)學(xué)生概念掌握水平，達(dá)到讓學(xué)生主動(dòng)內(nèi)化函數(shù)概念的效果.

通過(guò)上述過(guò)程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠?qū)ν?lèi)事物中不同的具體例子進(jìn)行感知，分化出它們的各種特征，經(jīng)過(guò)分析比較這些特征，以歸納的方式，抽象概括出這類(lèi)事物所具有的本質(zhì)屬性，從而獲得概念. 這一過(guò)程中，學(xué)生先是從同類(lèi)具體事物到一般概念，識(shí)別出與該類(lèi)事物相關(guān)與無(wú)關(guān)的關(guān)鍵信息，確定函數(shù)概念的內(nèi)涵. 再?gòu)囊话愀拍罨氐狡渌唧w事物中，分辨出生活中哪些事物可以用函數(shù)解釋?zhuān)_定函數(shù)概念的外延. 整個(gè)概念學(xué)習(xí)過(guò)程，不僅獲得函數(shù)的新知，更有助于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維水平的提升以及學(xué)生對(duì)事物的分類(lèi)和辨別能力的培養(yǎng).

讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)

過(guò)程

掌握世界的普遍發(fā)展規(guī)律是我們認(rèn)識(shí)并改造世界的基本途徑. 所以，作為教師我們有必要教會(huì)學(xué)生一種探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基本模式，為后續(xù)學(xué)習(xí)和終身學(xué)習(xí)打下方法上的基礎(chǔ). 在筆者看來(lái)，知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程就是人們認(rèn)識(shí)和改造世界的過(guò)程. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中需要對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行情境“再創(chuàng)造”，讓學(xué)生主動(dòng)參與到數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中，感悟數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問(wèn)題的能力.

下面我們以多邊形外角和為例，對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)做簡(jiǎn)單說(shuō)明.

案例2 多邊形外角和

對(duì)于多邊形外角和教學(xué)，中學(xué)教師中比較流行的一種方法是基于多邊形內(nèi)角和公式直接證明得出定理. 然而陳省身教授曾經(jīng)指出：“說(shuō)三角形內(nèi)角和為180度不對(duì)，不是說(shuō)這個(gè)事實(shí)不對(duì)，而是說(shuō)這種看問(wèn)題的方法不對(duì)，應(yīng)當(dāng)說(shuō)三角形外角和是360度. ”相比之下，多邊形的外角和更容易體現(xiàn)數(shù)學(xué)中“變中的不變”的數(shù)學(xué)美感. 為此筆者做出如下設(shè)計(jì)：

1. 復(fù)習(xí)舊知

請(qǐng)同學(xué)在草稿紙上畫(huà)出三角形，四邊形，五邊形，六邊形，并表示出它們的外角. 進(jìn)而思考多邊形的外角和與它邊的個(gè)數(shù)變化是否有關(guān)？使得學(xué)生在這個(gè)問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，開(kāi)始多邊形外角和的探索活動(dòng).

2. 實(shí)驗(yàn)探究，提出猜想

首先教師引導(dǎo)學(xué)生借助“測(cè)量”，從“數(shù)”的角度經(jīng)歷多邊形外角和的研究. 讓學(xué)生分別度量上述圖形的外角，并計(jì)算其外角和，記錄成表，可以發(fā)現(xiàn)它們的外角和都接近360度. 這時(shí)可以讓學(xué)生猜測(cè)七邊形，八邊形，甚至n邊形的外角和. 從數(shù)理統(tǒng)計(jì)的維度觀察世界，采用不完全歸納法的數(shù)學(xué)方法，通過(guò)合情推理得出如下猜想：多邊形的外角和為360度. 然后可以引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)角度思考：等于360度的角是周角，所以把上述圖形的所有外角剪下來(lái)肯定能拼成一個(gè)周角. 于是教師可以讓學(xué)生分別剪下草稿紙中上述圖形的外角，然后拼在一起，檢驗(yàn)它們各自的外角是否能構(gòu)成一個(gè)無(wú)縫隙無(wú)重疊的周角. 這樣讓學(xué)生從“形”的觀點(diǎn)感知多邊形的外角和，不僅培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)手操作的能力，還能讓學(xué)生對(duì)多邊形外角和有更深刻的認(rèn)識(shí)和理解，體現(xiàn)學(xué)生在教學(xué)中的主體地位.

3. 驗(yàn)證猜想，形成定理

波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“在科學(xué)家的工作中，猜想幾乎總是走在證明前面. ”所以猜想是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的開(kāi)始，但是對(duì)試驗(yàn)猜想的結(jié)論只有通過(guò)理論證明后才具備可信度. 為了避免“度量”和“拼圖”中存在的誤差，強(qiáng)化數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，我們通過(guò)多媒體工具作多邊形各邊的平行線(xiàn)，將多邊形收縮成一點(diǎn)，使所有的外角匯聚到一點(diǎn)，讓所有外角形成一個(gè)周角，最后利用簡(jiǎn)單的平行線(xiàn)知識(shí)對(duì)其進(jìn)行證明.

學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)量關(guān)系和空間形式兩個(gè)維度對(duì)多邊形外角和進(jìn)行探究，不僅有利于學(xué)生對(duì)數(shù)量屬性和圖形屬性的相互轉(zhuǎn)化，增強(qiáng)對(duì)多邊形外角和的感性認(rèn)識(shí)，也使學(xué)生獲得了一種尋找事物規(guī)律的普適方法.

總的來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是學(xué)生主動(dòng)參與到數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，是在老師的引導(dǎo)下通過(guò)探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納等活動(dòng)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，最后獲得數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的過(guò)程. 所以，教學(xué)中要重視學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)體驗(yàn)，并以此為基礎(chǔ)改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量. 這樣才能使學(xué)生在掌握新知的基礎(chǔ)上發(fā)展數(shù)學(xué)思維水平，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力.