戴蓉蓉

[摘 要] “四基”中新增的一基是基本思想，對(duì)基本思想的解讀，要立足于經(jīng)驗(yàn)但又不能過于經(jīng)驗(yàn)化. 從概念解析的角度來看，基本思想需要從“基本”與“思想”兩個(gè)角度建立理解，同時(shí)要厘清“數(shù)學(xué)思想”與“數(shù)學(xué)方法”之間的聯(lián)系與區(qū)別. 有效的“基本思想”理解，是建立在教學(xué)實(shí)踐基礎(chǔ)之上的，因此從教學(xué)中尋找實(shí)例建立理解，是深化理論認(rèn)識(shí)的重要途徑.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；基本思想；教學(xué)解讀

自從2011版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》頒布以來，“四基”就成為一個(gè)熱詞，而其中又以基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為數(shù)學(xué)教師所津津樂道. 在筆者看來，新的“兩基”的提出，一方面是對(duì)已有教學(xué)中一些思路的精要概括，同時(shí)也是為以后的教學(xué)指明方向. 需要強(qiáng)調(diào)的是，對(duì)于這兩個(gè)概念的理解，不能經(jīng)驗(yàn)化，不能泛化，不能將它們視作一個(gè)啥都可以往里裝的籃子，更不能只抓住概念去販賣舊的觀點(diǎn). 本文試以“基本思想”為研究對(duì)象，談?wù)劰P者的一些觀點(diǎn).

“基本”的思想

“基本思想”首先是“‘基本的思想”，既然是“基本的”思想，那就不能太多、太泛，尤其是初中階段，正是通過數(shù)學(xué)知識(shí)理解數(shù)學(xué)思想的時(shí)候，過多、過濫的思想，往往不容易讓學(xué)生形成一種線索性的認(rèn)識(shí)，這就容易讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解處于離散狀態(tài)，這顯然不是課程標(biāo)準(zhǔn)的初衷.

那么，哪些思想是基本的數(shù)學(xué)思想呢？課程標(biāo)準(zhǔn)解讀給出的答案是三個(gè)：數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)建模的思想. 不多，好記，但需要理解. 這三個(gè)思想理解起來很容易：數(shù)學(xué)原本就是抽象的產(chǎn)物，可以說沒有對(duì)實(shí)際事物的抽象就沒有數(shù)學(xué)，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其在2011版課程標(biāo)準(zhǔn)的引導(dǎo)下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)常常需要讓學(xué)生面對(duì)類生活的數(shù)學(xué)情境進(jìn)行思考，以抽象出其中的數(shù)學(xué)研究對(duì)象，進(jìn)而建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、描寫數(shù)學(xué)規(guī)律；數(shù)學(xué)推理在數(shù)學(xué)中無處不在，因此，推理思想是數(shù)學(xué)的基本思想毫不為過，最簡(jiǎn)單的證明就是初中數(shù)學(xué)中學(xué)生面對(duì)了無數(shù)次的“因?yàn)椤浴钡耐评?；?shù)學(xué)建模相對(duì)而言要“高大上”一些，在數(shù)學(xué)中建立模型的思想更多地是以隱性的形式存在，學(xué)生很多時(shí)候并不知道，這也符合初中生的認(rèn)知特點(diǎn)，你總不能在學(xué)生面對(duì)一個(gè)實(shí)際問題的時(shí)候說“我們先來建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型”，這就太標(biāo)簽化了，不符合“思想”的本義，但數(shù)學(xué)建模的過程卻需要細(xì)細(xì)引導(dǎo)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)建立模型，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要立足點(diǎn). 下面通過幾個(gè)例子來說明初中數(shù)學(xué)中三個(gè)基本思想的存在.

“數(shù)軸”是學(xué)生進(jìn)入初中之后學(xué)的第二個(gè)概念（第一個(gè)概念是有理數(shù)，人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)），這個(gè)概念的建立可以說同時(shí)包含了三個(gè)基本思想：教材中引入數(shù)軸時(shí)給出了一個(gè)實(shí)際問題，即在一條東西向的馬路上，有一個(gè)汽車站牌，汽車站牌東3 m和7.5 m處分別有一棵柳樹和一棵楊樹，汽車站牌西3 m和4.8 m處分別有一棵槐樹和一根電線桿，試畫圖表示這一情境.

分析：畫圖表示就是一種數(shù)學(xué)抽象的思想，其后將圖演變成數(shù)軸更是一種數(shù)學(xué)抽象，因此抽象是存在的；將題意轉(zhuǎn)換成圖形需要簡(jiǎn)單的演繹推理（在歸納了生活經(jīng)驗(yàn)與此前數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上），確定單位長(zhǎng)度并表示圖中的四個(gè)數(shù)據(jù)也是推理，因此推理是存在的；最后形成的數(shù)軸則毫無疑問是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，因此數(shù)學(xué)模型亦是存在的.

其實(shí)只要細(xì)細(xì)分析，可以發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建過程中，很多數(shù)學(xué)規(guī)律的探究并得出的過程中，都有這三個(gè)基本思想的存在，由此也反證了這三個(gè)思想確實(shí)是“基本”的思想.

基本的“思想”

無論是以前的“雙基”，還是現(xiàn)在的“四基”，盡管簡(jiǎn)稱里面強(qiáng)調(diào)的是“基”，但實(shí)際上人們更為關(guān)注的是“思想”. 要知道，并不是所有的表達(dá)都可以稱為思想，真正的思想其實(shí)是很寶貴的！從純粹數(shù)學(xué)意義的角度來看，只有涉及作為科學(xué)的數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展的“根本”的表述，才能稱之為“數(shù)學(xué)思想”. 既為數(shù)學(xué)思想，便是數(shù)學(xué)知識(shí)大廈的基礎(chǔ)，從而也就是數(shù)學(xué)課程的靈魂. 關(guān)于數(shù)學(xué)思想的表述，很多人給予了不同的通俗表達(dá)，筆者以為這樣的表達(dá)是適切的，有助于一線教師更好地理解數(shù)學(xué)思想. 比如，有人說“數(shù)學(xué)思想就是忘記了所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)之后剩下的東西”（這句話最初出于愛因斯坦的相關(guān)表述，茲不贅述），確實(shí)如此，如果從學(xué)生成長(zhǎng)的角度來看，當(dāng)學(xué)生離開數(shù)學(xué)課堂之后，他們還能用數(shù)學(xué)推理去對(duì)生活中的某些事物進(jìn)行判斷，他們甚至還能將推理的能力遷移到其他學(xué)科中. 比如，有學(xué)生遇到陌生的歷史選擇題時(shí)，能夠根據(jù)題中所給的信息推理題目中所說的事情發(fā)生的朝代（這可是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)所強(qiáng)調(diào)的課程融合）；又如，學(xué)生進(jìn)入社會(huì)之后，他們還會(huì)借助數(shù)學(xué)思想，根據(jù)自己的生活需要選擇電信資費(fèi)套餐等，這也是數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用. 在這樣的情境中，學(xué)生未必會(huì)意識(shí)到數(shù)學(xué)的存在，但數(shù)學(xué)思想的的確確就客觀存在著，這就是數(shù)學(xué)思想的魅力！

將“基本思想”理解成“基本的‘思想”，就意味著教師的教學(xué)著力點(diǎn)也需要放在思想本身. 但正如上面所論述的一樣，思想有時(shí)其實(shí)不宜作為顯性存在，尤其是不適宜當(dāng)作標(biāo)簽貼在某個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)上. 思想猶如靈魂，其存在于肉體當(dāng)中同時(shí)又支配著肉體的行動(dòng)，這才是思想的作用機(jī)制. 當(dāng)然，在學(xué)生已經(jīng)理解了某個(gè)基本思想，已經(jīng)能夠熟練運(yùn)用思想之后再告訴學(xué)生這一數(shù)學(xué)思想的名稱，這并不是貼標(biāo)簽，這只是數(shù)學(xué)思想以具體概念的形式出現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)有機(jī)組成部分.

在三個(gè)基本數(shù)學(xué)思想當(dāng)中，數(shù)學(xué)建模的思想尤其需要經(jīng)歷這樣的建構(gòu)過程. 在七年級(jí)下學(xué)期或八年級(jí)上學(xué)期，抓住某一個(gè)運(yùn)用到數(shù)學(xué)建模的教學(xué)機(jī)會(huì)，就可以將思想顯性化（概念化），如“平面直角坐標(biāo)系”的學(xué)習(xí)，基于確定位置的需要并通過對(duì)實(shí)際問題抽象之后，便建立了平面直角坐標(biāo)系. 建立之后，讓學(xué)生反思其建立過程，并尋找此前用到類似方法的過程，于是學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，通過類似的過程，可以建立一個(gè)解決一類數(shù)學(xué)問題的工具，正因?yàn)檫@個(gè)工具（其實(shí)就是數(shù)學(xué)概念或規(guī)律）具有普遍適用性，因而其就具有了模型作用，于是這樣的過程就是數(shù)學(xué)建模的過程. 當(dāng)然，這還需要教師根據(jù)實(shí)際情況去判斷，即使整個(gè)初中階段不提數(shù)學(xué)建模的名稱，也并不會(huì)實(shí)質(zhì)性地影響學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，畢竟，數(shù)學(xué)建模作為思想運(yùn)用，才是最實(shí)質(zhì)的.

思想與方法

談到數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)教師幾乎都能直覺性地想到“數(shù)學(xué)方法”，但是很顯然，這兩者不是同一個(gè)概念. 思想是根源性的，是方法的源泉；方法具有操作性，也常常是程序性的，是有具體的執(zhí)行步驟或路徑的. 因此，思想非方法，但思想與方法之間存在著密切的關(guān)系. 初中數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)方法較多，如解方程或解方程組中的代入法、配方法、公式法等.

其實(shí)，作為一線數(shù)學(xué)教師，更多的需要從數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的理論梳理中，找到數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的智慧. 這里有一個(gè)重要的認(rèn)知就是：數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)方法的根源，其外在體現(xiàn)為具體的數(shù)學(xué)方法，而數(shù)學(xué)思想要想變成數(shù)學(xué)方法，最重要的途徑就是將數(shù)學(xué)思想所演繹出來的“程序化操作”顯現(xiàn)出來.

什么意思呢？這里還是通過“數(shù)軸”這一事例進(jìn)行說明：在“數(shù)軸”的教學(xué)中，會(huì)同時(shí)用到數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)建模的基本思想，但在實(shí)際問題與數(shù)軸這一模型之間，教材設(shè)計(jì)了一個(gè)“畫圖”的中間過程，這個(gè)過程可有可無嗎？當(dāng)然不是，在筆者看來，這恰恰是體現(xiàn)教材編寫者高超智慧的地方. 因?yàn)閺膶W(xué)生構(gòu)建數(shù)軸的角度來看，他們不可能一下子想到用數(shù)軸這一模型來表示實(shí)際問題，而畫圖卻是初中生非常感興趣的（事實(shí)上他們從小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)開始就喜歡畫圖的方式，這與學(xué)生的形象思維有關(guān)），也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直覺性行為. 因此，畫圖這一中間過程，就將學(xué)生所用到的三種基本思想形象化、技術(shù)化了. 當(dāng)三個(gè)基本思想支配著學(xué)生的畫圖及其結(jié)果時(shí)，就意味著數(shù)學(xué)思想在向數(shù)學(xué)方法演變. 其演變過程可以這樣簡(jiǎn)述：學(xué)生在面對(duì)實(shí)際問題的時(shí)候，大腦會(huì)根據(jù)文字描述構(gòu)建出相應(yīng)的表象；在“畫圖”的要求下，這些表象最終會(huì)轉(zhuǎn)換為學(xué)生筆下的圖形——由路、樹、電線桿、汽車站牌等構(gòu)建出來的簡(jiǎn)圖；其后，又在“用數(shù)簡(jiǎn)明地表示這些樹、電線桿與汽車站牌的相對(duì)位置關(guān)系”這一要求的作用下進(jìn)一步抽象，你會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生確實(shí)會(huì)有效進(jìn)行這兩步抽象，也確實(shí)可以順利地建構(gòu)出數(shù)軸這一用于表示、解答數(shù)學(xué)問題的模型. 此過程中，三個(gè)數(shù)學(xué)思想是內(nèi)在于學(xué)生心中的，而其演繹出來的帶有步驟性的操作，其實(shí)就是數(shù)學(xué)方法的產(chǎn)物.

綜合地說，觀念性的、概括性的（當(dāng)然還有其他一些表述）是數(shù)學(xué)思想，操作性的、程序性的是數(shù)學(xué)方法. 厘清兩者的關(guān)系，可以讓教師在教學(xué)中更好地分清教學(xué)重點(diǎn)，從而更有效地實(shí)施教學(xué).