胡軍　鐘文麗

[摘 要] “教學相長，相教相學”是陶行知先生“教學做合一”教育思想在新時代的新體現(xiàn)，與上海市寶山區(qū)“六步一單”的教學模式相輔相成，是培育學生核心素養(yǎng)的助推器. 本文以滬教版七年級上冊“9.14公式法因式分解（1）”的課堂教學實踐為例，全面呈現(xiàn)和剖析了整節(jié)課教學設計的六個步驟.

[關(guān)鍵詞] 教學相長；相教相學；公式法因式分解

在“互聯(lián)網(wǎng)+”的時代背景下，“慕課”“微課”“翻轉(zhuǎn)課堂”等教學形式的出現(xiàn)，對傳統(tǒng)教育進行了顛覆，使學習方式、教學形式發(fā)生了深刻變革，教與學相互交融，“教學相長，相教相學”的思想更加彰顯出它的內(nèi)在價值. 目前，教育界密切關(guān)注“核心素養(yǎng)”話題，而核心素養(yǎng)的培育和學生高階思維的養(yǎng)成可以通過“教學相長，相教相學”來助推和實現(xiàn)，從而達到從學會、會學到樂學的境界.

“教學相長，相教相學”的時代

內(nèi)涵

“教學相長”的教學思想首次出現(xiàn)在《禮記·學記》中：“是故，學然后知不足，教然后知困. 知不足，然后能自反也；知困，然后能自強也. 故曰教學相長也. ”“相教相學”，即通過集體學習、合作交流研討，達到教與學相互促進的目的. 這一思想深刻揭示了以教促學的內(nèi)涵. 陶行知先生身體力行，將“教學相長”的思想進一步發(fā)展，提出“教學做合一”的著名教育理論，并且推行“小先生制”等教學實踐. 陶行知先生曾經(jīng)說過：“好的先生，必是一方面指導學生，一方面研究學問. ”小先生制與課堂教學深度融合，重構(gòu)基于學生評教的教學研修形態(tài)，這是“教學相長，相教相學”形成的雛形.

自20世紀80年代以來，上海市寶山區(qū)一直在認真學習、探究和踐行陶行知先生的教育思想，在教育的改革與發(fā)展之路上，在“學陶、師陶、研陶”的主旋律下取得了豐碩成果. 隨著時代的變遷，在陶行知先生的教育思想指引下，數(shù)學教育教學不斷進行改革與創(chuàng)新，與本土文化相融合，在數(shù)學教育綜合改革的探索中尋找新的路徑，煥發(fā)出新的活力. 寶山區(qū)在陶行知先生“教學做”的思想指導下，為了培養(yǎng)學生積極主動的學習行為和思維品質(zhì)，深化了“教學相長，相教相學”的教學策略，力圖將生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，將實際生活的經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為數(shù)學知識. 在數(shù)學教學改革深化階段，研究者和實踐者結(jié)合時代發(fā)展趨勢，將陶行知先生“教學做合一”的思想融入課堂教學路徑，“教學相長，相教相學”也被賦予新的內(nèi)涵，呈現(xiàn)出新的形式，體現(xiàn)了教育的變革與發(fā)展內(nèi)在動力和機制. 寶山區(qū)提出“教學相長，相教相學”的教學規(guī)程，就是為培養(yǎng)學生主動積極的學習行為和思維品質(zhì)，而對教師教學行為的轉(zhuǎn)變提出的若干規(guī)定及其相關(guān)操作策略，提供一系列或一整套的規(guī)范與操作指南. 之所以提出規(guī)程的話題，是因為寶山教育的綜改方案提出了新陶行知“教學做合一”課堂教學改革要求.

“教學相長，相教相學”的教學規(guī)程是對教師教學行為的轉(zhuǎn)變提出的行為規(guī)范與操作指南. 2014年2月17日，20名初一的學生進行了一場“翻轉(zhuǎn)課堂”的全新體驗. “翻轉(zhuǎn)課堂”改變了傳統(tǒng)的數(shù)學教學步驟：過去學生在課堂上一起學習新知識，課后自主應用學到的知識和技能；而“翻轉(zhuǎn)課堂”則是課前學生自覺開展自主學習，課堂中教師因材施教開展教學活動，幫助他們掌握和運用課前學到的新知識與技能. 2013年9月，華東師范大學建立慕課中心，并組織高中、初中、小學慕課聯(lián)盟（C20MOOCs），開展了多項研討活動. 以學生為主體，師生形成了學習共同體，教師充分發(fā)揮“協(xié)助者”和“合作者”的角色. “以教助學，以學促教”的方式在新的時代背景下有了新的形式，學生紛紛表示“教學相長，相教相學”的方式讓他們對數(shù)學課堂教學內(nèi)容更感興趣.

“教學相長，相教相學”不僅體現(xiàn)了師生平等，而且對師生的全面和諧發(fā)展意義重大. 2012年，上海率先推出《中小學生學業(yè)質(zhì)量綠色指標》，考查學校教學的“綠色程度”. 而促進學生全面和諧健康發(fā)展是“綠色”指標的核心. 除了促進學生全面發(fā)展，“綠色指標”還要求教師和學校達到某些“綠色指標”. 而“綠色指標”的目標實現(xiàn)必須注重教與學的相互作用，實施“教學相長，相教相學”的教學策略，全面深化初中教學改革. “教學相長，相教相學”是“教學做合一”的本土基因，教與學并重聯(lián)用. “學源于思，思起于疑”，上海市教委重視培養(yǎng)中小學生的高階思維，還將“高層次思維能力”列入評價學生學業(yè)水平的綠色指標. 而初中數(shù)學作為核心課程，必須通過“教學相長，相教相學”的教學策略，培養(yǎng)學生的高階思維，通過小組合作、發(fā)現(xiàn)學習、探究學習等“教學相長”方式，才能真正做到讓學生擁有“數(shù)學高階思維”.

“教學相長，相教相學”提倡教人者教己，這在培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的過程當中起到了重要作用. 為了培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，教師既需教授學生學科知識，又要提高學生的學科素養(yǎng)，因此必須對知識進行更加深入地學習和了解，對學生素質(zhì)進行全面考查. 初中數(shù)學課堂作為學生學習的主要場所，是學生數(shù)學核心素養(yǎng)塑造與形成的主要渠道. 傳統(tǒng)意義上，課堂較為關(guān)注知識的傳授，缺乏理論聯(lián)系實際的效用，而“教學相長，相教相學”的理念與陶行知先生“教學做合一”這一教育思想相契合，在數(shù)學教學綜合改革中，越來越注重以學生的“做”為中心，提升學生學習的內(nèi)驅(qū)力以及引導學生主動思考、主動發(fā)現(xiàn)、主動學習.

無論數(shù)學教學形式發(fā)生怎樣的改變，都始終未離開過陶行知先生“千教萬教教人求真，千學萬學學做真人”的教學目標與學習目標，新的教學形式與“教學相長，相教相學”的教學策略相互融合，促進初中數(shù)學教學發(fā)展.

“教學相長，相教相學”在實踐

中的應用

誠如上文所述，“教學相長，相教相學”的理念在教學中的價值不容置疑，但這一思想和方法必須滲透在數(shù)學課堂教學中才能發(fā)揮作用. 本文結(jié)合滬教版七年級上冊“9.14公式法因式分解（1）”的課堂教學設計與實施，談談自己的做法. 學生學習了整式的乘法之后，剛學會運用提取公因式進行因式分解，本節(jié)課學習因式分解的第二種方法——公式法. 筆者通過學習目標、自主學習、發(fā)現(xiàn)問題、小組討論、獨立作業(yè)與任務展示、評價這六個環(huán)節(jié)以及一份學習任務單這樣的“六步一單”，探析“教學相長，相教相學”教學策略在數(shù)學課堂中的有效實施，從而透析學生數(shù)學核心素養(yǎng)的塑造與形成過程. 本節(jié)課采用了“問題引發(fā)探究，任務驅(qū)動學習”的基本教學策略，整節(jié)課的教學流程設計為以下六個步驟.

1. 明確學習目標與任務

學習目標是學生學習的起點，也是歸宿. 學習目標的實現(xiàn)需要通過學習任務來完成. 因此，上課伊始，教師用PPT清晰地向?qū)W生展示了本節(jié)課要掌握并使用平方差公式進行因式分解，使學生能熟練運用平方差公式進行因式分解，發(fā)展逆向思維和歸納能力的學習目標與任務. 以展示性的任務為導向，將學習的內(nèi)容與學生的學習行為建立有意義的聯(lián)系. 教師組織學生積極參與小組合作討論，進一步明確因式分解與整式乘法之間的關(guān)系，并在小組內(nèi)或在全班展示自己探索并運用平方差公式進行因式分解的思維過程.

2. 選擇學習內(nèi)容與問題情境

問題情境是指教師有目的、有意識地創(chuàng)設各種情境，促使學生質(zhì)疑問難. 問題源于情境，通過一個個問題的引領(lǐng)，開展任務驅(qū)動教學，引發(fā)學生不斷地思考，從而自主發(fā)現(xiàn)、猜測質(zhì)疑、驗證假設. 本節(jié)課的問題情境旨在分離已知和未知，初步感知因式分解與整式乘法之間的互逆關(guān)系. 具體問題的情境如下：

有一張紙片（如圖1），該紙片是將一個邊長為a的大正方形的右上角挖去一個邊長為b的小正方形后剩余的部分.

（1）求該紙片的面積；

（2）請你將該紙片用剪刀剪一刀，然后拼成一個你熟悉的幾何圖形，求它的面積；

（3）仔細觀察（1）（2）所得的面積表達式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

3. 理清學生問題及其定位

當學生呈現(xiàn)出問題之后，教師需要與學生共同討論，引領(lǐng)學生理清問題，界定問題解決的邊界. 教師組織學生對學生提出的問題進行梳理和篩選，依據(jù)課標通過質(zhì)疑、提問、交流等將問題進行定位，幫助學生理清本節(jié)課與學習任務相關(guān)的問題，并提供學生解決問題的支架.

閱讀本節(jié)課的問題情境之后，學生進行小組討論，學生可能會對如下問題有所疑問：如何確定公因式中的數(shù)字系數(shù)？如何確定公因式中的字母及其指數(shù)？如果多項式各項中含有相同的式子，如何處理？如何確定多項式的公因式？經(jīng)過學生的思考與討論，找出答案，并通過具體實例進行定位解決.

4. 促進小組合作探索與交流

小組合作是為完成學習任務，幾個人組成一個團隊一起分工合作進行學習. 小組合作增加了生生與師生之間的多向交流，能夠提高學生學習的主動性和自控力. 教師通過小組合作討論，引導學生自主解決本節(jié)課聚焦和定位的問題，探究得出平方差公式分解因式的特點和適用范圍，培養(yǎng)學生自主學習、合作交流和探索新知的能力. 學生在理解、掌握平方差公式分解因式特點的基礎(chǔ)上，進一步討論與歸納解題步驟.

上課時，教師巡視各個小組，發(fā)現(xiàn)討論中的閃光點，并適當引導學生探究出能運用平方差公式分解因式的特點（提示因式分解的適用范圍）.

學生在理解、掌握平方差公式分解因式特點的基礎(chǔ)上，學會運用平方差公式對多項式進行因式分解. 通過“議一議”的兩個問題，引導學生發(fā)現(xiàn)因式分解運用平方差公式的特征，并學會運用平方差公式對多項式進行因式分解. 本節(jié)課設計了以下兩個問題.

問題1 判斷下列多項式能否用平方差公式分解因式，為什么？

（1）x2-y2；（2） a2-4；（3）4x2+y2；（4）-9x2+4y2；（5）-9x2-4y2；（6）a2-3；（7）（a+b）2-（a+c）2.

問題2 如何運用平方差公式對多項式進行因式分解？

例題 因式分解： （1）-9x2+4y2；（2）3x3-12x.

教師要不斷激勵學生討論如何運用平方差公式因式分解；鼓勵他們嘗試歸納運用平方差公式因式分解的解題步驟，并進一步討論、歸納解題步驟，在此基礎(chǔ)上進行總結(jié). 通過問題的聚焦和定位，學生主動探究得出運用平方差公式因式分解的特點和適用范圍，培養(yǎng)了其自主學習、合作交流和探索新知的能力.

5. 學生獨立作業(yè)與展示

學生通過獨立作業(yè)，深化對運用平方差公式因式分解特點的認識與理解，熟練解題步驟. 本節(jié)課通過對下列多項式因式分解這一環(huán)節(jié)，深化學生對運用平方差公式因式分解的理解.

練習 因式分解：（1）m2-36n2；（2）a3b-ab ；（3）x4-y4.

陶行知先生的“小先生制”和“藝友制”的精髓就在于教別人的過程讓自己學得更好. “教”的行為具有“展示性”，其中包含著一種對自己的能力乃至人格的肯定. 學生進行“展示”活動會激發(fā)其學習的主動性和積極性，從而發(fā)揮“為教而學”的作用；通過展示交流，能展現(xiàn)學生分析與解決問題的思維過程，鍛煉學生的口頭表達能力，以及同伴之間糾錯時的分析交流能力.

讓數(shù)學和學生的生活聯(lián)系起來，以學生的生活經(jīng)歷為主體，營造豐富的生動的真實的數(shù)學學習氛圍，賦予數(shù)學學習鮮活的現(xiàn)實意義. 這樣，學生不但會感到數(shù)學親切，更會對此產(chǎn)生興趣. 為此，本節(jié)課設計實際生活背景問題具體如下：

日常生活中經(jīng)常需要密碼（如上網(wǎng)），有一種因式分解法產(chǎn)生的密碼方便記憶又不易破譯. 例如，我們把多項式x4-y4因式分解后的結(jié)果作為密碼，當取x=9，y=9時，可得一個六位數(shù)的密碼是“162180”. 那么，多項式4x3-xy2取x=10，y=10， 用上述方法產(chǎn)生的密碼是什么（寫出一種即可）？

通過對該實際問題的解決與展示交流，既體現(xiàn)了數(shù)學來源于生活，服務于生活，又檢測了學生的學習成果，加深了學生對運用平方差公式因式分解的理解.

6. 開展評價與總結(jié)

教學評價是研究教師教育學生“學”的價值的過程. 教學評價能夠使教師和學生知道教學過程的結(jié)果，及時地提供反饋信息，同時起到強化學生學習的作用. 教師鼓勵學生回憶整節(jié)課，做一個簡單的點評，培養(yǎng)學生的語言組織能力和觀察能力，引導學生使用“我知道了……”“我學會了……”“我發(fā)現(xiàn)了……”“我還想知道……”等對本節(jié)課做出自我評價.

另外，針對本節(jié)課，筆者還設計了一份學習單，作為學生的學習支架，引導學生循序漸進地開展探究學習，幫助學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題. 本節(jié)課通過以上“六個步驟”和一份“學習單”，以學習任務為中心，促進“教學相長，相教相學”.

“教學相長，相教相學”教學實

踐總結(jié)與反思

“教學做合一”是人民教育家陶行知先生的三大教育主張之一，本節(jié)課順應了陶行知先生的“教學做合一”思想. 只有在實踐中不斷總結(jié)和反思，才能在教學中真正做到“教學相長，相教相學”.

1. 創(chuàng)設問題情境，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

落實“教學做合一”的思想重在“做”字上下功夫. 數(shù)學是人的一種活動，如同游泳一樣，要在游中學會游泳，我們也必須在做數(shù)學中學習數(shù)學，也就是在創(chuàng)造數(shù)學中學習數(shù)學.

本節(jié)課，教師在“學習內(nèi)容與問題情境”環(huán)節(jié)，設計了“做一做”的活動，即出示一張紙片，該紙片是將一個邊長為a的大正方形的右上角挖去一個邊長為b的小正方形后剩余的部分. 教師先請學生求“該紙片的面積”；接著請學生“將該紙片用剪刀剪一刀，再拼成一個熟悉的幾何圖形，并求它的面積”.

這種將學生熟悉的生活情境和感興趣的事物作為教學活動的切入點，有利于學生迅速進入思維的“最近發(fā)展區(qū)”，掌握學習的主動權(quán)，激起學生的學習欲望和探究熱情. 解決這一問題，學生既要動手，又要動腦，還要動嘴，這恰巧體現(xiàn)了陶先生提出的“六大解放”，即解放學生的頭腦、眼睛、嘴巴、雙手、時間和空間. 而且，在這個問題的解決過程中，學生的剪法多樣，有的沿著小正方形的邊剪，拼成一個長方形；有的沿著大正方形和小正方形左下角的頂點連線剪，可以拼成梯形，等等. 問題解決的方法多樣，給學生提供了思維發(fā)展的空間，為學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)搭建了有效的平臺，這正是“教學做合一”思想的具體體現(xiàn).

對于此題，教師在（1）（2）兩個問題解決的基礎(chǔ)上，提出了“仔細觀察（1）（2）所得的面積表達式，你發(fā)現(xiàn)了什么”這一問題，學生通過觀察、思考、對話交流，導出了“用平方差公式因式分解”，在此基礎(chǔ)上，教師順勢揭示課題. 這樣的處理方式，通過感性上升到理性，既符合學生的認知規(guī)律，也符合數(shù)學知識自身發(fā)生的規(guī)律，不但有利于學生鞏固知識，而且有利于學生的認識向廣度、深度進一步延伸和擴展.

本節(jié)課，學生數(shù)學知識的獲得過程是在教師的指導、幫助下“通過自己的活動，發(fā)現(xiàn)某個對象的某些特征或與其他對象的聯(lián)系”的過程. 學生經(jīng)歷這種“做”的過程，便積累了寶貴的感性材料，學生受益匪淺. 動手“做”是形成學生抽象思維的“根”和“源”，教師在課堂教學中正是重視了學生的“做”，結(jié)合教學內(nèi)容為學生創(chuàng)造“活”的機會，使學生在和諧生動的、活潑的課堂氛圍中積累和思考，主動獲取新知，適應了學生終生發(fā)展的要求，學生的數(shù)學素養(yǎng)得到了充分發(fā)展.

2. 加強學法指導，把學習的主動權(quán)交給學生

陶行知先生說過：“好的先生不是教書，不是教學生，而是教學生學. ”“‘學字的意義，是要自己去學，不是坐而受教. ”這與新課改倡導的“教會學生學習”相吻合.

“9.14 公式法因式分解（1）”的教學重點是讓學生掌握用平方差公式因式分解的特點與步驟，并能綜合運用平方差公式因式分解，而教學難點在于學生能把多項式轉(zhuǎn)換成符合平方差公式的形式，從而進行因式分解. 為了解決課堂的重點和難點，這節(jié)課采用“六步一單”的教學模式. “六步一單”的教學模式有效落實了陶先生的“教學做合一”思想，該教學模式為學生創(chuàng)設了積極主動學習的可能. 學生獨立思考、勇于嘗試、大膽質(zhì)疑，有利于充分發(fā)揮學生的學習潛能和創(chuàng)新精神. 梳理教師的教學過程，發(fā)現(xiàn)教學路徑脈絡清晰，具體可以概括如下.

（1）首先，任務引導——促進學生自學. 教師在“明確學習目標與任務”環(huán)節(jié)，圍繞教學目標，設計了3個學習任務，讓學生圍繞任務，展開自主學習. 這種任務引導，有利于促進學生自學，以任務引導的自學能激發(fā)出更多的可能性，從而突出學生主動學.

（2）其次，質(zhì)疑提問——激活學生潛能. 教師在“學生問題與問題定位”環(huán)節(jié)，讓學生思考任務，醞釀問題，互相討論，并以小組為單位提出問題，教師將問題展示在黑板上，對問題進行適當篩選和梳理，并且定位、聚焦本節(jié)課要解決的問題. 質(zhì)疑問難是探究學習的一種好方式. “問”是創(chuàng)造力形成和發(fā)展的重要表現(xiàn)，哪怕所問問題離譜荒唐，也是其內(nèi)在創(chuàng)造潛力的發(fā)揮，作為教師，不能嘲諷，而應表揚，給予正確的解答或指導與啟發(fā)學生自己去尋找答案，培養(yǎng)個性化的綜合素質(zhì). 教學時，我們還應盡可能考慮所有學生的認知水平和理解能力，關(guān)注學生已學知識與新知識的聯(lián)系，使教學做到“小臺階、低坡度”，由淺入深，讓不同的學生各取所需，在學習中找到幸福感.

（3）最后，小組合作——教會學生學習. 教師在“小組合作探索與討論交流”環(huán)節(jié)，采用小組合作的形式，讓學生自主解決本節(jié)課聚焦和定位的問題，探究出能用平方差公式因式分解的多項式特點和適用范圍. 這節(jié)課，教師幫助、引導學生自主、自動、自由地學習，重視學法指導，教會了學生“學會學習”.

3. 重視學以致用，引導學生學會思考

陶行知先生說過：“教育只有通過生活才能產(chǎn)生作用，并真正成為教育. ”也正如數(shù)學課程標準所指出的：“學生能夠認識到數(shù)學存在于現(xiàn)實生活中，并被廣泛應用于現(xiàn)實世界，才能切實體會到數(shù)學的應用價值. ”這就要求教師在數(shù)學教學中，要用恰當?shù)姆椒ㄒ龑Р煌瑢W段的學生感受數(shù)學與生活世界的聯(lián)系，要為學生提供一定的知識實際背景，設計一些與學生生活聯(lián)系比較緊密而又蘊含著數(shù)學問題的活動，有意識地引導學生學會在生活中運用數(shù)學能力去解決一些實際問題，使學生通過這些活動，既解決數(shù)學問題，又感受、體驗、理解數(shù)學，體驗到數(shù)學的價值以及成功應用數(shù)學知識解決問題的快樂，增強學生學習數(shù)學的主動性.

本節(jié)課提供了很好的學習范例. 教師在“學生獨立作業(yè)與展示交流”環(huán)節(jié)，設計了一道“密碼設計”的生活實際背景思考題，這道思考題的問題背景源于學生的生活經(jīng)驗，學生運用今天所學的知識就能輕松解決，而且解決方案多樣化. 將數(shù)學教學與學生的生活緊密聯(lián)系，通過把實際生活問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型，將生活經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為數(shù)學知識，能吸引學生參與，使所學內(nèi)容不再枯燥，能讓學生感受到數(shù)學的魅力.