潘正標(biāo)　王曉峰

[摘 要] 在常態(tài)課教學(xué)中嵌入數(shù)學(xué)實驗片段，并借助圖形計算器展開實驗探究. 以觀察、猜想、驗證、推理為活動主線，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)合作、交流、展示、思辨等契機和平臺，感受知識發(fā)生和生長的完整過程，促進(jìn)學(xué)生形成探究的策略和能力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)實驗；反比例函數(shù)；圖形計算器；課堂簡錄

背景介紹

蘇州工業(yè)園區(qū)星洲學(xué)校作為江蘇省初中數(shù)學(xué)實驗聯(lián)盟學(xué)校，于 2016年12月12日承辦了“江蘇省第六屆初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)專題研討會暨數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)新方案設(shè)計表彰會”. 筆者有幸開設(shè)了一節(jié)數(shù)學(xué)實驗公開課，嘗試在常態(tài)課中嵌入實驗片段，并借助圖形計算器展開實驗探究，同時將蘇科版《數(shù)學(xué)實驗手冊》八年級下冊“實驗13 驗證反比例函數(shù)圖像的對稱性”作為本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的延伸，在教學(xué)內(nèi)容上進(jìn)行了整合.

教學(xué)內(nèi)容

蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊“11.2 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”.

教學(xué)過程簡錄

（一）知識回顧，提出問題

師：同學(xué)們，最近我們接觸了一類新函數(shù)——反比例函數(shù)，為了更好地對它展開探究，我們先來回顧一下之前研究一次函數(shù)時，研究的主要方向和方法.

（課件演示，師生交流略）

1. 回顧

（1）請你分別指出下列一次函數(shù)的大致圖像.

（2）以一次函數(shù)y=-2x+1為例，你能說說它的圖像與性質(zhì)嗎？

交流小結(jié)：由這個表達(dá)式我們可以知道它的圖像、分布、走勢、增減性、與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo). 通過對一次函數(shù)表達(dá)式和圖像的研究，我們既可以由數(shù)的關(guān)系想到形的特征，也可借助形的直觀理解數(shù)的特性，就好像是在數(shù)和形之間架起了一道無形的橋梁.

（板書：圖像、分布、走勢、增減性、交點、數(shù)——形）

2. 問題

反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖像是怎樣的，它又具有哪些性質(zhì)呢？

師：我們不妨先來研究一個具體的反比例函數(shù)y=.

（二）合作探究，形成新知

活動一：猜想驗證，獲得發(fā)現(xiàn)

（課件演示）

1. 分析猜想

通過分析反比例函數(shù)y=中x，y的取值范圍及相互關(guān)系，你能猜想出反比例函數(shù)y=圖像的某些特征嗎？

生1：因為x，y同號，所以圖像分布在第一、三象限.

生2：因為x，y的取值都不能為0，所以我判斷圖像與坐標(biāo)軸沒有交點.

生3：因為x，y的取值都不能為0，我猜測圖像是斷開的（其他同學(xué)投來懷疑或贊許的目光）.

生4：因為y隨x的的增大而減小，所以我猜測圖像從左至右呈下降趨勢（此處學(xué)生的回答雖然有誤，筆者并未指出，為后面的“化錯教學(xué)”留下伏筆）.

師：剛才幾個同學(xué)做了分析、給出了猜想，說得蠻好的，但實際情況是這樣的嗎？咱們得驗證一下.

2. 操作驗證

（1）利用網(wǎng)格紙嘗試畫圖

師：對于一個剛接觸的新函數(shù)，你打算如何畫出它的圖像？

生4：列表、描點、連線.

師：操作過程中，有需要注意的地方嗎？

生4：列表時，數(shù)據(jù)多取一些，最好是正、負(fù)數(shù)都取，連線要平滑.

師：對！因為對它的圖像不了解，所以我們盡量多取一些有代表性的數(shù)據(jù). 接下來請大家拿出操作用紙，按PPT上的要求展開操作和探究.

（課件演示）

利用網(wǎng)格紙嘗試畫出反比例函數(shù)y=的圖像. 先組內(nèi)交流研討，再班級展示交流，分享發(fā)現(xiàn)與收獲，提出猜想和疑問.

（請兩名同學(xué)，利用黑板上的網(wǎng)格，嘗試畫圖；學(xué)生畫圖、討論，教師巡視指導(dǎo)，大約5分鐘后）

師：接下來我們請一個小組來分享一下他們的探究過程（實物投影）.

生5：起初我們四個人畫得都不一樣（實物投影分別展示圖1、圖2、圖3、圖4），通過我們剛才激烈的討論，我們覺得第4幅圖畫得比較好，不但數(shù)據(jù)取得比較多、比較勻稱，而且連線也比較平滑.

師：分歧比較大的是哪一個？

生5：（微笑）圖3，張凱同學(xué)覺得參考一次函數(shù)的畫圖，點與點順次用直尺連接，而我們根據(jù)這些點的分布和走勢，推斷圖像應(yīng)該是彎的.

師：謝謝你們的分享，還有哪個小組再來分享一下？（實物投影）

生6：這是我們組畫的4幅圖（實物投影分別展示圖5、圖6、圖7、圖8），我們覺得這兩幅圖不太正確，這幅圖（圖5）的線條不應(yīng)該往里彎（呈“C”型），以這一支為例（第一象限），當(dāng)x增大時y在減小，所以圖像應(yīng)該慢慢接近x軸，當(dāng)x減小時y在增大，所以圖像應(yīng)該慢慢靠近y軸.

師：如果這樣延伸下去，圖像會如圖7那樣，與坐標(biāo)軸在遠(yuǎn)處相交嗎？

生6：不會，因為x，y都不可能為0，所以圖像與坐標(biāo)軸也就不會有交點了，它只能無限接近坐標(biāo)軸.

師：說得很有道理！還有一幅圖又是怎樣的情況呢？

生6：這個圖像（圖6）我們還有點分歧，李華覺得就應(yīng)該是這樣的“折線圖”.

師：那你們的觀點呢？

生6：我們覺得不對，但是不知道如何解釋，這也是我們小組的困惑.

師：好的！你先回座位，我們來看看其他小組有沒有解決這個問題的方案，哪個小組來試一試？

生7：我們做了一個嘗試，先假設(shè)兩點之間的連線是直的，我們可以求出這個一次函數(shù)的表達(dá)式，然后在兩點之間又取了一組x，y值，發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)并不符合之前求得的一次函數(shù)，說明兩點之間用直尺連接是不對的.

師：這個方法挺好的！我們一起為這個小組的同學(xué)鼓鼓掌（眾生面露驚訝、興奮，并鼓掌）.

生8：我們還有更好的方法（興奮得主動站了起來）！

師：哦？說說看……

生8：我覺得如果再多取一些點的話就看出來了.

師：怎么取？取多少？

生8：在1和2之間再取9個x值，例如：1.1，1.2，1.3……這樣描點就會更密，圖像的實際情況就能看出來了.

師：這個方法好，點取得越多、越密，越能看出圖像的“廬山真面目”. 但是，人工操作不僅費時、費力，有時還難以畫準(zhǔn). 下面，請同學(xué)們拿出我們的“法寶”——HP圖形計算器，類比探究一次函數(shù)圖像時的操作方法展開探究.

（2）利用圖形計算器展開驗證（課件演示）

數(shù)學(xué)實驗室：利用圖形計算器“雙變量”點加密功能或“幾何學(xué)”點追蹤功能完成實驗驗證，并分享操作過程與實驗結(jié)果.

【功能介紹】

①“雙變量”點加密：可以根據(jù)畫圖需要進(jìn)行批量的取值、描點.

②“幾何學(xué)”點追蹤：設(shè)定變量的取值范圍、單位長度，描出符合函數(shù)表達(dá)式的動點，并繪制點運動留下的軌跡.

③圖形計算器與電腦之間可以建立獨立網(wǎng)絡(luò)，實現(xiàn)將所有學(xué)生的圖形計算器操作過程投射到一體機顯示屏，實現(xiàn)師生之間、學(xué)生之間的實時互動與展示.

（學(xué)生操作、討論，教師查看一體機屏幕，實時了解學(xué)生操作情況，大約3分鐘后）

師：誰來說說你用的是什么功能？通過操作你有什么發(fā)現(xiàn)？

生9：我的計算器是16號（教師調(diào)出16號計算機虛擬屏幕，如圖9），我用的是“雙變量”功能，通過操作我發(fā)現(xiàn)當(dāng)點畫得很多的時候，圖像的確是彎的，但是有的地方點比較密，有的地方點比較稀疏.

生10：我的計算器是22號（教師調(diào)出22號計算機虛擬屏幕，如圖10）我用的也是“雙變量”功能，我的步長取得比較小，所以點特別密，我發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)y=的圖像是兩支彎彎的曲線，并不是折線.

生11：我的計算器是19號（教師調(diào)出19號計算機虛擬屏幕，如圖11）我用的是“點追蹤”功能，通過操作我發(fā)現(xiàn)這些點運動后留下的痕跡是兩支彎彎的曲線.

師：剛才三位同學(xué)分享了他們的操作方法及發(fā)現(xiàn)，老師這邊也利用“點追蹤”功能，分象限繪制了函數(shù)y=的局部圖像（如圖12），而且我還標(biāo)注了兩個動點的坐標(biāo).

設(shè)計意圖 利用圖形計算器“雙變量”點加密功能和“幾何學(xué)”點追蹤功能展開探究，既是對前面“網(wǎng)格紙畫函數(shù)圖像”產(chǎn)生質(zhì)疑的驗證，同時通過點的動態(tài)展示以及動點坐標(biāo)的標(biāo)注，可以更好地讓學(xué)生感受點與線、局部與整體的內(nèi)在聯(lián)系. 在展示一個點、無數(shù)個點、一條線，一組數(shù)、無數(shù)組數(shù)的變化過程中，讓學(xué)生在潛移默化中感知圖像的形成，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì).

3. 優(yōu)化歸納

師：通過剛才的嘗試畫圖、操作驗證，我們發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的圖像的確是兩支平滑的曲線，我們稱之為“雙曲線”. 其實，數(shù)學(xué)家們早已做了大量的實踐與研究，驗證了反比例函數(shù)圖像是雙曲線這一事實.

（操作：教師利用圖形計算器繪制函數(shù)圖像功能畫出y=的完整圖像，如圖13）

師：下面請按這里的提示，優(yōu)化一下表格和圖像.

（課件演示）

（1）優(yōu)化表格和圖像

一般取8至10組數(shù)值，從小到大，正負(fù)數(shù)對稱，表格首尾用省略號代替；描點準(zhǔn)確、清晰；連線要力求平滑，體現(xiàn)趨勢和延伸性.

（學(xué)生板演、其他學(xué)生同步，教師巡視指導(dǎo)，小結(jié)并優(yōu)化學(xué)生板演內(nèi)容）

（課件演示）

（2）參考畫圖過程，觀察表格和圖像，試著歸納反比例函數(shù)y=的圖像和性質(zhì).

生12：圖像分布在第一、三象限，圖像與坐標(biāo)軸沒有交點，圖像的走勢向下.

師：哪一支？

生12：兩支都是.

師：它們是完全獨立的兩支，我們分象限來描述它的走勢比較合理. 第一象限內(nèi)的這支圖像從左向右，呈下降趨勢，第三象限內(nèi)的這支圖像從左向右，也呈下降趨勢.

師：這位同學(xué)給我們描述了圖像的分布和走勢，說得很棒！其他同學(xué)還有需要補充的嗎？

生13：y隨x的增大而減小.

師：之前在分析反比例函數(shù)y=的表達(dá)式時，就有同學(xué)這樣認(rèn)為，大家覺得這樣描述對嗎？

生14：我覺得不對（興奮地站起來）！

師：應(yīng)該怎么說？你是怎么看出來的？

生14：當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x<0時，y也隨x的增大而減小，我是觀察表格發(fā)現(xiàn)的.

生15：其實，從圖像和點坐標(biāo)的變化情況（指著屏幕，即圖12）就能看出來，因為它們是分開、獨立的兩支，所以只能說在各自的象限內(nèi)，圖像從左向右呈下降趨勢，也就是在各自象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.

師：說得非常好！這也是反比例函數(shù)的一個特別之處，還有需要補充的嗎？

生16：我感覺這個反比例函數(shù)的圖像是軸對稱圖形.

（同學(xué)們投來驚訝的目光）

師：哦？這個發(fā)現(xiàn)挺有意思的，你上來給大家講一下，說說你是怎么發(fā)現(xiàn)和驗證的.

生16：對稱軸是二、四象限的角平分線（學(xué)生用粉筆畫出），剛才我把之前畫的圖折疊了一下，發(fā)現(xiàn)折痕兩邊差不多是重合的.

師：很好！我們再試著沿第一、三象限的角平分線折疊一下看看.

眾生：也是對稱的（操作后，齊聲回答）.

活動二：類比分析，發(fā)現(xiàn)歸納

師：剛才幾個同學(xué)初步歸納了反比例函數(shù)y=的圖像和性質(zhì)，如果k取 “-6”，它的圖像與性質(zhì)又是怎樣的呢？

（課件演示）

類比反比例函數(shù)y=圖像與性質(zhì)的探究過程，分析反比例函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-，畫出它的圖像，并討論、記錄、分享你們組的發(fā)現(xiàn).

（請學(xué)生板演，大約4分鐘后）

師：你們是如何畫圖的？又有哪些發(fā)現(xiàn)呢？（巡視后，指定小組交流）

生17：我們通過列表、描點、連線畫得這個函數(shù)的圖像，圖像是分布在第二、四象限的雙曲線；兩支圖像也分別無限接近于坐標(biāo)軸；在各自的象限內(nèi)y隨x的增大而增大.

師：還有其他組要補充的嗎？

生18：我們發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)y=-的圖像也是軸對稱圖形，并且它與反比例函數(shù)y=的圖像既關(guān)于x軸對稱，也關(guān)于y軸對稱.

（教師適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生對照圖像加以解釋，由兩個函數(shù)圖像上的點關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，得到圖像對稱）

活動三：初步小結(jié)，深化理解

師：剛才我們研究了反比例函數(shù)y=（k≠0），當(dāng)k取6和-6時，它們的圖像和性質(zhì).

（課件演示）

對于反比例函數(shù)y=（k≠0），當(dāng)k取不同的正數(shù)或負(fù)數(shù)時，它的圖像與性質(zhì)又是怎樣的呢？

利用圖形計算器“函數(shù)”功能，快速畫出你心目中感興趣的一些反比例函數(shù)圖像，觀察后向同伴描述它的特征.

（一體機實時投射全班同學(xué)的操作畫面，如圖14、圖15）

師：通過剛才的操作與交流，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

生19：反比例函數(shù)的圖像都是雙曲線，當(dāng)k>0時，圖像分布在第一、三象限，在各自的象限內(nèi)y隨x的增大而減??；當(dāng)k<0時，圖像分布在第二、四象限，在各自的象限內(nèi)y隨x的增大而增大.

（一體機實時投射圖13）

生20：當(dāng)k取不同的正數(shù)時，k越大圖像越靠外，當(dāng)k取不同的負(fù)數(shù)時，k越大圖像越靠內(nèi).

師：通過剛才我們的一系列操作和探究，同學(xué)們對反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)已經(jīng)有了比較深刻的認(rèn)識和理解，接下來，老師要看看大家解決問題的能力.

（三）鞏固新知，解決問題

（教材例題，略）

（四）概括總結(jié)，激發(fā)思考

（課件演示）

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對反比例函數(shù)有了哪些新的認(rèn)識？在對反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)的探究過程中，有無激發(fā)你新的思考？

生21：反比例函數(shù)的圖像都是雙曲線，當(dāng)k>0時，圖像分布在第一、三象限，在各自的象限內(nèi)y隨x的增大而減??；當(dāng)k<0時，圖像分布在第二、四象限，在各自的象限內(nèi)y隨x的增大而增大.

生22：反比例函數(shù)的圖像都是軸對稱圖形，且有兩條對稱軸；以后再探究新的函數(shù)圖像與性質(zhì)，我們可以類比今天探究的過程和方法.

生23：我們小組有幾點思考：所有的反比例函數(shù)圖像是否都是中心對稱圖形？一定是軸對稱圖形嗎？k的取值與反比例函數(shù)圖像形狀之間具有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？

師：剛才幾位同學(xué)交流了他們對反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)的認(rèn)識，也提出了自己新的思考. 希望同學(xué)們課后能利用手中的圖形計算器，借助《實驗手冊》“實驗13 驗證反比例函數(shù)圖像的對稱性”提供的素材和方案，對反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)繼續(xù)展開探究.

“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”

教學(xué)點評

“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”是教材中的常規(guī)教學(xué)內(nèi)容. 本課通過數(shù)學(xué)實驗，以圖形計算器為實驗工具，以教師引導(dǎo)、學(xué)生探究為組織形式，以動手“做”數(shù)學(xué)為學(xué)習(xí)方式，對反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)進(jìn)行了探索. 本課采用的實驗教學(xué)，突破了傳統(tǒng)函數(shù)圖像教學(xué)中的難點，是一節(jié)比較成功的數(shù)學(xué)實驗課.

本課屬于計算機（包括圖形計算器）探索型片段式數(shù)學(xué)實驗. 通過模擬再現(xiàn)問題情境，借助圖形計算器的“雙變量”“幾何學(xué)”“函數(shù)”三種功能，引導(dǎo)學(xué)生動手操作、自主合作探究出反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，其基本步驟為：提出問題→觀察猜想→動手操作→驗證歸納結(jié)論，符合數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的一般特點.

（一）本課的總體印象

1. 創(chuàng)意整合的學(xué)習(xí)內(nèi)容促進(jìn)了學(xué)生對函數(shù)的全面認(rèn)識和整體把握

“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”是初中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中較為典型的研究具體函數(shù)圖像與性質(zhì)的課例. 蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中將該內(nèi)容分成2個課時，分別是“第1課時：反比例函數(shù)的圖像”和“第2課時：反比例函數(shù)的性質(zhì)”，其中，“反比例函數(shù)的圖像”只是畫圖像，內(nèi)容較為單一. 考慮到八年級學(xué)生通過一次函數(shù)的學(xué)習(xí)已經(jīng)具有了一定函數(shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，因此，為了突出反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)的關(guān)聯(lián)性、內(nèi)容的整體性，在充分尊重教材的基礎(chǔ)上，對2個課時的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行了不失理性的內(nèi)容整合，同時將蘇科版《數(shù)學(xué)實驗手冊》八年級下冊“實驗13 驗證反比例函數(shù)圖像的對稱性”也融入其中，這樣的學(xué)習(xí)內(nèi)容有助于學(xué)生全面、深刻地去認(rèn)識、理解和掌握函數(shù)知識.

2. 科學(xué)有效的活動設(shè)計推進(jìn)了學(xué)生對知識的掌握和活動經(jīng)驗的累積

一是在知識理解與掌握的層面進(jìn)行了科學(xué)設(shè)計. 對顯性知識的正確理解并進(jìn)行科學(xué)的教學(xué)設(shè)計，是開展教學(xué)的基本要求. 本課緊緊抓住了反比例函數(shù)的圖像形狀、反比例函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖像的特征這三個主要知識點，圍繞它們進(jìn)行了科學(xué)設(shè)計，促進(jìn)了學(xué)生對知識的掌握.

二是在思想方法與活動經(jīng)驗累積層面進(jìn)行了有效設(shè)計. 本課探究問題的設(shè)計，注重了問題與問題之間的關(guān)聯(lián)性. 每一個問題都是在相關(guān)問題獲得經(jīng)驗的基礎(chǔ)上提出的，這樣可以幫助學(xué)生基本活動經(jīng)驗的疊加、積累，便于探索操作的方法和路徑. 同時，學(xué)生得到函數(shù)圖像與性質(zhì)的過程，是通性通法的過程，也是知識體系的建構(gòu)過程，在建構(gòu)知識體系的過程中，滲透了數(shù)形結(jié)合、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.

三是在體驗函數(shù)研究的方式與方法層面進(jìn)行了創(chuàng)新設(shè)計. 本課對反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)的探索，突破了傳統(tǒng)的先畫圖、再觀察圖像發(fā)現(xiàn)性質(zhì)的分步走方式，采用齊步走、能夠體現(xiàn)圖形研究方法的方式. 也就是運用數(shù)學(xué)實驗，抓住圖形研究的根本著力點——對點的研究. 在點的運動過程中產(chǎn)生圖像，以及在產(chǎn)生圖像的同時發(fā)現(xiàn)圖像的變化趨勢和數(shù)量的變化規(guī)律，從而得到函數(shù)圖像的形狀、函數(shù)的性質(zhì)以及圖像的特征，很好地闡釋了所有的圖形問題本質(zhì)上都是點的問題，這是本節(jié)課設(shè)計上的最大亮點.

3. 自主合作的探究過程增進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展和學(xué)科素養(yǎng)的形成

本課既注重感性認(rèn)識，又關(guān)注理性分析. 所設(shè)計的每一個探究活動都能讓學(xué)生動手去操作，在基于活動經(jīng)驗、通過畫圖觀察獲得感性認(rèn)識、形成猜想的基礎(chǔ)上，利用圖形計算器的獨特功能進(jìn)行驗證，并引導(dǎo)學(xué)生說明猜想的正確性，從而將感性認(rèn)識上升到理論分析的層面.

傳統(tǒng)的函數(shù)圖像學(xué)習(xí)方式是先通過列表—描點—連線，再進(jìn)行觀察—發(fā)現(xiàn)—歸納，其優(yōu)點是程序化特征明顯，容易操作與模仿，利于學(xué)生對知識的接受. 但因為描出的點的個數(shù)較少，學(xué)生的函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗也不夠豐富，因此在“連線”的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，學(xué)生會出現(xiàn)連出的圖形為折線等一些較為普遍的情況. 對于這種現(xiàn)象，教師普遍采用的往往是通過強調(diào)“連線必須是平滑曲線”的方式，讓學(xué)生“體驗”出圖像應(yīng)該是曲線，學(xué)生于是“發(fā)現(xiàn)”了“反比例函數(shù)的圖像是兩支曲線”的結(jié)論. 這樣的教學(xué)，顯然沒有足夠的信服力，從學(xué)生對“平滑曲線”的理解上來說，就會產(chǎn)生“由平滑的線段連接而成的折線不也是平滑曲線嗎”之類的疑惑，但既然老師都這樣說了，那就是對的，于是造成學(xué)生的思維停滯. 這是學(xué)習(xí)中典型的被動接受，是傳統(tǒng)函數(shù)圖像學(xué)習(xí)方式的最大缺點，也是教師教學(xué)處理上的最大難題.

基于此，為破解這個缺點和難題，本課在該環(huán)節(jié)通過數(shù)學(xué)實驗，利用圖形計算器進(jìn)行了探究. 學(xué)生先是利用圖形計算器的“雙變量”點加密功能，增加點的稠密度，在點的個數(shù)逐漸加大的過程中，圖像得以逐漸呈現(xiàn)，“圖像是雙曲線”的發(fā)現(xiàn)和說服力越發(fā)增強. 然后學(xué)生再利用圖形計算器的“幾何學(xué)”點追蹤功能，通過操作驗證“圖像就是雙曲線”的發(fā)現(xiàn)，最后再引導(dǎo)學(xué)生通過說理，說明“圖像就是雙曲線”這個發(fā)現(xiàn)，從而得出結(jié)論.

這樣的學(xué)習(xí)活動，學(xué)生經(jīng)歷了“想象—操作—猜想—發(fā)現(xiàn)—驗證—說理”的過程，是學(xué)生的思維從感性認(rèn)識上升到理性分析的過程，是思維從低級走向高階的過程，也是歸納與演繹兩種思維方式相輔相成、相得益彰的體會與運用的過程，因此能夠促進(jìn)學(xué)生思維獲得良好的發(fā)展.

計算機（包括圖形計算器）探索型數(shù)學(xué)實驗的特點是開放性強、探究性強、對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和機器操作技能要求高、對教師的課堂掌控力要求高，因此更能強化教師的專業(yè)技能，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、綜合素質(zhì)的形成與提高.

（二）本課突出的特點

1. 凸顯了學(xué)生的主體地位

數(shù)學(xué)實驗教學(xué)也是數(shù)學(xué)教學(xué)，也要遵循數(shù)學(xué)教學(xué)的一般規(guī)律. 據(jù)觀察統(tǒng)計，本節(jié)課中，學(xué)生單獨展示有16組，集中展示有10組，用于發(fā)現(xiàn)操作的時間達(dá)到12分鐘，用于驗證操作的時間有18分鐘，總共30分鐘，占總課時間的75%以上. 同時，教師還注意到了對個別學(xué)生的輔導(dǎo)，關(guān)注個體差異. 顯然，學(xué)生的主體地位已經(jīng)實實在在地落實到了本節(jié)課教師具體的教學(xué)行為之中. 學(xué)生主體地位的凸顯，保證了本課教學(xué)目標(biāo)的有效達(dá)成.

2. 展現(xiàn)了知識的本質(zhì)理解

教師對學(xué)科知識理解的高度、廣度、深度對教學(xué)效果的豐富性起著決定性的作用，教師對知識本質(zhì)的正確理解至關(guān)重要. 函數(shù)是刻畫變化規(guī)律的，初中階段所學(xué)的幾種函數(shù)本質(zhì)上刻畫的是代數(shù)式的值的變化規(guī)律，因此對這幾類函數(shù)性質(zhì)的研究一方面應(yīng)從“數(shù)量特征”上加以認(rèn)識，另一方面也要從“圖形特征”上直觀理解這些性質(zhì)，并對圖像的幾何性質(zhì)再開展研究. 本課對反比例函數(shù)像與性質(zhì)的探究就比較充分地體現(xiàn)了這一點. 另外，本節(jié)課通過對點的研究也體現(xiàn)了對函數(shù)圖像“數(shù)量關(guān)系→數(shù)據(jù)→無數(shù)個點（靜止）→一個點（運動）→線”和“線→無數(shù)個點（靜止）→一個點（運動）→數(shù)據(jù)→數(shù)量關(guān)系”的本質(zhì)認(rèn)識過程，實現(xiàn)了“數(shù)與形”“形與數(shù)”的華麗轉(zhuǎn)身，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)自身的魅力.

3. 呈現(xiàn)了真正的數(shù)學(xué)探究

“不是所有的水都是礦泉水”，同樣，不是所有的探究都是真探究. 數(shù)學(xué)探究的特征體現(xiàn)在直覺猜想、實驗嘗試、反思調(diào)整、觀察發(fā)現(xiàn)、提煉驗證、概括歸納的過程之中，是一個發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析問題與解決問題的完整過程. 本課涉及的探究活動都充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究的這些特征，處處透露著濃濃的數(shù)學(xué)味. 這是一個既關(guān)注知識的形成，又關(guān)注方法的體驗；既注重思維的培養(yǎng)，又注重能力的提高，最終促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成、促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的一次真正意義上的數(shù)學(xué)探究活動，具有較強的示范性.