劉海濤

[摘 要] 等腰三角形是特殊的三角形，是平面幾何學(xué)研究的重要圖形之一，本文通過(guò)對(duì)等腰三角形性質(zhì)教學(xué)同課異構(gòu)的比較研究，尋找最佳的教學(xué)設(shè)計(jì)，提高幾何教學(xué)的有效性.

[關(guān)鍵詞] 等腰三角形；猜想；探究；比較研究

平面幾何學(xué)是研究圖形形狀、大小和相互位置關(guān)系發(fā)生變化下不變性質(zhì)的科學(xué). 三角形是最基本的幾何圖形，許多復(fù)雜圖形的問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為以三角形為工具進(jìn)行研究的問(wèn)題，因此三角形知識(shí)是初中平面幾何教學(xué)的重點(diǎn)之一. 等腰三角形是一類特殊的三角形，是繼三角形一般性質(zhì)研究后，重點(diǎn)研究的三角形. 因?yàn)榈妊切蔚男再|(zhì)可借助全等三角形的理論加以研究，故教材把其放在全等三角形學(xué)習(xí)之后進(jìn)行. 等腰三角形教學(xué)是初中幾何內(nèi)容教學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，學(xué)生經(jīng)過(guò)平行線和全等三角形學(xué)習(xí)后，具備了一定的推理論證基礎(chǔ)，等腰三角形是學(xué)生經(jīng)歷以全等三角形為工具研究幾何學(xué)的開(kāi)端. 同時(shí)等腰三角形是后續(xù)研究線段垂直平分線、垂徑定理等的基礎(chǔ). 通過(guò)等腰三角形的學(xué)習(xí)，一是可積累運(yùn)用全等三角形理論研究幾何學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)研究四邊形打好基礎(chǔ)；二是進(jìn)一步豐富學(xué)生證明角相等、線段相等和垂直的方法；三是學(xué)生第一次經(jīng)歷運(yùn)用推理論證方法研究圖形性質(zhì)，對(duì)研究幾何學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累非常重要. 那么在等腰三角形性質(zhì)教學(xué)中，怎樣進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)才能達(dá)到課標(biāo)的要求呢？本文選取兩段等腰三角形性質(zhì)教學(xué)實(shí)況進(jìn)行比較研究，以找到最佳的教學(xué)設(shè)計(jì).

“兩底角相等”教學(xué)

1. 教學(xué)過(guò)程

（1）教師A的教學(xué)過(guò)程

在復(fù)習(xí)等腰三角形概念的基礎(chǔ)上，引入課題，然后展示一個(gè)準(zhǔn)備好的如圖1所示的等腰三角形紙片，并指出所謂性質(zhì)是指邊與邊、角與角、邊與角等關(guān)系及圖形的對(duì)稱性等，首先來(lái)研究等腰三角形邊有什么性質(zhì). 教師提出等腰三角形的兩條腰相等，由此來(lái)引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，猜想等腰三角形兩底角之間的關(guān)系. 然后引導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)備好的等腰三角形紙片進(jìn)行翻折加以驗(yàn)證，再由教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用規(guī)范的語(yǔ)言得出等腰三角形的兩底角相等. 最后，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用邏輯推理的方法證明定理.

（2）教師B的教學(xué)過(guò)程

首先讓學(xué)生在練習(xí)本上用直尺、圓規(guī)畫(huà)一個(gè)等腰三角形，然后教師設(shè)問(wèn)：如果讓你研究等腰三角形的性質(zhì)，你會(huì)從哪些方面進(jìn)行研究？學(xué)生回答：可從兩個(gè)底角出發(fā)研究，從等腰三角形兩腰上的中線研究，還可以從等腰三角形頂角平分線、底邊上的高及底邊上的中線加以研究等. 教師總結(jié)歸納并加以表?yè)P(yáng)，提出我們現(xiàn)在主要從兩底角關(guān)系，頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高加以研究，縮小研究的范圍. 接著用準(zhǔn)備好的等腰三角形紙片對(duì)折來(lái)研究?jī)傻捉堑年P(guān)系與頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高之間的關(guān)系，中間有學(xué)生小組討論，最后把命題用規(guī)范的推理進(jìn)行證明.

2. “兩底角相等”教學(xué)比較研究

相同點(diǎn)是兩位教師的教學(xué)過(guò)程基本上是相同的. 運(yùn)用的都是首先觀察猜想，點(diǎn)燃學(xué)生的求知欲望，然后運(yùn)用等腰三角形紙片進(jìn)行操作驗(yàn)證，并由此得出兩底角相等，最后引導(dǎo)學(xué)生探究，通過(guò)全等三角形證明命題的正確性. 上海市數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)稿指出：讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀經(jīng)驗(yàn)幾何、實(shí)驗(yàn)幾何到推理幾何的演進(jìn)過(guò)程. 因此兩位教師的教學(xué)符合課程標(biāo)準(zhǔn)的理念要求.

不同的是，A教師在等腰三角形性質(zhì)觀察前，就首先確定從等腰三角形的幾個(gè)要素上去研究其性質(zhì)；B教師則沒(méi)有提前給學(xué)生畫(huà)一個(gè)等腰三角形，而是讓學(xué)生自己根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定從哪些要素上去研究等腰三角形的性質(zhì). 這兩種不同的處理方法，哪種對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力更有利呢？顯然，A教師在學(xué)生觀察前，就確定了讓學(xué)生進(jìn)行重點(diǎn)觀察的方向，這樣學(xué)生在觀察時(shí)，就有了明確的目標(biāo)，更容易直接發(fā)現(xiàn)等腰三角形的兩個(gè)底角相等. 而B(niǎo)教師則把重點(diǎn)放在了發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性及研究問(wèn)題能力的培養(yǎng)上，讓學(xué)生自由發(fā)揮，開(kāi)闊思維，把學(xué)生放在了研究問(wèn)題的主體上. 學(xué)生可根據(jù)觀察，發(fā)揮自身的聰明才智，激活潛伏在自己頭腦中數(shù)學(xué)家的思維，進(jìn)行創(chuàng)新，發(fā)表自己的觀點(diǎn). 兩位教師的處理方法都符合課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，學(xué)生作為課堂的主人，認(rèn)知的主體，讓他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)問(wèn)題，研究問(wèn)題，從而提高學(xué)生的創(chuàng)新能力. 但在具體教學(xué)中，要根據(jù)學(xué)生的能力，才能確定運(yùn)用哪種方式更好. 如果學(xué)生認(rèn)知能力比較強(qiáng)則選B教師的方法，如果學(xué)生認(rèn)知能力達(dá)不到要求，選擇A教師的方法. 但筆者的教學(xué)實(shí)踐表明，一是學(xué)生在學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)前，只是有全等三角形的一些知識(shí)，還沒(méi)有真正地研究過(guò)某個(gè)具體的幾何圖形，因此對(duì)研究幾何圖形方法的認(rèn)知基本是空白的，不能進(jìn)行類比. 二是依據(jù)范希爾的幾何思維層次理論，學(xué)生在學(xué)習(xí)等腰三角形時(shí)，思維基本停留在二級(jí)水平，達(dá)不到運(yùn)用幾何概念、公理、定理研究幾何圖形性質(zhì)的水平，還停留在直觀水平. 因此在教學(xué)過(guò)程中對(duì)學(xué)生要多加啟發(fā)，才能達(dá)到理想的教學(xué)目的.

“三線合一”教學(xué)

1. 教學(xué)過(guò)程

（1）教師A的教學(xué)過(guò)程

在前面研究了等腰三角形第一個(gè)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，設(shè)問(wèn)等腰三角形還有其他的性質(zhì)嗎？并提出問(wèn)題：我們是利用△ABD≌△ACD得到了∠B=∠C，還可以得出其他結(jié)論嗎？然后進(jìn)行小組討論，得出等腰三角形三線合一的性質(zhì)，并引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)推理論證的方法加以證明.

（2）教師B的教學(xué)過(guò)程

在探究等腰三角形兩底角相等的對(duì)折過(guò)程中，由學(xué)生同時(shí)發(fā)現(xiàn)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，然后加以啟發(fā)引導(dǎo)，證明命題的正確性.

2. “三線合一”教學(xué)比較研究

相同點(diǎn)是兩位教師引導(dǎo)學(xué)生證明的過(guò)程是相同的.

不同點(diǎn)在于，教師A對(duì)三線合一的性質(zhì)獲得是運(yùn)用學(xué)生在探究問(wèn)題過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的方法進(jìn)行處理的，通過(guò)小組合作討論的形式完成. 應(yīng)該說(shuō)數(shù)學(xué)中有很多的定理以及新的發(fā)現(xiàn)都是人們?cè)谔骄繂?wèn)題的過(guò)程中被發(fā)現(xiàn)的，這也是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題很好的方法. 這一點(diǎn)在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上得到了證明，如費(fèi)馬大定理的證明過(guò)程就充分說(shuō)明了這一點(diǎn). 希爾伯特說(shuō)：費(fèi)馬大定理是“一只會(huì)下蛋的雞”，數(shù)學(xué)家在研究費(fèi)馬大定理的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)了很多新的數(shù)學(xué)規(guī)律. 可見(jiàn)在探究過(guò)程中，提出猜想是科學(xué)向前發(fā)展的重要途徑之一. B教師是運(yùn)用觀察操作發(fā)現(xiàn)的方法，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題. 總的來(lái)說(shuō)這兩種方法都是比較好的研究問(wèn)題的方法.

研究結(jié)論與思考

第一，兩位教師都能依據(jù)新的課程標(biāo)準(zhǔn)理念進(jìn)行平面幾何的教學(xué)，教學(xué)中充分地發(fā)揮學(xué)生的主體地位，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知情境，學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行認(rèn)知，建構(gòu)幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成過(guò)程. 蘇霍姆林斯基說(shuō)，“人的內(nèi)心里有一種根深蒂固的需要，總想感到自己是發(fā)現(xiàn)者、研究者、探尋者”，學(xué)生親自體驗(yàn)“實(shí)驗(yàn)—?dú)w納—猜測(cè)—論證”的過(guò)程，能夠感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的歷程. 在創(chuàng)設(shè)的情境中，激活學(xué)生的求知欲望，通過(guò)猜想點(diǎn)燃學(xué)生心中發(fā)現(xiàn)者的火花，再經(jīng)過(guò)操作驗(yàn)證，最后經(jīng)邏輯推理證明自己的猜想，使自己的夢(mèng)想變?yōu)榱爽F(xiàn)實(shí). 同時(shí)，使學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程有了親身體驗(yàn)，豐富了學(xué)生的過(guò)程性知識(shí).

第二，兩位教師在教學(xué)過(guò)程中時(shí)刻注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法. 此課中，通過(guò)添加輔助線轉(zhuǎn)化問(wèn)題，把說(shuō)明角相等的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為說(shuō)明三角形全等的問(wèn)題. 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是人類長(zhǎng)期實(shí)踐總結(jié)出來(lái)的基本方法，教學(xué)中要特別加以培養(yǎng). 另外，兩位教師都非常注重培養(yǎng)學(xué)生幾何語(yǔ)言的表達(dá)能力，都規(guī)范地讓學(xué)生掌握一個(gè)文字?jǐn)⑹龅膸缀蚊}證明過(guò)程. 教學(xué)實(shí)踐表明，文字?jǐn)⑹龅膸缀蚊}的證明是教學(xué)中的難點(diǎn)，因?yàn)闆](méi)有圖形，已知、求證要由學(xué)生獨(dú)立完成，所以教學(xué)中要加以培養(yǎng). 再者，兩位教師均選用了啟發(fā)式與小組討論相結(jié)合的方法進(jìn)行教學(xué)，對(duì)本節(jié)課來(lái)說(shuō)這是比較科學(xué)的教學(xué)方法.

第三，兩位教師在教學(xué)過(guò)程中，A教師運(yùn)用的是頂角為銳角的等腰三角形，B教師運(yùn)用的是頂角為鈍角的等腰三角形，這樣對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)都容易形成一種思維定式. 因此教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生觀察時(shí)，應(yīng)提供頂角為銳角和頂角為鈍角的兩種等腰三角形，以使學(xué)生充分感知，明白等腰三角形分頂角為銳角和鈍角兩類，以利于后續(xù)分類討論問(wèn)題. 在等腰三角形三線合一性質(zhì)獲得后，教師可運(yùn)用幾何畫(huà)板軟件制作一個(gè)三線合一的動(dòng)畫(huà)，讓學(xué)生觀察，豐富學(xué)生的表象表征. 演示一個(gè)三角形一邊上的三個(gè)主要線段，原本分開(kāi)，當(dāng)拖動(dòng)頂點(diǎn)變化時(shí)，三個(gè)主要線段跟著變化，當(dāng)三角形頂點(diǎn)拖到某個(gè)位置，變?yōu)榈妊切螘r(shí)，三條線段變?yōu)橐粭l，然后繼續(xù)拖動(dòng)頂點(diǎn)，使三條線段再次分開(kāi). 這樣以使學(xué)生能夠更加充分地對(duì)性質(zhì)2進(jìn)行多元表征，形成動(dòng)畫(huà)表象與圖形表象和語(yǔ)言文字表征.

第四，在探索等腰三角形三線合一定理的過(guò)程中，還可以運(yùn)用如下方法，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)三線合一性質(zhì). 當(dāng)學(xué)生添加頂角平分線AD后，證明了性質(zhì)1，教師可引導(dǎo)學(xué)生一題多解，除了添加頂角平分線，還可以如何添加輔助線？讓學(xué)生思考，學(xué)生會(huì)考慮添底邊上的中線或底邊上的高，并且會(huì)發(fā)現(xiàn)底邊上的中線是可以的（上教版教材兩直角三角形全等判定在此節(jié)后面），獲得兩種證明等腰三角形兩底角相等的方法，此時(shí)教師設(shè)問(wèn)：為什么兩種方法都可證明兩個(gè)三角形全等，即△ABD≌△ACD，從而得到∠B=∠C，所添輔助線的本質(zhì)是否相同？這樣讓學(xué)生思考，學(xué)生會(huì)總結(jié)出，原來(lái)添加的兩條輔助線其本質(zhì)是同一條線段，進(jìn)而類比發(fā)現(xiàn)高線也與頂角平分線重合，并總結(jié)出等腰三角形三線合一的性質(zhì). 即進(jìn)行了一題多解，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力，同時(shí)又能使學(xué)生在總結(jié)頂角平分線與底邊上中線重合的情況下，類比發(fā)現(xiàn)高線與頂角平分線重合，培養(yǎng)學(xué)生類比創(chuàng)新能力.