陳 昂，任子朝

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數(shù)學高考中實踐應用能力考查研究

陳 昂，任子朝

（教育部考試中心，北京 100084）

實踐應用能力是數(shù)學學科的一個重要能力，近年來的高考試題加強了對實踐應用能力的考查，體現(xiàn)了數(shù)學在解決實際問題中的巨大威力和應用價值．實踐應用能力的考查過程分為以下幾個階段：表征分析階段，提煉數(shù)量關系階段，數(shù)學建模階段．高考試題根據(jù)不同階段的特點，設置了不同的考查方法．

高考；實踐能力；應用能力；數(shù)學建模

1 引 言

進入新世紀后，為進一步增強本國的競爭實力，提升人才培養(yǎng)的素質，世界各發(fā)達國家已競相開展對學生素養(yǎng)的相關研究．中國的《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》（以下簡稱《綱要》）中明確提出了將“堅持以人為本、推進素質教育”作為教育改革發(fā)展的戰(zhàn)略主題．其中重點是面向全體學生、促進學生全面發(fā)展，著力提高學生服務國家和人民的社會責任感、勇于探索的創(chuàng)新精神和善于解決問題的實踐能力[1]．近年來，為落實《綱要》精神，數(shù)學科高考在實踐應用能力的考查上進行了積極的探索和實踐．

數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學．數(shù)學與人類生活和社會發(fā)展緊密關聯(lián)[2]．這種聯(lián)系是雙向的，一方面，數(shù)學的發(fā)展依賴于社會環(huán)境，受社會經(jīng)濟、政治、文化等諸多因素的影響；另一方面，數(shù)學的發(fā)展又反過來對人類社會的進步起到推動作用，包括對人類物質文明和精神文明兩大方面的影響[3]．20世紀以來，數(shù)學向社會、經(jīng)濟和自然界各個領域的滲透，擴展了數(shù)學與實際的接觸面．數(shù)學科學應用于經(jīng)濟建設、社會發(fā)展和日常生活的范圍和方式發(fā)生了深刻的變化[4]．數(shù)學在搜索引擎、人工智能、大數(shù)據(jù)分析等中的應用已經(jīng)改變了人們的生活．近年來的高考數(shù)學試題緊密結合社會實際和考生的現(xiàn)實生活，加強對實踐應用能力的考查，體現(xiàn)了數(shù)學在解決實際問題中的巨大威力和應用價值，體現(xiàn)了教育改革中加強實踐性、應用性的要求．

2 實踐應用能力的考查方法

數(shù)學科實踐應用能力是指學生主動參與和體驗數(shù)學知識發(fā)生和發(fā)展過程，并運用數(shù)學知識、思想和方法對實際問題進行分析研究，并解決問題的能力．在考查過程中，可以將實踐應用能力的考查分為以下幾個階段：表征分析階段，提煉數(shù)量關系階段，數(shù)學建模階段．在實際命題過程中，根據(jù)不同階段的特點，研究制定不同的考查方法．

2.1 表征分析階段

表征一般分為外部表征與內部表征，文中的表征指的是外部表征，指的是用一種形式將事物特征、關系、知識重新表現(xiàn)出來，試題背景、設問的呈現(xiàn)方式等是表征的基本信息條件．表征分析是實踐應用能力考查的基礎階段，美國現(xiàn)代認知心理學家西蒙認為：“表征是問題解決的一個中心環(huán)節(jié)，它說明問題在頭腦中是如何表現(xiàn)出來的．”[5]在表征分析階段，可以提供多樣化的信息，例如表格、圖形等，要求考生能夠正確理解題意，能夠將生活中的文字、圖表轉化為數(shù)學語言和數(shù)學關系．

2.2 提煉數(shù)量關系階段

提煉數(shù)量關系是指通過實踐探究，讓考生通過內心體驗、思維活動、操作過程，獨立思考，自主探索，發(fā)揮主觀能動性，研究問題的本質．數(shù)學家歐拉說過：“數(shù)學這門學科，需要觀察，還需要實驗．”[6]通過實驗可以忽略次要因素，突出主要因素，為接下來解決問題提供幫助．提煉數(shù)量關系是實踐應用能力考查的主要階段，在這個階段可以讓考生感受數(shù)學知識發(fā)展、形成的過程，讓其從實踐中發(fā)現(xiàn)和總結形成結論，從特殊到一般地進行歸納總結，從具體到抽象進行升華．對提煉數(shù)量關系階段考查時，可以讓學生主動參與和體驗知識的發(fā)生和發(fā)展過程，讓他們親自體驗數(shù)學概念，數(shù)學產(chǎn)生的實際背景和形成的過程，考查其思維過程和思維方法．

2.3 模型化階段

模型化是指從現(xiàn)實問題中運用數(shù)學思想、方法和知識建立數(shù)學模型解決實際問題的過程．數(shù)學模型是應用數(shù)學知識解決實際問題的一種有效的工具，是對現(xiàn)實對象的信息通過提煉、分析、歸納、翻譯的結果，它使用數(shù)學語言準確地表達了對象的內在特征．模型化是實踐應用能力考查的高級階段，在對這一階段進行考查時，需要經(jīng)歷從實際問題出發(fā)，到建立模型，檢驗模型以及使用模型的全過程．其流程如圖1所示．

圖1 數(shù)學建模過程

3 高考中對實踐應用能力的考查

實踐探究能力主要在應用題中進行考查，從1993年高考中注重考查數(shù)學應用題以來，經(jīng)過多年的摸索，近年來高考進一步加強應用題的考查．與此同時，實踐應用能力的考查形式有所突破和創(chuàng)新．

3.1 對表征分析的考查

解決一道數(shù)學應用題，首先需要讀題，理解題中的數(shù)字、變量名和關系這些基本因素，這就是表征的開始[7]．試題對表征分析的考查主要體現(xiàn)在兩個方面，一個是要求考生利用表征信息分析問題，解決問題，另一方面則是利用圖象、表格等多種表征信息提供基礎信息和背景條件，要求考生可以從不同表征信息中研究問題，從而實現(xiàn)考查目的．

例1 某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖．圖中點表示十月的平均最高氣溫約為15°C，點表示四月的平均最低氣溫約為5°C．下面敘述不正確的是（ ）

（A）各月的平均最低氣溫都在0°C以上

（B）七月的平均溫差比一月的平均溫差大

（C）三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

（D）平均最高氣溫高于20°C的月份有5個

試題設計的實際背景源于生活，為考生所熟悉，試題表征是通過給出一種課本中沒有介紹的新的統(tǒng)計圖——雷達圖，并加以適當說明，要求考生讀懂統(tǒng)計圖的內容．通過這樣的設計要求考生通過讀圖、識圖，對表征進行分析，從而得出結論．

例2 如圖，小明從街道的處出發(fā)，到處與小紅會合，一起到位于處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（ ）

（A）24

（B）18

（C）12

（D）9

試題從考生熟悉的真實生活情境出發(fā)，設計一個利用分步乘法計數(shù)原理進行計數(shù)的試題，主要考查考生對基本計數(shù)原理的理解和掌握程度以及應用能力．試題背景是日常生活中常常遇到的最短距離問題，在表述這類問題時，運用自然語言或者數(shù)學語言對背景材料表述清晰往往較為繁瑣，而通過引入圖象表征，準確清晰地表述出最短距離的實際背景，實現(xiàn)了考查目的．

3.2 對提煉數(shù)量關系的考查

數(shù)量關系的提煉是在考生對試題表征分析后，考生對問題進行分析、加工提煉的過程．在這一過程中，考生選取的理論依據(jù)直接決定了問題解決的順利與否．因此，在對提煉數(shù)量關系進行考查時，要求考生挖掘題目內涵，選取適當?shù)姆椒ú呗?，思維路徑等，對考生解題中的過程與方法提出了要求．

例3 某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用3年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在3年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺機器3年內共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．

（Ⅰ）求的分布列；

（Ⅱ）若要求(≤)≥0.5，確定的最小值；

（Ⅲ）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在=19與=20之中選其一，應選用哪個？

試題以企業(yè)的成本控制問題為背景，著眼于“最優(yōu)化零部件采購量”的決策問題設計和設問．由于需更換的易損零件數(shù)具有不確定性，因此需要建立隨機模型并應用統(tǒng)計與概率的知識確定最優(yōu)的備件購買量．為解決此問題，需要先分析易損零件數(shù)的不確定性，即確定或近似確定易損零件數(shù)的分布列，這就是試題的第（I）問；第（Ⅱ）問在此基礎上，對概率進行了考查；第（Ⅲ）問則需計算=19與=20時所需費用的期望值，為此首先需要清楚在給定的情況下所需費用與2臺機器共需更換的易損零件數(shù)之間的關系，再結合的分布列得到的分布列，在此基礎上可容易地求出所需費用的期望值．通過這樣的設計使學生體會數(shù)學、統(tǒng)計與概率知識與現(xiàn)實生活息息相關，同時也引導考生思考，研究數(shù)量之間的關系．

3.3 對數(shù)學建模的考查

通過建立數(shù)學模型，解決實際問題是高考考試要求的重要內容．特別是伴隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，人們常常需要對網(wǎng)絡、文本、聲音、圖象等大量信息進行數(shù)字化處理，使數(shù)學模型的研究領域與應用領域得到極大拓展，特別是隨著統(tǒng)計與概率知識在中學數(shù)學教學內容的增加，為學生數(shù)學建模的提供了知識儲備和解題工具．在對其考查時，可以從模型建立、檢驗模型等方面設置問題．在對數(shù)學建模考查時，更為注重根據(jù)題干中的精確數(shù)據(jù)構建數(shù)學模型，強調用數(shù)學知識、思想方法解決數(shù)學問題的能力，淡化對數(shù)據(jù)的分析和處理．

例4 某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2?100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元．

該題的背景是企業(yè)的生產(chǎn)安排問題．企業(yè)的利潤受到材料數(shù)量和工時的限制，所以該題的本質是帶有約束條件的線性規(guī)劃問題．考生可以根據(jù)已知條件很容易地建立模型．但值得注意的是，考生所建立的數(shù)學模型還需要進行實際檢驗，假設生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的數(shù)量分別為和，則除了該題關于和的明顯給出的約束條件：甲材料和乙材料的數(shù)量以及工時限制之外，還有自然約束條件≥0和≥0．在這樣的約束條件下考生求出的解才是符合實際生產(chǎn)的結論．

例5 某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費（單位：千元）對年銷售量（單位：t）和年利潤（單位：千元）的影響．對近8年的年宣傳費和年銷售量（=1, 2,…, 8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程．

（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利潤與、的關系為．根據(jù)（Ⅱ）的結果回答下列問題：

試題以公司的財務管理為背景，首先給出了某公司年銷售量和年宣傳費的散點圖，旨在考查考生通過統(tǒng)計圖進行數(shù)據(jù)分析的能力．考生需要通過觀察，對兩個變量之間的相關關系做出直觀判斷．與常見題型不同的是，該題重點考查數(shù)學模型建立的選擇，從散點圖可以看出，樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內，由此可以初步排除線性回歸模型．在此基礎上，考生需要借助線性回歸模型系數(shù)的最小二乘估計來建立年銷售量與年宣傳費之間的非線性回歸方程，從而確定年利潤預報值與年宣傳費之間的關系，最終通過求二次函數(shù)的最值得到利潤的最大預報值．試題的設計有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識，考生領會到統(tǒng)計與概率的思想方法在現(xiàn)實生活和公司經(jīng)營等領域中有著廣泛應用，形成自覺應用數(shù)學知識指導社會實踐的意識，提高學生的綜合實踐能力．

4 啟 示

弗賴登塔爾曾經(jīng)說過：“應從兩個方面來理解數(shù)學應用，即要重視從實際問題中提取數(shù)學概念與原理，又要重視用數(shù)學概念與原理反過來處理實際問題．”[8]實踐應用能力考查的一個重要目標是讓考生體會數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，樹立正確的數(shù)學觀．一方面，使學生體會數(shù)學的實踐價值和應用價值，拉近數(shù)學與實際生活的距離，另一方面，由于試題的素材結合了實際背景，更直觀地體現(xiàn)數(shù)學學科中的人文精神與德育價值．

數(shù)學教育在傳授學生數(shù)學知識的同時，更要注重數(shù)學文化的教育和熏陶，培養(yǎng)和提高他們的數(shù)學素養(yǎng)[9]．隨著新一輪課程改革的推進，數(shù)學科將不再分文理科教學，而且進一步明確了高中數(shù)學科核心素養(yǎng)．數(shù)學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是學生在數(shù)學學習的過程中逐步形成的．數(shù)學科核心素養(yǎng)包含具有數(shù)學基本特征的思維品格和相關能力，包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析．這些數(shù)學素養(yǎng)都能與數(shù)學應用相互聯(lián)系，尤其是數(shù)學建模更是應用能力重點考查的部分．今后的高考數(shù)學科要研究不分文理科后數(shù)學學科的考試目標、能力要求、內容范圍、命題方式、試卷結構．突出數(shù)學的基礎性、綜合型、應用性和創(chuàng)新性，滿足高校各專業(yè)對考生數(shù)學基礎知識和數(shù)學能力的要求，因此對應用能力的考查應當與時俱進．

高考加強對實踐應用能力的考查，有利于引導中學教育聯(lián)系實際，創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流來獲得知識、形成技能，發(fā)展思維、學會學習．高考為高校錄取合格新生提供依據(jù)，而對大學生的一些研究表明，大學生在解決簡單應用題時，仍需要構建情境模型[10]．因此，在高考對實踐應用能力的考查應設置具有挑戰(zhàn)性的問題情境．這樣將有利于對考生的甄別，激發(fā)學生進行思考．同時在設問時提出有一定跨度的問題引導學生進行自主探索，動手實驗，使學生在探索過程中進一步理解所學的數(shù)學知識，掌握解決實際問題的方法，增強解決問題的能力．

[1] 國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）[EB/OL]. http://www.moe.edu.cn/publicfiles/business/ htmlfiles/moe/moe_838/201008/93704.html.

[2] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[M]．北京：人民教育出版社，2003．

[3] 李文林．數(shù)學史概論[M]．北京：高等教育出版社，2002．

[4] 劉來福．數(shù)學模型與數(shù)學建模[M]．北京：北京師范大學出版社，2009．

[5] 胥興春，劉電芝．問題表征方式與數(shù)學問題解決的研究[J]．心理科學進展，2002，（3）：264-269．

[6] 徐利治．數(shù)學方法論選講[M]．武漢：華中工學院出版社，1988．

[7] 邢強，單永明．數(shù)學應用題外部表征的影響因素及啟發(fā)[J]．數(shù)學教育學報，2012，21（5）：19-22．

[8] 弗拉維爾，米勒．認知發(fā)展[M]．鄧賜平，劉明譯．上海：華東師范大學出版社，2002．

[9] 朱長江，李書剛，胡中波．在數(shù)學文化課程中引進優(yōu)質教學資源開展混合式教學的探索與實踐[J]．數(shù)學教育學報，2016，25（4）：30-32．

[10] 李曉東，付馨晨，魯成．沖突情境對大學生解決簡單應用題的影響：一項眼動研究[J]．數(shù)學教育學報，2016，25（4）：94-97．

[責任編校：周學智]

Study on the Testing of Practical Ability in College Entrance Examination

CHEN Ang, REN Zi-zhao

(National Education Examinations Authority, Beijing 100084, China)

Applying ability was an important ability in mathematics, recently, college entrance examination began to strengthen the test of applying ability, reflecting the role of mathematics in solving practical problems and application value. Mathematics application ability test process was divided into the following stages: analysis phase, Refine the number of relationships, mathematical modeling stage. According to the characteristics of the different stages, we set different test methods.

college entrance examination; practical ability; application ability; mathematical modeling

G420

A

1004–9894（2017）03–0015–04

2017–02–05

全國教育科學規(guī)劃單位資助教育部規(guī)劃課題——高考國家題庫建設研究（FCB160610）

陳昂（1983—），男，湖南長沙人，助理研究員，主要從事數(shù)學教育和教育測量研究．