沈百梅

摘 要：解題習(xí)慣的養(yǎng)成能夠讓學(xué)生形成良好的“題感”。教學(xué)中，基于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，教師可以通過“審題”“計(jì)劃”“執(zhí)行”和“反思”等解題環(huán)節(jié)與活動培養(yǎng)學(xué)生的解題習(xí)慣。解題習(xí)慣可以讓學(xué)生在解題中“少卡殼”“少走彎路”“多走捷徑”，可以讓“解題”變得流暢起來。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；解題習(xí)慣；培養(yǎng)策略

“好的習(xí)慣是一輩子用不盡的利息，壞的習(xí)慣則是一輩子償不盡的債務(wù)。”（葉圣陶語）數(shù)學(xué)解題同樣存在著習(xí)慣問題。在兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，筆者經(jīng)?？吹揭恍W(xué)生在數(shù)學(xué)解題中心不在焉而導(dǎo)致漏看、錯看符號、數(shù)字，看到一些學(xué)生計(jì)算粗心大意，看到一些學(xué)生分析題目“蜻蜓點(diǎn)水”、思維浮于表層，看到一些學(xué)生粗枝大葉、顧此失彼……凡此種種，都可以歸結(jié)為解題習(xí)慣的缺失。波利亞說：“什么是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就是解題。掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題?！?/p>

■一、審題：解題習(xí)慣培養(yǎng)的首要環(huán)節(jié)

美國著名教育心理學(xué)家布魯納曾經(jīng)這樣說，“教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動”。根據(jù)美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞的“解題表”，解題的首要環(huán)節(jié)是“審題”。所謂“審題”，就是對題目進(jìn)行理性考量，弄清題目的意思，用數(shù)學(xué)化的符號、手段科學(xué)表征數(shù)學(xué)問題。在“審題”中，一要引導(dǎo)學(xué)生從題目中提煉出有用的數(shù)學(xué)信息；二要引導(dǎo)學(xué)生自己推敲題目中的字、詞，抓住關(guān)鍵句；三要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘出隱含條件，排除一些冗余條件、迷惑條件等。這里，學(xué)生經(jīng)歷的是一種“數(shù)學(xué)化”過程，包括“橫向數(shù)學(xué)化”和“縱向數(shù)學(xué)化”。所謂“橫向數(shù)學(xué)化”，即將生活問題提煉成數(shù)學(xué)問題，所謂“縱向數(shù)學(xué)化”，即聯(lián)結(jié)題目中的條件和問題、已知和未知，在數(shù)學(xué)符號世界里的模型。

例如教學(xué)《比的基本性質(zhì)》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第11冊）后，遇到這樣的習(xí)題：把4∶15的前項(xiàng)加上4，要使比值不變，后項(xiàng)應(yīng)加上（ ）。顯然，這樣的習(xí)題相比較于例題已經(jīng)發(fā)生了一些變化——此處是“加上”，解題已經(jīng)不能單純依賴于模仿。教學(xué)中，教師可以適度運(yùn)用提示語，引導(dǎo)學(xué)生觀察，引導(dǎo)學(xué)生自我發(fā)問，找尋習(xí)題與例題之間的微妙變化。如“這一道題的已知條件是什么？問題是什么？條件和問題之間有無直接聯(lián)系？沒有直接聯(lián)系怎么辦？有沒有巧妙的轉(zhuǎn)化方法？”等等。

師：看到這一題，你想到了些什么？

生1：我想到了“比的基本性質(zhì)”，比的前項(xiàng)和比的后項(xiàng)同時乘或者同時除以相同的數(shù)，比值不變。

生2：如果是同時乘或同時除以，那這兒就應(yīng)該填上4，但這兒的前項(xiàng)是加4。

師：能夠注意到習(xí)題與已學(xué)知識的細(xì)微差異，很好！

生3：我們可以先將前項(xiàng)算出來，再看看前項(xiàng)擴(kuò)大幾倍。

師：能夠?qū)㈩}目中的相異信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化是一種良好的解題品質(zhì)。

生4：這樣，就可以利用“比的基本性質(zhì)”進(jìn)行解題了。

……

大部分學(xué)生在遇到一個新問題時，總是想用熟悉的題型、模式、定理等直接去“套”，其實(shí)，這是不良的解題習(xí)慣。良好的解題習(xí)慣要求學(xué)生在審題中能夠超越“慣習(xí)”，從多個視角對題目進(jìn)行審視，這才是真正意義上的“審題”。那種機(jī)械地表征、模仿、套用公式定理的解題模式在培養(yǎng)學(xué)生解題習(xí)慣的過程中教師要有意識地引導(dǎo)兒童摒棄。只有對數(shù)學(xué)思想方法理解透徹及融會貫通時，才能在審題過程中產(chǎn)生新視角、形成新思想。

■二、計(jì)劃：解題習(xí)慣培養(yǎng)的必要路徑

按照波利亞的見解，解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容在于制定解題計(jì)劃。教學(xué)中，筆者觀察到：一些學(xué)生在解題時缺少計(jì)劃性，往往是“腳踩西瓜皮，滑到哪里是哪里”。由此導(dǎo)致學(xué)生“寫了擦，擦了寫”，頁面上涂涂改改，很是“邋遢”，有時甚至擦出了“小洞洞”。筆者在教學(xué)中鼓勵學(xué)生運(yùn)用簡潔的語言表述解題思路。首先引導(dǎo)學(xué)生努力找尋已知和未知之間的關(guān)聯(lián)，這是一種“知識識別”的過程。其次，如果學(xué)生找不出直接關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生自覺對原來的問題或條件做出一定的變更和必要的修改。用波利亞的話來說，就是“回到定義”“回到基礎(chǔ)”上去，重新表征問題、重新考慮相關(guān)問題、重新運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法展開思考。這里需要的是解題者的思路變換、視角變換，用通俗的話來說就是不能“吊死在一棵樹上”?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生自我發(fā)問，如“我遇到過類似的問題嗎？這一個問題和哪一個問題似曾相識？”等。教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生列出“解題提綱”，從條件出發(fā)，運(yùn)用“綜合法”，或者從問題出發(fā)，運(yùn)用“分析法”。

例如學(xué)習(xí)《三角形的面積》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第9冊）后，出現(xiàn)這樣的習(xí)題：一塊三角形地的面積是0.4公頃，它的底是200米，高是多少米？許多學(xué)生受到“三角形面積公式”中“除以2”的影響，用面積除以底再除以2。教學(xué)中，教師首先讓兒童明晰解題思路，是運(yùn)用方程還是運(yùn)用算術(shù)？運(yùn)用方程思路解題，解題程序有哪幾個步驟？運(yùn)用算術(shù)思路解題，要注意什么？

生1：我用方程解題。第一步設(shè)未知數(shù)，高為h米；第二步寫等量關(guān)系，200h÷2=4000；第三步解方程；第四步寫答語。

生2：我用算術(shù)思路解題。三角形的面積公式是“底乘高除以2”，要求高，運(yùn)用倒推法，倒推時順序相反、符號相反，因此高等于面積乘2除以底，列式為4000×2÷200=40（米）。

師：在這一題中，不管哪一種思路，都要注意什么？

生：單位的統(tǒng)一，要將公頃改寫成平方米。

……

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)這樣說，“解題要想得清楚、說得明白、寫得干凈”。在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師引導(dǎo)兒童主動、積極地思考，洞察問題和條件的數(shù)學(xué)本質(zhì)。引導(dǎo)兒童找尋數(shù)學(xué)解題的優(yōu)化思路、寬暢思路、高速思路，讓學(xué)生努力變化條件和問題，讓數(shù)學(xué)解題具有創(chuàng)造性。

■三、執(zhí)行：解題習(xí)慣培養(yǎng)的重要步驟

“執(zhí)行”是解題的中心，解題是一門實(shí)踐性的學(xué)問。許多學(xué)生在學(xué)習(xí)中常常是“聽懂了”，但是一到自己解決問題，往往是手忙腳亂、不知所措。究其本質(zhì)，是因?yàn)椤奥牰恕辈⒉荒艽怼皶隽恕?。宋代詞人陸游有詩云：紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。所謂“懂”，是指能夠理解別人的思維過程，甚至只是理解了別人的思維成果。所謂“會”，是指自己能夠獨(dú)立發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，能夠獨(dú)立地建構(gòu)已知條件和問題之間的關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識地引領(lǐng)學(xué)生從“懂”邁向“會”，其中重要的步驟就是學(xué)生的解題實(shí)踐。適度展開解題練習(xí)，能夠讓學(xué)生真正把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，靈活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

“執(zhí)行”是學(xué)生解題思路、脈絡(luò)打通后具體實(shí)施信息資源的邏輯配置。優(yōu)秀的學(xué)生在執(zhí)行解題時往往是“及時回頭看”，步步為營、小心翼翼。教學(xué)中教師要引領(lǐng)學(xué)生自我發(fā)問：上一解題步驟有沒有什么問題？我能確定這個解題步驟是正確的嗎？下一步應(yīng)該怎么辦？解題實(shí)踐中，學(xué)生必須具備清晰的解題思路、方向、目標(biāo)。例如教學(xué)《圓錐的體積》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第12冊）后，對于這樣的習(xí)題：已知圓錐形麥堆底面周長為12.56米，高1.2米，如果每立方米小麥重500千克。這堆小麥重多少噸？在學(xué)生明晰了解題思路，制定了解題計(jì)劃后，筆者放手讓學(xué)生解題，充分尊重學(xué)生的主體性，讓學(xué)生在解題中獲得真實(shí)而深刻的體驗(yàn)，諸如先解決什么問題、后解決什么問題。在學(xué)生解題后，引導(dǎo)學(xué)生全班交流，展示解題過程，讓學(xué)生“漁魚兼得”，不僅“知其然”，而且“知其所以然”。

在解題實(shí)踐中，教師可以加強(qiáng)習(xí)題的變式訓(xùn)練、聯(lián)想訓(xùn)練，這是提高學(xué)生解題能力的有效途徑。教學(xué)中，教師要教給學(xué)生解題方法，包括數(shù)學(xué)思想方法（如類比法、化歸法、轉(zhuǎn)化思想、對應(yīng)思想等）和一般性解題策略（如數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)猜想、驗(yàn)證等），拓寬學(xué)生解題思路，提高學(xué)生解題應(yīng)變力，努力達(dá)到“解一題、學(xué)一法、會一類、通一片”的教學(xué)效果。

■四、反思：解題習(xí)慣培養(yǎng)的充要條件

著名數(shù)學(xué)家、教育家波利亞認(rèn)為，即使是相當(dāng)好的學(xué)生，當(dāng)他得到問題解答、寫下論證后，合上書本，他們就錯過了解題的一個重要而有教益的方面。顯然，波利亞在這里指的就是“解題反思”。所謂“解題反思”，是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)完成階段性任務(wù)前、中、后對自己的解題思路、實(shí)踐、方法等的認(rèn)知。教學(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生自我發(fā)問：我能檢驗(yàn)這個結(jié)果嗎？這樣的解題策略如何？還有更優(yōu)化更簡潔的方法嗎……當(dāng)學(xué)生能夠自覺地對解題過程展開反思時，學(xué)生解題的元認(rèn)知意識和能力就能得到充分的發(fā)展。

例如教學(xué)《分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第11冊）后，學(xué)生遇到這樣的習(xí)題：修一條60千米的公路，前4天修了計(jì)劃的，照這樣的速度，修完這條路一共需要多少天？絕大部分學(xué)生這樣解題：60÷60×÷4=20（天）。基于此，筆者將公路全長改變?yōu)?20米、300米等，讓學(xué)生再次解決問題。學(xué)生驚訝地發(fā)現(xiàn)：無論公路變?yōu)槎嗌倜祝?jì)算的結(jié)果都是20天。由此，學(xué)生展開自覺的解題反思：公路全長具體數(shù)量可否看作單位“1”？如何運(yùn)用分?jǐn)?shù)應(yīng)用題思路解題？在學(xué)生反思的基礎(chǔ)上，一部分學(xué)生這樣解題：1÷÷4，另一部分學(xué)生這樣解題：4÷。學(xué)生的解題思路在解題反思中漸趨簡潔、澄明、敞亮。

在解題反思中，學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)得以升華，學(xué)生由此真正實(shí)現(xiàn)從“懂”到“會”的轉(zhuǎn)變。在解題過程中，教師要相機(jī)滲透數(shù)學(xué)的思想、解題的策略、解題的原則與意識等。因?yàn)閷W(xué)生只有不僅在實(shí)踐層面，而且在觀念層面把握問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，才能建立有效的解題心理圖式，形成成熟的“題感”。

兒童的數(shù)學(xué)解題習(xí)慣不僅影響著教師教學(xué)效度，而且影響著學(xué)生良好思維品質(zhì)的形成。學(xué)生良好的解題習(xí)慣當(dāng)然也包括打破自身思維慣性的習(xí)慣。良好的解題習(xí)慣能夠讓學(xué)生在解題時“少卡殼”“少走彎路”“多走捷徑”?；趯W(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析和解決問題的全過程，以促進(jìn)兒童良好解題習(xí)慣的形成。