盧偉玲

摘 要：孕育數(shù)學(xué)的符號(hào)思想，向?qū)W生培養(yǎng)和滲透數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)感是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義。數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)簡(jiǎn)化事實(shí)表達(dá)、促進(jìn)學(xué)生思考、建立數(shù)學(xué)模型等具有重要的意義和價(jià)值。實(shí)踐中，通過符號(hào)理解、符號(hào)表達(dá)和符號(hào)運(yùn)用，能夠讓學(xué)生形成初步的符號(hào)感，激活學(xué)生的符號(hào)思維。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；符號(hào)思想

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，“發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)”。符號(hào)意識(shí)主要體現(xiàn)為“能夠從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并能夠用符號(hào)表示；能夠理解符號(hào)所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，選擇合適方法解決符號(hào)所表達(dá)的問題”。不難看出，課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)“符號(hào)意識(shí)”表達(dá)要義有三：其一，符號(hào)表達(dá)能力；其二，符號(hào)理解能力；其三，符號(hào)應(yīng)用能力。本文結(jié)合筆者對(duì)新課標(biāo)的學(xué)習(xí)以及自身教學(xué)實(shí)踐，試探如何培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，如何在教學(xué)中孕育數(shù)學(xué)符號(hào)思想。

■一、符號(hào)思想的孕育價(jià)值

符號(hào)是一種抽象的、形式化的數(shù)學(xué)語言，數(shù)學(xué)符號(hào)具有簡(jiǎn)潔美、抽象美與統(tǒng)一美。人們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算、邏輯推理與判斷的過程中，通常要借助數(shù)學(xué)符號(hào)。可見，符號(hào)是一種交流的工具。在數(shù)學(xué)教學(xué)中孕育數(shù)學(xué)的符號(hào)思想具有如下價(jià)值。

（一）簡(jiǎn)化表達(dá)

數(shù)學(xué)事實(shí)的表達(dá)方法很多，可以借助文字、圖像以及符號(hào)。例如對(duì)于加法結(jié)合律的表達(dá)，用文字就很煩瑣：三個(gè)數(shù)相加，先將前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；或者先將后兩個(gè)數(shù)相加，再加上第一個(gè)數(shù)；而用符號(hào)表達(dá)就是“（a+b）+c=a+（b+c）”。再如六年級(jí)學(xué)習(xí)正反比例，用文字表達(dá)很復(fù)雜，因?yàn)橐U述自變量和因變量之間的動(dòng)態(tài)變化、相互依存關(guān)系。而用符號(hào)表達(dá)就很簡(jiǎn)潔“■=k（一定）”以及“xy=k（一定）”。無怪乎著名數(shù)學(xué)家歐拉說，“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后”。

（二）促進(jìn)思考

數(shù)學(xué)符號(hào)能夠?qū)б龑W(xué)生的思維，助推學(xué)生展開數(shù)學(xué)思考。以“符號(hào)”為載體，能夠有效地表征問題，簡(jiǎn)化學(xué)生思考流程。例如擺一個(gè)正方形需要4根火柴棒，擺兩個(gè)正方形需要7根火柴棒……擺10個(gè)正方形需要多少根火柴棒？100根火柴棒能夠擺成幾個(gè)正方形？學(xué)生在操作中需要將小正方形的個(gè)數(shù)n與火柴棒的根數(shù)之間的規(guī)律找出來，并用抽象化、形式化的符號(hào)進(jìn)行表示：“火柴棒根數(shù)=3n+1”，學(xué)生能夠感受并體驗(yàn)到數(shù)學(xué)符號(hào)的概括性、簡(jiǎn)約性。某種意義上，數(shù)學(xué)符號(hào)能夠加快、促進(jìn)學(xué)生的思維運(yùn)轉(zhuǎn)。如在本題中，學(xué)生可以借助倒推的策略，對(duì)符號(hào)表達(dá)的式子進(jìn)行變形，順利地算出100根火柴棒可以擺成多少個(gè)正方形。

（三）建立模型

數(shù)學(xué)模型是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律、本質(zhì)的概括，是運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表示的一種結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)符號(hào)能夠幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型往往蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想。例如，對(duì)于行程問題，我們可以根據(jù)速度、時(shí)間和路程之間的關(guān)系，建立這樣的數(shù)學(xué)模型：s=vt。對(duì)于三角形、平行四邊形以及梯形的面積，可以用這樣的符號(hào)進(jìn)行概括：S=■（其中，a=0時(shí)為三角形，a=b時(shí)為平行四邊形）。毫無疑問，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有落實(shí)到模型層面，才能稱得上是一種真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。所以東北師范大學(xué)史寧中教授堅(jiān)持認(rèn)為，真正的數(shù)學(xué)思想有三：抽象、概括與模型。

■二、符號(hào)思想的孕育策略

在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師要相機(jī)滲透數(shù)學(xué)的符號(hào)化思想，孕育數(shù)學(xué)的符號(hào)化思想，讓數(shù)學(xué)的符號(hào)在數(shù)學(xué)教學(xué)中生根發(fā)芽、枝繁葉茂、開花結(jié)果。要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)符號(hào)的敏銳感覺，增進(jìn)學(xué)生對(duì)符號(hào)的敏感度，引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地從符號(hào)中捕捉到諸多的數(shù)學(xué)信息。引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)誕生、生長(zhǎng)、應(yīng)用的全過程。

（一）符號(hào)理解

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號(hào)所表示的意義、價(jià)值和關(guān)系。要結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)符號(hào)從“具體事物”到“個(gè)性表示”再到“數(shù)學(xué)表示”的形式化過程。

例如一年級(jí)教學(xué)“>”“<”和“=”，為了讓學(xué)生理解符號(hào)的意義，教師可以這樣展開教學(xué)。首先出示一些排列整齊的兩類物體，讓兩類物體一一對(duì)應(yīng)，其中一類物體與另一類物體一樣多，引出上下兩條橫線，一條橫線表示一類物體，另一條橫線表示另一類物體，兩條橫線一樣長(zhǎng)就表示物體的個(gè)數(shù)一樣多。如此，“=”就不僅僅是一種形式化的符號(hào)，對(duì)兒童來說更具有了實(shí)質(zhì)性的意義，它被深深植入學(xué)生的心中。再如教學(xué)“>”和“<”，同樣采用對(duì)應(yīng)教學(xué)法，讓學(xué)生理解含義。不僅如此，教學(xué)中要讓學(xué)生用自己的語言說：誰的個(gè)數(shù)多，誰的個(gè)數(shù)少，啟發(fā)他們學(xué)會(huì)用自己的符號(hào)表示物體的多少，并初步學(xué)會(huì)用“>”“<”等符號(hào)表示數(shù)的大小。為了讓孩子形象地記住“>”“<”，可以在開口處放兩個(gè)圓圈，在尖口處放一個(gè)圓圈，增強(qiáng)學(xué)生印象，讓學(xué)生理解“開口朝大數(shù)，尖嘴向小數(shù)”。以“符號(hào)”為載體，能夠有效提升兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)。

（二）符號(hào)表達(dá)

我們生活在一個(gè)符號(hào)的世界里，借助于數(shù)學(xué)符號(hào)，可以提煉數(shù)、表征數(shù)量之間的關(guān)系，顯化數(shù)量關(guān)系，變“看不見”為“看得見”，將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡(jiǎn)單。每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)都蘊(yùn)藏著豐富的現(xiàn)實(shí)意義，教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)充分發(fā)掘數(shù)學(xué)符號(hào)所蘊(yùn)含的內(nèi)涵，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)約地表達(dá)數(shù)學(xué)的概念、關(guān)系。東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，“符號(hào)意識(shí)是學(xué)習(xí)者在感知、認(rèn)識(shí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)方面所做出的一種主動(dòng)性反應(yīng)，是一種積極的心理傾向”。因此，教師要讓學(xué)生從日常的文字語言表達(dá)逐步過渡到數(shù)學(xué)的符號(hào)語言表達(dá)。

例如教學(xué)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第6冊(cè)），在孩子們理解了一半的含義后，筆者延長(zhǎng)符號(hào)的誕生歷程。讓學(xué)生用自己的方式表示“一半”，于是有孩子用“日”表示，有孩子用“■”表示，有孩子用“朋”表示……當(dāng)筆者出示標(biāo)準(zhǔn)化的符號(hào)“■”表示時(shí)，學(xué)生并沒有體驗(yàn)到這種符號(hào)表示的科學(xué)性、優(yōu)越性。于是，筆者讓學(xué)生表示“十分之一”“百分之一”，學(xué)生認(rèn)識(shí)到了這種表示方法的簡(jiǎn)潔性、普適性。再如教學(xué)《用字母表示數(shù)》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第9冊(cè)），對(duì)于數(shù)字和字母、字母和字母相乘，教師不僅要引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)符號(hào)表達(dá)，更需要學(xué)生在符號(hào)表達(dá)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。如4×b（乘號(hào)式）、4b（省略式）、4·b（點(diǎn)乘式）、b2（乘方式）等。像這樣，學(xué)習(xí)用不同的方式進(jìn)行符號(hào)表達(dá)對(duì)于學(xué)生今后學(xué)習(xí)負(fù)指數(shù)、分?jǐn)?shù)指數(shù)以及根號(hào)、同底數(shù)冪相乘等都有著積極的作用。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不能直接將符號(hào)“傳授”“告訴”學(xué)生，而應(yīng)當(dāng)在直觀的、具體的情境中學(xué)會(huì)用字母表達(dá)數(shù)、數(shù)量關(guān)系以及運(yùn)算定律，在符號(hào)表達(dá)中培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)思維能力。要培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)聯(lián)想能力，有意識(shí)地讓學(xué)生用自己創(chuàng)造的符號(hào)來表征題意。

（三）符號(hào)運(yùn)用

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用符號(hào)表示已知條件與未知條件之間的關(guān)系。要提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)分析問題、解決問題的能力，進(jìn)而將培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、孕育學(xué)生符號(hào)思想的教學(xué)要求落實(shí)到實(shí)處。

例如著名特級(jí)教師吳正憲教學(xué)《搭配的學(xué)問》，兩件上衣，三件下裝（褲子、裙子、短褲各一件）進(jìn)行搭配，一共有多少種不同的著裝方法？教師首先引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，通過一一搭配，有學(xué)生用文字表達(dá)，有學(xué)生用圖形表達(dá)，有學(xué)生用符號(hào)表達(dá)。

生1：我用一件上衣配一條褲子，又用一件上衣配一條裙子，再用一件上衣配一條短褲。（說著說著，這位學(xué)生漸漸說亂了）

生2：我是用一件上衣分別配褲子、裙子、短褲，形成了3中搭配方式，又用另一件上衣分別搭配裙子、褲子、短褲等。因此，一共有6種搭配方法。

生3：我是用畫圖的方法表示的。（說著學(xué)生呈現(xiàn)了線段搭配圖）

師：這位同學(xué)用圖表示搭配的方式，已經(jīng)簡(jiǎn)便多了。

生4：我用1和2表示上衣，用A，B，C分別表示裙子、褲子和短褲。因此，可以搭配成A1，A2，B1，B2，C1，C2，一共有6種搭配方式。

師：同學(xué)們覺得他的表示方法怎樣？

生5：簡(jiǎn)潔、明了，而且不容易遺漏和重復(fù)……

學(xué)生在解決問題的過程中逐步經(jīng)歷了符號(hào)化的過程。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)的眼光打量具體的數(shù)量關(guān)系，用符號(hào)化的頭腦思考數(shù)量關(guān)系，提高學(xué)生用符號(hào)解決問題的能力。適當(dāng)?shù)臅r(shí)候可以引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。例如對(duì)于n個(gè)人相互寄賀卡，有學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)建立了這樣的數(shù)學(xué)模型：賀卡總數(shù)=n（n-1）；對(duì)于n個(gè)人相互打電話，有學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)建立了這樣的數(shù)學(xué)模型：通話總次數(shù)=■。數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)潔而有效地表征了“寄賀卡”和“打電話”內(nèi)蘊(yùn)的數(shù)量關(guān)系，并且有助于表征、比較這兩種日常行為之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

英國(guó)著名思想家、數(shù)理學(xué)家羅素先生曾經(jīng)這樣說：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯。”數(shù)學(xué)中處處有符號(hào)，數(shù)學(xué)離不開符號(hào)。因此，孕育數(shù)學(xué)符號(hào)思想、滲透數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生初步學(xué)會(huì)用符號(hào)進(jìn)行表達(dá)、用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，用符號(hào)解決數(shù)學(xué)問題就成為數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義。教學(xué)中，教師要積極探索、開拓培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)，形成學(xué)生符號(hào)感的現(xiàn)實(shí)路徑。