楊開文

摘 要：符號思想是小學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，滲透符號意識是學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)的理性回歸。通過播種符號，可以啟蒙學(xué)生“準(zhǔn)代數(shù)式”意識。教學(xué)中通過孕育學(xué)生的符號意識、啟迪學(xué)生的符號思維、催生學(xué)生的符號想象，可以豐富學(xué)生的符號表象，引領(lǐng)學(xué)生從“算術(shù)思維”向“代數(shù)思維”的過渡。

關(guān)鍵詞：播種符號；算術(shù)思維；代數(shù)思維

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，“要用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”?！皵?shù)學(xué)符號”是人們計算、推理和表述問題的重要工具，因此發(fā)展學(xué)生的符號感，滲透“符號意識”是數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的重要目標(biāo)之一。所謂“符號感”，是指學(xué)生對符號意義、作用的駕馭和主動使用符號的意識、能力以及習(xí)慣?！皵?shù)學(xué)符號”內(nèi)蘊著數(shù)學(xué)知識的抽象美、簡潔美、統(tǒng)一美等。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以根據(jù)學(xué)生的年齡特征和認知心理，播種符號，進而豐富學(xué)生的“符號表象”、啟迪學(xué)生的“準(zhǔn)代數(shù)”意識，為學(xué)生形成“代數(shù)思維”和“關(guān)系思維”奠定堅實的基礎(chǔ)。

■一、符號意識：學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)的理性回歸

在數(shù)學(xué)中，通常有兩種思維范式：一是程序性思維，二是關(guān)系性思維。其中，算術(shù)思維屬于程序性思維，而代數(shù)思維則屬于關(guān)系性思維。小學(xué)數(shù)學(xué)側(cè)重于算術(shù)思維，而初高中數(shù)學(xué)側(cè)重于關(guān)系思維?！皽?zhǔn)代數(shù)意識”和“準(zhǔn)代數(shù)思維”則是介于算術(shù)和代數(shù)之間的意識過渡、思維過渡。從算術(shù)思維轉(zhuǎn)向代數(shù)思維是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須經(jīng)歷的理智跨越。

1. 基于教材，發(fā)掘知識中的符號因子

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有許多數(shù)學(xué)知識內(nèi)蘊著符號因子，教學(xué)中教師要善于發(fā)掘。根據(jù)數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的特質(zhì)相機滲透、鋪墊。例如，教學(xué)《認識10以內(nèi)的數(shù)》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級上冊），如對于認識“6”中的數(shù)字符號，在教材情境圖上，從6個人、6盆花、6只鳥……可以引導(dǎo)孩子們展開形象思維：6像勺子，進而抽象、提煉出符號“6”。在教學(xué)中，教師不可以輕視這樣的過程，因為這是學(xué)生從具體形象思維到抽象邏輯思維的發(fā)端。通過數(shù)字“6”，學(xué)生能夠具體化為一系列用“6”表示的物體，而通過許多的用“6”表示的物體，學(xué)生能夠抽象成數(shù)字符號“6”。在這個過程中，學(xué)生情不自禁地感受到，“6”的本領(lǐng)真大?。〔粌H如此，在教學(xué)中，教師還必須進一步豐富學(xué)生的符號認知，即符號“6”不僅可以表示“有6個”，而且還可以表示“第6個”。如此，符號“6”的基數(shù)與序數(shù)意義被有效地滲透進學(xué)生的心靈。

2. 基于學(xué)生，把脈符號滲透的心理起點

在滲透符號意識的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要遵循學(xué)生的認知規(guī)律和心理狀態(tài)，努力把脈學(xué)生的符號認知心理，找準(zhǔn)對學(xué)生進行符號滲透的心理起點，提升學(xué)生對符號的敏感度。對于學(xué)生而言，符號意識最為重要的表征就是學(xué)生能夠主動運用符號進行初步地數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)表達，能夠主動地運用符號展開數(shù)學(xué)化活動。在教學(xué)中，教師既不能運用“代數(shù)意識”“代數(shù)思維”要求學(xué)生，也不能始終將教學(xué)停留于學(xué)生算術(shù)思維的培養(yǎng)上。例如，對于初次教學(xué)《方程的認識》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊），學(xué)生在初次書寫方程、解方程時總是容易在方程前面加上“等號”，許多教師簡單地認為這是學(xué)生的書寫錯誤，歸結(jié)于學(xué)生的粗心。對此，如果我們分析學(xué)生的符號學(xué)習(xí)心理，就會產(chǎn)生獨特的發(fā)現(xiàn)。因為在孩子們的心中，“等號”總是用來表示“做某事”，表示一個計算的過程，指示著一種過程操作，而“等號”的關(guān)系性質(zhì)總是被學(xué)生遺忘。教學(xué)中教師要理解學(xué)生、寬容學(xué)生，通過前反饋強化“等號”的關(guān)系性質(zhì)，將學(xué)生的錯誤消滅在萌芽狀態(tài)。

■二、符號啟蒙，引領(lǐng)學(xué)生符號意識自然生長

學(xué)生的符號意識的培養(yǎng)不是一蹴而就的，而是一個從“具體事物的認識”到“個性化的符號表示”再到“學(xué)會數(shù)學(xué)表示”的循序漸進的過程，這是一個符號萌芽、開花、結(jié)果的過程，教師要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷這樣的符號化、形式化的過程。對于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，學(xué)生符號意識的啟蒙主要有兩個方面的內(nèi)涵：一是理解并運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，在蘇教版教材中集中安排在五年級上冊；二是學(xué)生能用符號進行運算和推理，在蘇教版教材中集中安排在五年級下冊。然而，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識，讓學(xué)生初步學(xué)會用數(shù)學(xué)符號表達、用數(shù)學(xué)符號思維，養(yǎng)成學(xué)生的符號化素養(yǎng)卻是整個小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。

1. 找準(zhǔn)生發(fā)點，孕育符號意識

學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識形成不是突兀性的。因此，學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的啟蒙，早期的孕育十分重要。啟蒙學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的數(shù)學(xué)教學(xué)也不應(yīng)該是斷裂的，而應(yīng)該是一種連續(xù)性的教學(xué)。在學(xué)生的豐富生活經(jīng)驗、活動經(jīng)驗中，就蘊含著豐富的符號因子。

例如，在教學(xué)《兩、三位數(shù)的加法和減法》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級下）時，筆者經(jīng)常發(fā)現(xiàn)有學(xué)生在計算時因為對數(shù)學(xué)整體感知的局限，將其中的一個加數(shù)的百位或者十位或者個位看多或者看少了，于是學(xué)生想出了多加幾十就再減去幾十，少加幾十就再加幾十的做法。筆者曾經(jīng)問其中的一位學(xué)生這樣做的理由，學(xué)生的回答令人驚訝，“我在商店買東西時營業(yè)員阿姨通常讓我多給點錢，這樣便于她找給我錢時是整元數(shù)。”顯然，學(xué)生在生活中遭遇到許多這樣的問題。因此，在教學(xué)《用計算器計算》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊）時，教材中有這樣的一道題：小剛的計算器上的數(shù)字鍵“3”壞了。你能用小剛的計算器算出下面各題的得數(shù)嗎？筆者充分利用學(xué)生的這些生活經(jīng)驗，引領(lǐng)學(xué)生想出多種多樣的方法，將之提煉概括形成這樣的代數(shù)關(guān)系與結(jié)構(gòu)：“a-b=（a+c）-（b+c）”或“a-b=（a-c）-（b-c）”。這種對符號意識的孕育，可以讓學(xué)生逐步形成運用符號進行數(shù)學(xué)思維的能力。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的敏感度，包括對數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系、式與式之間的關(guān)系、數(shù)與式之間的關(guān)系、數(shù)學(xué)圖表符號、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)符號以及模型符號等的敏感。學(xué)生的數(shù)學(xué)符號感能夠讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、生活中主動用符號化眼光去打量，用符號化思維去思考。

2. 找準(zhǔn)生長點，催生符號思維

從符號意識到符號思維是學(xué)生數(shù)學(xué)符號感的升華。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師播種符號意識要找準(zhǔn)生長點，以便能夠催生學(xué)生的符號思維。要豐富學(xué)生的“符號表象”，巧搭臺階，引導(dǎo)學(xué)生運用符號分析問題、解決問題。

例如，教學(xué)《表內(nèi)除法》（一）（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊），教師要讓學(xué)生充分經(jīng)歷“符號”——“除號”的誕生過程。在大量的感性材料面前，引領(lǐng)學(xué)生展開操作性活動，通過操作，抽象出數(shù)量關(guān)系，理解符號所蘊含的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。把8個圓紙片分成兩堆，可以怎樣分？8個圓紙片，每個小朋友分2個，可以分給幾個小朋友？盡管類型不同（過去，我們分別將之稱為平均除和包含除），但這些都是把許多物體分成相等的部分，都可以用除法算式8÷2=4來表示。在教學(xué)中，要讓學(xué)生反復(fù)操作，讓他們逐步由外在物質(zhì)化操作內(nèi)化生成出內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，并進而形成除號。如此，不僅突出了除法的數(shù)學(xué)本質(zhì)，而且讓學(xué)生經(jīng)歷了符號化的過程，生長并發(fā)展了學(xué)生的符號思維。符號的簡潔、符號的功能充分體現(xiàn)了運用符號的優(yōu)越性，如此增強了學(xué)生的符號感。

學(xué)生經(jīng)過數(shù)學(xué)知識的形式化過程，生成了數(shù)學(xué)符號。通過符號，學(xué)生建立了“符號模型”，即運用“除號”解決問題的數(shù)學(xué)模型。這種符號能夠幫助學(xué)生展開符號思維，激活學(xué)生的符號生長，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)問題分析和數(shù)學(xué)問題解決。

3. 找準(zhǔn)生成點，培植符號想象

學(xué)生對數(shù)學(xué)知識有多種表征方式，如文字表征、圖像表征、圖形表征、符號表征等。在教學(xué)中，要引領(lǐng)學(xué)生展開符號想象，滲透數(shù)學(xué)的符號語言；要給學(xué)生提供符號想象、符號創(chuàng)造的機會，逐步豐盈學(xué)生的符號表示范疇，讓學(xué)生感受、體驗到數(shù)學(xué)符號的內(nèi)在魅力。例如，教學(xué)《加法交換律》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊），筆者運用“朝三暮四”的故事激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過系列算式計算，學(xué)生感受、體驗到不同算法之間的關(guān)聯(lián)，他們紛紛用自己喜歡的方式表示這種交換關(guān)系。有學(xué)生用“△+☆=☆+△”表示，有學(xué)生用“甲+乙=乙+甲”表示，有學(xué)生用“a+b=b+a”表示……學(xué)生的符號想象、符號創(chuàng)意令人驚喜，他們的表達準(zhǔn)確、簡明，充分體現(xiàn)了用符號表達的優(yōu)越性。

西方思想家、數(shù)理學(xué)家羅素說：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號加邏輯?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，有些符號關(guān)系是顯性的，有些符號關(guān)系是隱性的，教學(xué)中教師要敏銳學(xué)生的“符號感覺”，顯現(xiàn)數(shù)學(xué)符號之間的關(guān)系；要引領(lǐng)學(xué)生豐富符號表象，激發(fā)學(xué)生的符號思維，催生學(xué)生的符號想象，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識符號化的過程，進而建構(gòu)符號模型。在這個過程中，學(xué)生逐步能夠感受到數(shù)學(xué)符號的意義、價值，體驗到數(shù)學(xué)符號的作用、力量。學(xué)生能夠從被動接受符號、被動適應(yīng)符號轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃永斫夥?、運用符號、創(chuàng)造符號。通過播種“符號”，啟迪學(xué)生的“準(zhǔn)代數(shù)式”意識，逐步發(fā)展起學(xué)生的“代數(shù)思維”。