王愛玲

（1．華東師范大學，上海 200241；2．菏澤學院，山東 菏澤 274015）

數學師范生的SCK發(fā)展調查研究
——以小學數學數與運算內容為例

王愛玲1，2

（1．華東師范大學，上海 200241；2．菏澤學院，山東 菏澤 274015）

以數學課程教學論課程為依托，以小學數學數與運算內容為例，對數學師范生的SCK的發(fā)展進行研究發(fā)現：數學課程教學論的教學能夠有效促進數學師范生的SCK增長．但是數學師范生的SCK仍舊薄弱，有待提高，對影響數學師范生SCK的因素進行反思是十分必要的．

專門的學科知識（SCK）；數學課程教學論；數學師范生；專業(yè)成長

1 研究背景

PISA、TIMSS大型國際測試表明，中國中小學學生基礎扎實，而創(chuàng)新實踐能力不足，進一步表現為高等教育很難培養(yǎng)出一流的人才．張奠宙先生稱此現象為“花崗巖上蓋茅草房”．如何保持中國教育基礎扎實，又能吸收國外的先進教育理念，培養(yǎng)基礎穩(wěn)健又有創(chuàng)新能力的人才是中國教育理念的努力方向．在新修訂的課程標準中，將“雙基”（基本知識、基本技能）擴展為“四基”（基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗），將“兩能”（分析問題、解決問題）擴展為“四能”（發(fā)現問題、提出問題、分析問題、解決問題），這是教育理念的進步．而教師的知識能力能否適應這一要求是教育工作者關注的大事，這涉及到基礎教育改革的成?。鳛榕囵B(yǎng)教師的主要母機——高等院校的師范專業(yè)肩負重任，如何培養(yǎng)出合格乃至優(yōu)秀的基礎教育教師意義重大．

教師職前培養(yǎng)是培養(yǎng)教師專業(yè)化發(fā)展進程中的一個重要階段，也是提高國家?guī)熧Y質量的一個重要環(huán)節(jié)．師范教育是教師專業(yè)化發(fā)展的重要奠基階段，提高數學師范生專門學科知識（SCK）對他們專業(yè)化發(fā)展有非常重要的作用，而數學課程教學論課程是高師培養(yǎng)中小學數學教師的必修課之一，因此選擇以數學課程教學論課程為依托，研究數學師范生SCK的發(fā)展．

關于數學教學知識，近幾年國內外學者更多研究了面向教學的數學知識（MKT）和學科教學知識（PCK）．國外學者Ball、Swars等有很多論文研究職前小學數學教師的MKT或PCK，國內學者龐雅麗研究了職前數學教師的MKT，徐章韜從歷史發(fā)生的視角研究了數學師范生 PCK．中外學者對MKT或PCK的研究不斷有新作品問世，有些研究也具體涉及到SCK．如學者陳曦對高中數學教師MKT的研究，測試分析了高中數學教師MKT的各個維度，包括SCK．但是學者們很少從SCK的視角去研究數學教師或職前數學教師的專業(yè)發(fā)展．

2 SC K的界定

學科教學知識（PCK）的想法開始作為一個模型出現，第一次被舒爾曼（Shulman，1986）描述[1]．舒爾曼設想了包括幾類知識的教師知識理論框架．Ball and Bass（2000）利用術語面向教學的數學知識（MKT）來表示教師需要的專業(yè)數學知識，他們認為這些知識不同于其它領域需要的知識[2]．在 MKT模型不斷進化中，Ball（2008）等提出了一個改進的舒爾曼分類（見圖1）[3～4]．

圖1 面向教學的數學知識（MKT）的緯度

他們將面向教學的數學知識（MKT）分為兩大類：學科知識（CK）和學科教學知識（PCK）．CK又有3個維度：一般學科知識（Common Content Knowledge，簡稱CCK），專門學科知識（Specialized Content Knowledge，簡稱SCK），橫向數學知識（Knowledge at Mathematical Horizon，簡稱KMH）．PCK的 3個維度包括：學科與學生的知識（Knowledge of Content and Students，簡稱KCS），學科與教學的知識（Knowledge of Content and Teaching，簡稱KCT），課程知識（Knowledge of Curriculum，簡稱KC）．其中SCK是指在教學實踐中教師經常使用的數學知識，但又高于課程知識，包括：能意識到問題的所有可能解決方法；對學生的回答能準確判斷是否正確；有辨別和分析學生錯誤的能力；知道哪些解答可進行推廣[5]．

近年來，還有一些研究者（Hill等）提出了專門學科知識（SCK），他們認為SCK不同于Shulman’s（1986）的學科主題知識（SMK）和學科教學知識（PCK）．SCK被定義為“對學生完成經常發(fā)生的數學教學任務需要的數學知識”．具體來說，Hill解釋，SCK由“數學任務組成，比如，用圖片或教具操作表示數和運算，從非標準解決方法中檢驗和推廣，為數學思想或過程提供解釋”[6]．SCK是一種數學學科知識，它不依賴學生的知識，也不依賴教學知識[7]．

綜合上述理解，對 SCK界定為：Specialised Content Knowledge（SCK）是為了教學教師必須具備的更為專門化的一類數學學科知識，這類知識比學生所學的數學知識處于較高一級的水平．要求教師懂得問題的各種各樣的解決方法，能夠分析學生錯誤的原因和本質，解釋常規(guī)、非常規(guī)算法和程序．

3 研究方法

主要采用問卷調查法和訪談法．

3.1 取 樣

選取H大學數學系數學與應用數學專業(yè)（本科）、數學教育專業(yè)（?？疲┑牟糠謱W生作為研究對象．

H大學數學系開設數學課程教學論（一）和數學課程教學論（二）．每周4節(jié)課，每節(jié)課50分鐘，要求兩個學期完成教學任務．?？婆c本科由研究者授課，教學內容大致類似，研究者授課時根據具體情況做了適當的調整．數學課程教學論（一）側重于數學教育理論, 數學課程教學論（二）側重于初等數學內容方法．

3.2 工 具

學習教數學（LMT）工具用來測量教師的專門數學學科知識．該工具反應了Deborah Ball和她的同事在密西根大學的工作，由多個任務構成[8]．關于數與運算的測試項目14個，研究者檢驗了該工具的信度和效度[9]．課題研究者對上述14個任務進行了簡單的改編，主要是跟據本土實情，特別是針對文化背景，進行了適當改編，也包括對簡單數字的改編．H大學的數學教育研究小組認為改編后的項目不違背原設計者的意圖．改編后的這14個項目作為測試工具．

3.3 研究過程

在新學期的第一個星期，研究者向自己授課班級的學生發(fā)布進行問卷調查的信息．在輔導員老師的協助下，在2015年9月新學期的第一個星期天的晚自習，兩個專業(yè)的被試者將配合研究者完成對問卷的前測．

后測是在2016年6月底（第二個學期末）完成，也就是剛剛結束數學課程教學論（二）的學習，由先前的志愿者參與完成試卷的問答．

在后測結束后對學生進行訪談．

收集數據和訪談在學生學習數學課程教學論（一）和數學課程教學論（二）的一學年內完成．

4 數據分析的結果

4.1 參與研究的師范生信息

參與前測的學生有133人，實驗過程中有3人退出，只有130名同學參與了后測，剔除無效問卷1份，有效問卷129份．參與測試的這129名師范生，包括兩個專業(yè)，由于師范專業(yè)特色，女生居多，詳見表1．

表1 參與研究的人口信息

4.2 數學師范生的SCK發(fā)展變化分析

問卷包括14個問題，每個問題1分，共14分．

下面是每個小題做對的人數及在專業(yè)人數中所占的百分比，詳見表2～4．

表2 前 測

表3 后 測

表4 前測后測平均分數分布表

由表2，表3和表4可以看出，數學與應用數學專業(yè)和數學教育專業(yè)的學生在一學年的數學課程教學論學習中SCK都有了顯著增長．

表2和表3反應了問卷中每個問題在后測中回答正確的人數比前測中都有增加，后測中每一個問題回答正確人數所占的百分比較前測有不同程度的提高．在前測中，兩個專業(yè)每小題做對的人數幾乎沒有過半的，后測中情況仍不容樂觀．比如數學教育專業(yè)的學生第十四題做的最差，61人中只有6人做對，占總人數的9.8%，后測中有41人選對，占本專業(yè)人數的67.2%．前測中數學與應用數學專業(yè)的學生第四題和第七題表現最差，68人中都只有7人做對，各占總人數的10.3%，后測中第四題有49人選對，占本專業(yè)總人數的 42.6%，后測中第七題本專業(yè)的學生進步較大，有 50人做對，占該專業(yè)總人數的73.5%．

由表 4可以看出兩個專業(yè)的學生后測平均成績明顯好于前測平均成績．數學教育專業(yè)的學生前測平均得分 4.86分，后測平均得分8.16分，前后平均增加了3.3分；數學與應用數學專業(yè)的學生前測平均得分 5.1分，后測平均得分8.75分，前后平均增加了3.65分．問卷總分是14分，從學生的平均得分來看，參與測試學生的SCK是薄弱的，雖然經過數學課程教學論的學習，學生的SCK有了顯著增加，但仍不夠理想．后測中數學教育專業(yè)學生的平均分是 8.16分，數學與應用數學專業(yè)的學生平均分是8.75分，距離14分的差距還很大．如何提高數學師范生的SCK仍是困擾研究者的問題．

數學與應用數學專業(yè)的學生是本科生，數學教育專業(yè)的學生是?？粕?，數學與應用數學專業(yè)的學生入校成績高于數學教育專業(yè)的學生．無論前測還是后測，數學與應用數學專業(yè)的學生成績都優(yōu)于數學教育專業(yè)的學生，數學與應用數學專業(yè)的學生前測后測平均成績變化也比數學教育專業(yè)的學生大一些，這里存在著基礎問題，也說明了學生基礎越好學習能力也較強，SCK也提高快一些．但是數學與應用數學專業(yè)的學生優(yōu)勢也不是那么明顯，他們前測、后測的平均成績分別稍高于數學教育專業(yè)的學生，兩個專業(yè)前測后測平均成績增長的幅度也沒有太大的差異．

5 訪 談

5.1 情況簡介

從參與測試的師范生中召集了一些志愿者參與訪談，報名的有14名同學，在后測結束后從14名同學中隨機抽取了4名同學參與訪談．其中數學與應用數學專業(yè)、數學教育專業(yè)各有兩名同學參與了訪談，在第二次測試不久對他們進行了訪談，他們即將到中小學實習．參與訪談學生情況見表5．

表5 參與訪談學生一覽表

盡管師范特色的專業(yè)女生居多，在隨機抽取訪談的對象時還是盡可能注意了男女比例，做到每個專業(yè)男女均衡．

對每個師范生的訪談主題也不盡相同，主要根據他們前測和后測問卷對比，每個師范生給出了不同的訪談提綱．以下訪談實錄是根據現場錄音整理而成．

TH這里指的是訪談老師，ST1、ST2、ST3、ST4是接受訪談的學生．

5.2 師生對話實錄

（1）TH：你認為什么是教數學的好方法？

ST1：不能強迫孩子，逼孩子做數學題啊什么的，要讓孩子喜歡，感覺有興趣，這樣孩子學起來才會越來越輕松．

TH：有道理．這個話題有點大．對，就是讓孩子感興趣．怎么才能讓孩子感興趣？

ST1：講故事，做游戲，開展競賽活動，聯系生活實際，讓學生動手操作，都能讓學生感興趣．

TH：不錯．好的教學方法還有很多．

（2）TH：你認為下面的方法可以用于兩數相乘嗎？

ST1：可以?。?/p>

TH：可在第一次測試中你認為不可以，第二次又選了可以應用并推廣，你是怎么想的？

ST1：第一次沒看懂，不明白．第二次做問卷時想通了．主要是數學課程教學論課堂上見過此類問題．這個方法與通常的習慣不同，也是可行的．

TH：你的小學老師教過你這種方法嗎？

ST1：沒有，教材上也沒見過．

TH：如果你遇見了小學生這樣做，怎樣處理？

ST1：我會告訴學生答案沒有錯，但不要這樣做，這樣不符合常規(guī)，也容易出錯，做作業(yè)或考試還是按書上有的或老師教的方法．

TH：對，但一定要肯定學生的創(chuàng)造力．

（3）TH：在測試問卷中有一題，你有1.25元錢，如果你的這些錢加倍的話，你會有多少錢？請解答．

ST1：1.25′2=2.5，有2.5元錢．

ST1：不能，結果相同，但背景意義不同．

ST1：通過列式計算，發(fā)現結果相同，就想當然給出了結論，沒有考慮實際背景．

TH：你的思想是如何變化的？

ST1：老師在數學課程教學論教學中，涉及了此類問題，我受到了啟發(fā)．

（4）TH：

在前測中你認為結果正確只是偶然的巧合，此工作無規(guī)律可循，故不能推廣．后測中你又認為這是一種位置跟蹤算法，這種算法不同于一般算法，但也是對的．你的判讀怎么發(fā)生了變化？

ST2：前測中還有點印象，當時就拿不定注意，沒有看到規(guī)律，就蒙了一個答案．在后測中，我看懂了規(guī)律．

TH：平時老師的教學對你理解此問題是否有幫助？

ST2：老師在數學教學論教學中，也涉及了一些非常規(guī)算法的例子，這些算法也是有規(guī)律可循的，只是和教材上介紹的，老師教的方法不同．我還是從中領悟到道理．

TH：當你遇到學生用到非常規(guī)算法，你會怎么做呢？

ST2：我會問他（她）怎么想的，然后和他（她）一起討論其中的道理．對于思維的閃光點我會鼓勵表揚．

TH：班級中總有智力較好的孩子，遇見他們的非常規(guī)算法，一定要有耐心，保護好他們的好奇心是老師的責任．

你是怎么想的？

TH：前面的表達式好像也沒問題．

ST2：沉默．

TH：上式中0L1表示一個數嗎？

ST2：不表示一個數，0L1表示一類除以除數商為 0余1的數的集合．

TH：你怎么知道的？

ST2：在課堂試講時有個同學講的習題涉及了0L3，其中的道理是一樣的．

ST2：不可靠，因為0L1不表示一個數．

TH：那你重新對該問題作出選擇．

ST2：a）不是；b）不是；c）是

TH：看來現在真正理解了，你兩次測試都沒全對．

（6）TH：請你翻開測試問卷，看第五題，你兩次都選了d），你是怎么想的？

TH：可是第一個餅全涂了色，第二個只涂了一份，怎么解釋？

ST3：哦，……我也糊涂了．

TH：請你再讀一遍題．

TH：看來不是不會做，是讀題不認真．

ST3：是的，看圖就想當然了．

TH：這樣的問題看似馬虎，其實還是缺少耐心．耐心也是我們做教師必備的素質．

ST3：我會注意的．

TH：如果你當了小學數學老師，你會怎樣幫助學生認識“整體”？

ST3：多舉一些實例，圖形的、數字的、事物的，等等．

（7）TH：第十二題，第一次測試你選了b），第二次測試你又選擇了d），你是怎么想的？

ST3：第一次測試時，我只考慮了這兩堆蘋果相比較的關系．后來在課程教學論的學習中，有同學試講涉及了相關的問題，我知道了表示二者關系的情況很多，只要能用運算關系表達的，都表示二者之間的關系．

TH：所以第二次測試中就胸有成竹了，選擇了d）

ST3：是的．

ST3：……其它運算關系也表示二者之間的關系．

TH：當然小學階段學生不必考慮那么多，作為老師應該對此類問題有更深入的理解．

ST3：當老師真不容易，我覺得自己的知識面太窄，深度也不夠．

TH：有這樣的認識很好，認識到不足才能進步．

（8）TH：第三題，在第一次測試中你認為只有學生 B的方法對，學生A和學生C的方法不對．在第二次測試中，你認為學生A、B、C的方法都對．你是怎么想的？

ST4：學生B的方法是常規(guī)的方法，我們都會，都能明白．在第一次測試時，學生A、學生C的方法沒有看懂，覺得很亂．經過一年課程教學論的學習，老師講過此類問題．一些非常規(guī)算法，老師要求我們一定要看其中的道理，不能輕易否定非常規(guī)算法．這次仔細審題了，學生A學生C的算法也對，不是通常推廣的方法．

TH：既然學生A學生C的方法都對，我們的教材為什么不介紹這些方法呢，老師在課堂上也不推廣呢？

ST4：常規(guī)的方法簡單，非常規(guī)的方法麻煩，規(guī)律不易找出來．

TH：你會如何對待學生的非常規(guī)算法？

ST4：如果正確，我會表揚鼓勵，但是要求他（她）在作業(yè)或考試中還是要常規(guī)算法，常規(guī)算法比較簡便，節(jié)約時間．

（9）TH：第六題中，你在前測中未選，在后測中選擇了c），你是怎么想的？

ST4：在前測中，我沒看懂什么意思．后測中看明白了，圖c）與其它圖形有明顯的不同，其它都是同類圖形的比較，圖c)左右兩個圖屬于不同的類別，一個長方形，一個圓形，沒有可比性．

TH：平時老師的教學對你是否有啟發(fā)？

ST4：有的．在同學們習題展示時，有個同學講了一個相關的問題，老師組織同學討論了．所以記憶比較深．

TH：這里體現了一個什么思想？

ST4：分類的思想．

TH：對，分類的思想在數學中常見到．

訪談對話涉及了調查問卷14個項目中的8個問題，4個師范生根據訪談老師的提問談了自己的認識和感受．他們的教育觀念比較符合現代教育理念，這應該與數學課程論的學習有關．他們的數學基本功較好，經過高考選拔，能夠報考并且錄取到數學專業(yè)的學生數學基本素養(yǎng)能夠滿足未來中小學數學教師的需要．師生對話反應了在這一年師范生對測試問題的思想變化主要源于數學課程教學論任課教師的指導．訪談只涉及到師范生的 SCK，問題舉例僅限于小學數學的數與運算．從訪談結果來看，研究者的數學課程教學論教學對學生 SCK的提高是有效的，同學們是用心學習的．這與問卷測試分析的結果也相吻合．

比如TH和ST1、ST4關于測試問卷中第三題的對話，反應了ST1、ST4對非常規(guī)算法認識的變化，也說明他們在第一次測試中對此問題的陌生，經過數學課程論的學習，對處理此問題有了較為深刻的認識．針對測試問卷中的第三題，在前測后測中數學教育專業(yè)的師范生做對人數的變化從34.4%上升到 54.1%，數學與應用數學專業(yè)的師范生做對人數的變化從13.2%上升到54.4%．ST1、ST4對此類問題的認識變化僅代表了一部分同學的進步．

從整體訪談和測試也可以看出師范生SCK的缺乏和數學課程論教學存在的問題．

6 總結和反思

6.1 總 結

通過實驗數據分析、學生訪談，可以得出以下結論：在數學課程論教學中，研究者的教學是有效的，能夠提升數學師范生的 SCK．這兩個專業(yè)的學生數學基本功是扎實的，但作為未來數學教師應具有的SCK卻不怎么理想，還有很大上升的空間．

按照Ball等學者的劃分，面向教學的數學知識（MKT）有6個維度，選擇了其中一個維度SCK對數學師范生進行調查研究．從相關文獻來看，更多學者研究了數學教師的PCK．近幾年來西方學者對數學教師的SCK也有研究，并用Ball等早期開發(fā)的LMT（學習教數學）工具作為測試數學教師SCK的工具．在不違背設計者意圖的情況下，根據國情對這套測試工具進行適當改編，作為該研究的工具．經檢驗，這套工具測試的結果大體反應了實際情況．雖然SCK只是MKT的一個維度，從對SCK的界定來看，教師擁有SCK的水平直接影響了他們的教學水平，從而影響了教學效果．因此選擇SCK這一視角探討數學師范生的專業(yè)發(fā)展．

6.2 反思和進一步研究的問題

（1）該學年除了開設數學課程教學論的課程，同時也開設了其它的課程，其它課程雖然與數學師范生SCK的關聯沒有那么密切，但也不能排除其它學科對數學師范生 SCK的影響．

（2）由于該學年學校沒有安排學生見習，學生尚未經過教育實習，教育見習、實習對學生 SCK的影響都沒有考慮．還有部分學生做家教，也不知家教輔導的經歷對數學師范生的SCK影響有多大．這些都是研究者后續(xù)研究的內容．

（3）數學師范生的SCK是薄弱的，雖然經過數學課程教學論的學習有了明顯的提高，測試結果并不樂觀．因此數學課程教學論的授課內容、方法、手段還有待于改進．

（4）數學課程教學論的授課采用了自編講義，參考了國內外大量文獻資料，由于研究者學識水平有限，可能也影響了學生的SCK的發(fā)展．進一步優(yōu)化授課講義也是繼續(xù)進行的工作．

（5）參與測試的學生都是大學二年級的學生，很多相關學科還未學習，該學年開設數學課程教學論是否是最佳時間也值得商榷．

（6）數學師范生意念中的小學數學教學受到自己小學數學老師的影響，他們小學數學教師的SCK是否也影響數學師范生的SCK，以及當前小學數學教師的SCK如何，這些都是繼續(xù)研究的問題．

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Research on Development of SCK of Math Students in Normal University——The Number and the Operation as an Example

WANG Ai-ling1,2
(1. East China Normal University, Shanghai 200241, China；2. Heze University, Shandong Heze 274015, China)

In this paper, based on mathematical teaching theory course, number and operation content in elementary school as an example, investigates development of SCK of math students in normal university. The study found that: mathematics curriculum teaching theory teaching can effectively promote the growth of SCK of math students in normal university. But SCK of math students in normal university is still weak, needs to be improved, and analyzes the factors affecting the development of SCK of math students in normal university.

specialized content knowledge (SCK); mathematics curriculum teaching theory; math students in normal university; professional development

G652

A

1004–9894（2017）01–0098–05

[責任編校：周學智]

2016–10–13

上海市核心數學與實踐重點實驗室基金項目——數學實踐（13dz2260400）；山東教育科學規(guī)課題“高等教育數學教學專項”——數學史融入高等數學教學案例之研究（YBS15016）

王愛玲（1969—），女，山東菏澤人，菏澤學院教授，華東師范大學博士生，從事數學課堂教學和數學解題研究．