朱海燕

摘 要：“數(shù)學構(gòu)造”是數(shù)學解題中富有創(chuàng)新精神的一種策略方法。運用“構(gòu)造法”常常能夠拓寬解題思路，讓數(shù)學問題變得簡單而易于理解。實踐中，可以運用“作圖構(gòu)造”“補白構(gòu)造”“數(shù)值構(gòu)造”“極端構(gòu)造”“動態(tài)構(gòu)造”和“借理構(gòu)造”等，使內(nèi)隱數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系等變得敞亮起來，以便讓學生對數(shù)學問題進行創(chuàng)新性建構(gòu)和解答。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造思想；數(shù)學構(gòu)造；解題思路

“構(gòu)造法”是數(shù)學解題常用的方法。通過巧妙的數(shù)學構(gòu)造，常常能夠讓數(shù)學習題中隱含的數(shù)學關(guān)系顯現(xiàn)出來，進而讓復雜的數(shù)學問題變得簡單，讓陌生的數(shù)學問題變成熟悉。常用的數(shù)學構(gòu)造法有“作圖構(gòu)造”“數(shù)值構(gòu)造”“極端構(gòu)造”“動態(tài)構(gòu)造”“借理構(gòu)造”等。通過數(shù)學構(gòu)造，展現(xiàn)數(shù)學知識本體的魅力。數(shù)學“構(gòu)造法”體現(xiàn)著學生的創(chuàng)新思維，常常能給人以數(shù)學美的享受。

■一、作圖構(gòu)造

著名數(shù)學家華羅庚曾經(jīng)這樣說，“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！痹谛W數(shù)學中，“數(shù)”與“形”是緊密結(jié)合在一起的，它們之間的關(guān)系十分密切、十分微妙。在一定條件下，“數(shù)”與“形”能夠相互轉(zhuǎn)化、滲透。教學中，教師如果能夠引導學生“以形觀數(shù)”，給抽象數(shù)學建構(gòu)形象模型，則一定能夠讓數(shù)學教學閃現(xiàn)出獨特的魅力。

例1：幼兒園將一筐蘋果分給大班的小朋友。如果平均每個小朋友分5個，則還剩20個；如果平均每個小朋友分得6個，則還缺少30個。那么大班有多少個小朋友？一共有多少個蘋果？

分析：這是一道典型的盈虧問題。盈虧問題學生難以理解的是盈（有余）與虧（不足）的關(guān)系。為此，許多教師教學時予以過度強化，甚至讓學生死記公式：（盈+虧）÷兩次分配的差=份數(shù)；（大盈-小盈）÷兩次分配的差=份數(shù)；（大虧-小虧）÷兩次分配的差=份數(shù)。盡管部分學生記得，但仍然難以理解。其實，如果我們能夠構(gòu)造長方形（如圖1），就能形象地揭示兩次分配結(jié)果之間的關(guān)系。我們用長方形的長邊表示每個小朋友分得的蘋果數(shù)，用長方形的寬邊表示小朋友總數(shù)。

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圖1

從上圖不難看出，右邊兩個長方形的面積和也就是蘋果兩次分配結(jié)果相差20+30=50（個），右邊兩個長方形的橫邊長為兩次分配過程中每個小朋友分得的蘋果相差6-5=1（個）。因此右邊兩個長方形的豎邊也就是原來長方形的寬，即小朋友的總?cè)藬?shù)為：（20+30）÷（6-5）=50（人）。據(jù)此，我們可以求出蘋果的總數(shù)，即50×5+20=270（個），或者50×6-30=270（個）。

■二、補白構(gòu)造

在數(shù)學解題教學中，教師要調(diào)動學生的想象力，讓學生進行適度補白。通過對幾何圖形的完整構(gòu)造，將題目中隱含的數(shù)量關(guān)系敞亮。格式塔心理學認為，藝術(shù)設計應當把握“復雜形”與“簡單形”、“不完美形”與“完美形”之間的關(guān)系。教師可以讓學生通過對稱補白、空缺補白、聯(lián)想補白等策略，利用平移、旋轉(zhuǎn)、添加輔助線等手段對圖形進行再造性建構(gòu)，要讓圖形成為一種召喚結(jié)構(gòu)，形成一種“形式意味”，進而誘導學生的創(chuàng)造性思維。

例2：求如圖2中形體的體積。

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圖2

分析：如圖2，本題中的形體是一個不規(guī)則的幾何形體，其底面是一個直角梯形。梯形的上底為3厘米，下底為5厘米，高為4厘米，整個形體的高為6厘米。盡管我們可以運用直柱體的體積公式V=Sh來進行計算，但仍有部分學生不能理解。此時，如果我們引導學生嘗試用對稱的眼光來審視的話，這個形體作為一個“不完形”，就等待著、召喚著我們對它進行補白、完形，使之臻于完整、完美。為此我們可以進行構(gòu)造，即用一個完全一樣的形體，按照一正一倒的方向與順序，組合成一個長方體（如圖3）。這個長方體的長是8厘米，寬是4厘米，高是6厘米。而拼成的長方體的體積正好是原來直柱體體積的2倍，所以直柱體的體積為：（3+5）×4×6÷2=96（立方厘米）。在這里，筆者巧妙運用對稱，建構(gòu)完形，引導兒童從整體上把握不規(guī)則直柱體的本質(zhì)，通過補白構(gòu)造讓孩子們進行空間想象，培養(yǎng)兒童的數(shù)學建構(gòu)力和創(chuàng)造力。

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圖3

■三、數(shù)值構(gòu)造

所謂“數(shù)值構(gòu)造”就是將題目中抽象、隱蔽的條件、關(guān)系通過具體數(shù)值加以顯化。孩子們對抽象的符號有著天然的陌生感，而數(shù)值構(gòu)造則讓學生親近習題。通過具體數(shù)值，讓抽象的數(shù)學問題具體化，進而促進兒童主動分析數(shù)量關(guān)系。

例3：一場3D電影票原來是15元一張。自降價以后，觀眾人數(shù)增加了一半，收入增加了■。那么，3D電影票降價了多少元？

分析：本題看上去簡直無從下手，因為電影票的收入、觀眾的人數(shù)等我們都不知道。但認真讀題我們不難發(fā)現(xiàn)，正是因為觀眾人數(shù)增加了一半才導致收入增加了■。換句話說，觀眾人數(shù)與增加的收入之間存在著因果關(guān)系。據(jù)此，我們嘗試采用數(shù)值構(gòu)造，期望問題能夠得到解決。不妨假設原來觀眾的人數(shù)為1000人，這樣原來總的收入為15000元。那么，根據(jù)“降價后觀眾人數(shù)增加了一半”可以得出現(xiàn)在的人數(shù)為：1500人，根據(jù)“收入增加■”可以得出現(xiàn)在的收入為15000+15000×■=18000（元）。那么現(xiàn)在每張3D電影票的價格為：18000÷1500=12（元）。由于原來每張3D電影票的價格為15元，因此3D電影票降價了15-12=3元。復雜的數(shù)量關(guān)系讓我們覺得“山重水復疑無路”，但因為有了具體的數(shù)值賦予而顯得“柳暗花明又一村”了。

■四、極端構(gòu)造

所謂“極端構(gòu)造”，是指我們在解決數(shù)學的一般問題時，可以對問題做出“極端化處理”。通過問題的“極端情形”獲得對一般問題情形的思考方法。從表面上看，極端構(gòu)造是一種“特殊法”解題，但深入分析，我們會發(fā)現(xiàn)“極端構(gòu)造法”不能等同于“特殊法”。由于我們視閾的局限，常常不能把握問題的數(shù)學本質(zhì)，而“極端構(gòu)造”實際上就是將問題中的非本質(zhì)屬性屏蔽，而讓本質(zhì)屬性凸顯。

例4：一艘大型輪船往返于甲、乙兩地，那么是在流水中（包括去時順水、返回時逆水；或者去時逆水返回時順水）所花的時間長還是在靜水中所花的時間長，抑或一樣長呢？

分析：由于本題“不著一數(shù)”，所以讓我們覺得解題舉步維艱。此外，如果我們采用假設法，還必須考慮兩種情形，即“去時順水、返回時逆水；或者去時逆水、返回時順水”。為此，我們可以將問題情形引向極端來展開思考，即船速等于水速，那么問題情形就變得非常的有趣。船在逆水中航行，由于船速等于水速，所以船是停止不前的。這時，無論花多長時間，船都無法到達對面，從而也就無法完成在兩地間往返航行。而船在靜水中往返所花的時間總是“往”或者“返”時間的2倍。因此，船往返于兩地在流水中所花的時間一定比在靜水中所花的時間要長。

■五、動態(tài)構(gòu)造

在數(shù)學問題的解決過程中，有時我們可以對題目進行動態(tài)處理，讓題目中的條件在動態(tài)變化的過程中給學生以啟示，從而獲得解題思路。通過條件中的某個元素的運動或圖形的運動等能形成數(shù)學題中讓人豁然開朗的特殊情形、規(guī)整情形。由此，對問題的動態(tài)構(gòu)造往往可以得到新穎、別致的數(shù)學解法。

例5：如圖4，正方形ABCD和正方形EFGH相互重疊，它們的邊長都是4厘米。其中，正方形EFGH的一個頂點在正方形ABCD的中心。那么，重疊部分的面積是多少平方厘米？

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圖4

分析：從圖中可以看出，兩個正方形重疊部分是一個不規(guī)則的圖形，如果我們根據(jù)題目中所給的靜態(tài)圖，那么這一道題就很難做出解答。為此，我們可以作動態(tài)想象，想象正方形EFGH繞著E點也就是正方形ABCD的中心旋轉(zhuǎn)。當我們將圖中重疊的部分旋轉(zhuǎn)成一個小正方形時，也就是旋轉(zhuǎn)到線段EH垂直于CD或者垂直于BD時，問題就迎刃而解了。那么，一般情形與這種特殊情形之間有沒有什么關(guān)系呢？答案是有的，如圖所示，現(xiàn)在的圖形比特殊的標準圖形在一邊多了一個小三角形，而在另一邊則少了一個三角形，把其中的一個三角形旋轉(zhuǎn)90°就會和另一個三角形完全重合。因此，重疊部分的面積為原來正方形面積的■，即4×4×■=4（平方厘米）。

■六、借理構(gòu)造

有些數(shù)學問題運用該類問題的常規(guī)思路解答比較難，但運用非本類問題的思路方法常常能夠解答。教學中，教師要引導學生發(fā)揮自己的數(shù)學想象力，應用相關(guān)知識解決實際問題。在構(gòu)造的過程中，教師要引導學生說理，說構(gòu)造之理。不難看出，數(shù)學構(gòu)造是一種創(chuàng)造性的思維活動，它要求學生在自己已有知識經(jīng)驗和數(shù)學問題之間建立通路、回路。要增強學生數(shù)學構(gòu)造的自覺性，提高學生數(shù)學構(gòu)造的能力。

例6：南京市北京路小學健美操興趣小組一共有13名同學，試證明這13名同學中至少有兩位同學是同一個月出生的。

分析：這道題從文字表達上看好像是“年齡問題”，但題目中的問題卻不是數(shù)學計算，而是證明，是證明就要展開說理。我們可以這樣說：從最不利的情況出發(fā)，13名同學中，第一位同學假設是1月出生，第二位同學假設是2月出生……第12位同學假設是12月出生，在這12位同學中，每一位同學的出生月份都各不相同。而現(xiàn)在卻有13名同學，這第13位同學無論出生在哪一個月份，都與前面十二位同學中的一位是同一個月出生的。其實，這道題的數(shù)學本質(zhì)是“抽屜原理”，而運用抽屜原理的關(guān)鍵在于正確構(gòu)造抽屜。在本題中，我們可以將一年的12個月看作12個抽屜，將13位同學看作13個物體。將13個物體放進12個抽屜中，必定有一個抽屜有兩個物體，即至少有兩位同學是同一個月出生的。

以上介紹了構(gòu)造法在小學數(shù)學解題中的一些運用，我們從中能感受到數(shù)學“構(gòu)造法”的精妙、神奇。教學中，如果教師能有意識地引導學生展開數(shù)學構(gòu)造，讓學生運用構(gòu)造思想來展開數(shù)學學習，讓學生對數(shù)學問題進行有意識地構(gòu)造思考，那么就一定能提高學生的數(shù)學創(chuàng)新意識和實踐能力。在這個過程中，學生將逐漸成長為一個數(shù)學意義上的創(chuàng)客！