單妍炎，黃秦安

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解釋學(xué)觀照下數(shù)學(xué)對話的內(nèi)涵與特征

單妍炎1，2，黃秦安1

（1．陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安 710119；2．內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院工科數(shù)學(xué)部，內(nèi)蒙古呼和浩特 010051）

數(shù)學(xué)具有“對話”的品質(zhì)．對“數(shù)學(xué)對話”深層意涵的覺察和反省，使人們意識到真正的數(shù)學(xué)對話具有對話主體化、意義多元性和本質(zhì)無止盡性的獨(dú)特性格．真正的理解是一種接近詮釋循環(huán)的對話歷程，在視域融合的激蕩過程中，人們可以不斷地修正自己原先認(rèn)識的意義與視域內(nèi)容．在現(xiàn)今的知識社會(huì)背景下，深層反省“數(shù)學(xué)對話”背后的解釋學(xué)立場，旨在以開放、包容的實(shí)踐智慧來促成學(xué)生扎根于社會(huì)和文化的知識理念．?dāng)?shù)學(xué)對話是學(xué)生、文本與教師之間達(dá)成多重“視域融合”的理解性事件，視域融合應(yīng)該成為檢驗(yàn)數(shù)學(xué)對話有效性的重要維度．

數(shù)學(xué)對話；解釋學(xué)；溝通；理解；視域融合

“對話”在教育歷程中的重要性，早已出現(xiàn)在教育哲學(xué)的相關(guān)論述中．在內(nèi)涵上，對話是一種團(tuán)體共同思考的歷程，在此歷程中參與者探求內(nèi)在的聲音，對話追求的是意義共享、理解和成長．蘇格拉底的教育方式就是對話，并藉由對話的詰問幫助雅典市民發(fā)現(xiàn)真理；布伯認(rèn)為所有真實(shí)的教育皆是對話，教育的核心是師生之間的對話關(guān)系；弗萊雷提倡對話教育，認(rèn)為教育的方法應(yīng)透過對話；哈貝馬斯推崇多樣言說的方式，并指出對話者應(yīng)從不同情境中以反思促成理解；國內(nèi)學(xué)者滕守堯同樣強(qiáng)調(diào)，以平等對話消解形而上學(xué)兩極之間的對立；伽達(dá)默爾更是堅(jiān)決地指出，對話是通向真理之路，詮釋學(xué)必須像真正的對話一樣力求獲得一種共同的語言，并以“你—我”之間的對話關(guān)系為理想模式．從以上代表性人物的綜合論述，可以體認(rèn)到教育過程的對話性和詮釋性．隨著哲學(xué)思維的轉(zhuǎn)變，數(shù)學(xué)教育也越來越注重學(xué)生解決問題的能力和質(zhì)疑的精神，希冀透過辯證和歸納的方式獲得概念的真正理解．從社會(huì)建構(gòu)論的立場來看，教室中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種受社會(huì)、文化脈絡(luò)影響的認(rèn)知活動(dòng)，也是一種由社群所構(gòu)成的社會(huì)、文化現(xiàn)象[1]．?dāng)?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是某一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)共同體，透過對話的歷程，使用共通的數(shù)學(xué)語言，持續(xù)進(jìn)行質(zhì)疑、探究、討論和協(xié)商的活動(dòng)，并不是單一個(gè)體的自我反省和建構(gòu)．因此，當(dāng)深入去分析數(shù)學(xué)教室情境中的學(xué)習(xí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)處處是對話，學(xué)習(xí)是發(fā)生在不同層次與不同對象間的對話關(guān)系．但是，國內(nèi)現(xiàn)有文獻(xiàn)更多地是從方法論或認(rèn)識論的視角來闡釋“數(shù)學(xué)對話”，缺乏對其本體論的解讀．在數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中，人們也常把“對話”局限于一種教育原則或教學(xué)方法，對于對話的深層結(jié)構(gòu)——超越語言行為的種種意涵——卻未給予足夠的重視，使得理論和實(shí)踐中對于“數(shù)學(xué)對話究竟是什么”的追問始終沒有結(jié)束．在這方面，哲學(xué)解釋學(xué)秉承“理解”與“對話”的中心話語，來看待人與物、人與人、人與世界之間的關(guān)系，極大地豐富了教育中對話的內(nèi)涵和應(yīng)用．鑒于此，以解釋學(xué)的視角來分析和把握數(shù)學(xué)教學(xué)中“對話”的含義與特征，對于數(shù)學(xué)教育中的對話教學(xué)、討論式教學(xué)的開展，數(shù)學(xué)探究共同體的實(shí)現(xiàn)以及數(shù)學(xué)課堂文化的新風(fēng)貌將會(huì)產(chǎn)生積極的推動(dòng)作用．

1 數(shù)學(xué)與對話

國內(nèi)已有學(xué)者指出，數(shù)學(xué)具有對話的品質(zhì)，且可以從數(shù)學(xué)哲學(xué)觀、數(shù)學(xué)真理觀、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理等多方面加以認(rèn)識[2]．在此“理解”和“前見”的基礎(chǔ)上，以下著重從數(shù)學(xué)知識的主體維度和數(shù)學(xué)溝通兩個(gè)角度繼續(xù)展開討論．

1.1 從數(shù)學(xué)知識的解釋效力看數(shù)學(xué)的對話性

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)素來給人以理性、精確與簡潔的印象，殊不知在發(fā)展過程中卻常遭數(shù)學(xué)家的信念、謬誤和社會(huì)文化等非邏輯因素的影響．最典型的例子就是非歐幾何的出現(xiàn)．公元前300年古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得完成《幾何原本》，書中一個(gè)被稱為“平行公設(shè)”的基本假設(shè)是：給定一條直線，通過此直線外的任何一點(diǎn)，恰好有一條直線與之平行．這似乎是顯而易見的性質(zhì)，但是，包括高斯在內(nèi)的19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家，后來都不禁質(zhì)疑，為什么恰好有一條直線與之平行？它們會(huì)不會(huì)相交于無窮遠(yuǎn)處？甚至存不存在兩條相異直線都和原直線平行？這些顛覆傳統(tǒng)的想法最后竟然被證明在邏輯上可以同時(shí)成立．?dāng)?shù)學(xué)家關(guān)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識開始發(fā)生根本性的變化．非歐幾何以其對歐氏幾何絕對權(quán)威性和不變性的挑戰(zhàn)，徹底擊破了自古希臘以來關(guān)于數(shù)學(xué)的形而上學(xué)和絕對主義的觀念．歐氏幾何已不再是描繪自然界的唯一幾何學(xué)，數(shù)學(xué)的知識觀逐步開始從與自然科學(xué)密不可分的聯(lián)系中獨(dú)立出來，開始走向更為廣泛的科學(xué)領(lǐng)域．不得不承認(rèn)，如果把科學(xué)活動(dòng)的目標(biāo)僅僅限定為刻畫宇宙圖像這一層面，那么無論是數(shù)學(xué)理論、生物學(xué)理論、天文學(xué)理論還是物理學(xué)理論，都只不過是自然的一個(gè)解釋模型而已．隨著科學(xué)的發(fā)展，這些模型呈現(xiàn)出越來越高的解釋學(xué)效果[3]．進(jìn)一步地，數(shù)學(xué)真理從現(xiàn)代性向超越現(xiàn)代性轉(zhuǎn)向的過程中，超越了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)認(rèn)識論中的真理符合論、單一真理性和柏拉圖主義實(shí)在論觀念，開始強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)真理對自然和其他各種現(xiàn)象的多樣化解釋[4]．?dāng)?shù)學(xué)知識解釋效力凸顯的背后恰恰體現(xiàn)了一種人本的、動(dòng)態(tài)的知識觀，它意味著數(shù)學(xué)不再是絕對的，而具有了相對性．基于哲學(xué)解釋學(xué)的理解觀，視域融合就是一種讀者與文本間的創(chuàng)造性溝通，讀者與作者一起置放意義，共同創(chuàng)造出美的經(jīng)驗(yàn)．?dāng)?shù)學(xué)理解的發(fā)生也就是傳承物與人們接觸時(shí)進(jìn)行的對話，數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)交流、解釋、批駁的過程，新的知識觀賦予了數(shù)學(xué)本身對話的特征．20世紀(jì)60年代，英國數(shù)學(xué)家拉卡托斯在其著作《證明與反駁》中，更是通過師生對話，逐步呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)概念來自于一系列“琢磨”的歷程．拉卡托斯在書中強(qiáng)調(diào)“思想實(shí)驗(yàn)”與“準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)”，以突顯數(shù)學(xué)方法論中“觀察特例、猜想規(guī)律、建構(gòu)反例、修正猜想、提出證明”的精髓，并提出了著名的擬經(jīng)驗(yàn)主義．?dāng)M經(jīng)驗(yàn)理論本身就是一種說明或解釋，建構(gòu)擬經(jīng)驗(yàn)理論的基本原則在于，針對問題尋找具高度解釋力和啟發(fā)力的假說，然后再用最嚴(yán)格的方式加以檢驗(yàn)，視其能否予以反駁．?dāng)M經(jīng)驗(yàn)主義主張，數(shù)學(xué)的發(fā)展是從一些粗略的歸納和猜測開始的，后來逐漸檢視其證明的可靠性，不斷修正而使其成為精致嚴(yán)密的形式化系統(tǒng)，并說服數(shù)學(xué)社群能接受該理論．因此，數(shù)學(xué)正是處理問題時(shí)人與人之間的對話，數(shù)學(xué)并非是在確定的根基上建立起可靠的系統(tǒng)，而是后驗(yàn)的、可修正的和具有創(chuàng)造潛能的．

1.2 從溝通的重要性看數(shù)學(xué)對話

溝通是指將一個(gè)人內(nèi)心的信念、情感和想法表達(dá)出來讓其他人了解的過程．應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)上，則是把理解、觀念、價(jià)值、情感或態(tài)度，從一個(gè)人或一個(gè)團(tuán)體傳達(dá)給其他人的活動(dòng)，且傳達(dá)的訊息與數(shù)學(xué)教育內(nèi)容相關(guān)．1980年和2000年美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM）出版的“中小學(xué)數(shù)學(xué)課程及評量標(biāo)準(zhǔn)”，均將“溝通”視為數(shù)學(xué)教育課程的五大數(shù)學(xué)化過程之一，強(qiáng)調(diào)透過教室中的溝通對話讓學(xué)生自然地運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和符號．因此，數(shù)學(xué)溝通并不是簡單的一來一往的談話，而是在互動(dòng)、溝通的歷程中，師生之間不斷地詮釋彼此的立場、意圖和期望，然后從彼此建構(gòu)的互動(dòng)類型中涌現(xiàn)出討論內(nèi)容的意義來[5]．溝通在互動(dòng)、辯證的過程中扮演的重要角色，知識也經(jīng)由社群成員之間的“對話”轉(zhuǎn)化為分享的、具體的意義．事實(shí)上，每一個(gè)學(xué)生都有其年齡階段的“自我世界”，它決定了學(xué)生“理解視界”的形成．教師在數(shù)學(xué)教室中的角色，不是主導(dǎo)對話、教授課本上的程序知識和標(biāo)準(zhǔn)答案，而是指引學(xué)生擴(kuò)展其“理解視界”和“自我世界”．從教育詮釋學(xué)的觀點(diǎn)來看，將自己置于存有論意義下的歷史傳統(tǒng)中，師生相互溝通、彼此接納，在一種語言的過程才足以生成真正的數(shù)學(xué)對話．在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，學(xué)生遇到的問題以例行性問題居多，對于非例行性問題往往打不開思路，大多數(shù)學(xué)生對于數(shù)學(xué)的理解停留在工具性理解．因此，將學(xué)生在課堂上的理解導(dǎo)引到數(shù)學(xué)內(nèi)容與意義的溝通和對話上來，就顯得尤其重要．解釋學(xué)這種關(guān)于存有、理解與語言的哲學(xué)反思，告訴人們，數(shù)學(xué)對話應(yīng)建基于雙方的理解和溝通，透過問與答的辯證，使學(xué)習(xí)者所獲得的真理具有開放性和問題式的特征．

2 數(shù)學(xué)對話的教育實(shí)踐意涵

古希臘時(shí)期，柏拉圖把思維視作靈魂與自身的對話，將蘇格拉底式的“對話”進(jìn)一步發(fā)展為“辯證”過程，實(shí)現(xiàn)了教育意義上的“心靈轉(zhuǎn)向”．之后的18、19世紀(jì)，二者的關(guān)聯(lián)性一度被教育遺忘，直至馬丁·布伯認(rèn)識到對話超越語言行為的種種意涵，從存有論的角度來審視師生關(guān)系，對話在教育學(xué)中的重要性才重新被召回并加以深化．20世紀(jì)末，伽達(dá)默爾與德里達(dá)之間的著名論爭，也是源于對話內(nèi)部運(yùn)作的深層結(jié)構(gòu)和關(guān)系的重新考量．作為激進(jìn)解釋學(xué)的代表，德里達(dá)并不反對伽達(dá)默爾認(rèn)為對話能夠促進(jìn)思考和理解的主張，但他堅(jiān)持宰制的欲望和收編對方的企圖都潛藏在對話的內(nèi)部．事實(shí)上，“對話”教育意義轉(zhuǎn)變的背后，并非說明師生對話的不可能，實(shí)則更凸顯了課堂上建構(gòu)“真正對話”、“深層對話”的重要性，對于現(xiàn)今課堂文化的新愿景也提供了若干啟迪和思考．解釋學(xué)思想中的對話具有特殊的性格：現(xiàn)前、情境與互為主體性，真正的對話是所有參與者都超越自己起初的立場，達(dá)成一種比當(dāng)初各自分散的觀點(diǎn)更具有區(qū)分度和表達(dá)力的共識．?dāng)?shù)學(xué)教育中的對話或許會(huì)以伽達(dá)默爾的對話觀點(diǎn)作為其合法來源，以視域融合來掩蓋可能造成的共識暴力與對他者的壓制．然而，必須清醒地意識到，沒有主體的走出和自身前見的覺察，所謂的視域融合或溝通的一致性，在真實(shí)教室情境中是難以實(shí)現(xiàn)的．

2.1 數(shù)學(xué)對話深層意涵的覺察和反省

教育中的對話被賦予了溝通的任務(wù)，這是一種共識的熔鑄、理解的一致和歧見雙方的折衷．溝通一致性的達(dá)成，立足于對話雙方以對方觀點(diǎn)進(jìn)一步思考的意愿，唯有跨越數(shù)學(xué)教室政治對話的界限，才能在對話中成就自主的個(gè)體，并創(chuàng)發(fā)權(quán)力和認(rèn)同．?dāng)?shù)學(xué)在19、20世紀(jì)發(fā)展的一個(gè)令人矚目的成就是數(shù)學(xué)理論的多樣性，這種多樣性賦予人對于數(shù)學(xué)概念、公理、方法以相對的選擇自由．許多數(shù)學(xué)定義、問題、方法和公理已不再具備絕對的、必然的意義．較典型的例子如“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”、“選擇公理”、“非直謂定理”、“超限歸納法”等．?dāng)?shù)學(xué)的理論建構(gòu)不僅僅是對其現(xiàn)實(shí)模型的抽象化，也對數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)分析有重要的作用．?dāng)?shù)學(xué)理論建構(gòu)中的相對自由度和主體性因素為數(shù)學(xué)創(chuàng)造留下了充分的空間[4]．?dāng)?shù)學(xué)本質(zhì)的自由性，決定了數(shù)學(xué)對話不是一種簡單的語言行為，更多地是合意的生成與存有的相契．然而在真實(shí)的數(shù)學(xué)教室中，教師往往具有起始跟結(jié)束對話的絕對權(quán)利，學(xué)生與同伴討論、嘗試錯(cuò)誤和探索新知等過程都被隱蔽了，權(quán)威式、封閉式的虛假對話經(jīng)常出現(xiàn)．如果要想改變數(shù)學(xué)教室的言談模式，促進(jìn)師生之間真正對話的生成，首先要提供一個(gè)開放、平等、發(fā)展的參與結(jié)構(gòu)．在這個(gè)參與結(jié)構(gòu)中，師生、生生之間都能自由地交談，然后從中建構(gòu)知識和自我反省[6]．換言之，教師和學(xué)生都具有開啟話題和發(fā)問的權(quán)利，學(xué)生也可以像老師一樣質(zhì)疑、講述和論證．只有允許學(xué)生在不必獲得老師的認(rèn)可或指定的情況下，勇于積極主動(dòng)表達(dá)自身意見，積極促成師生權(quán)利關(guān)系的轉(zhuǎn)化，才會(huì)使學(xué)生進(jìn)入一個(gè)反省和探究的場域，益于社會(huì)數(shù)學(xué)規(guī)范的建立和數(shù)學(xué)課堂文化的營造．

2.2 數(shù)學(xué)對話的主體讓渡

當(dāng)深入分析數(shù)學(xué)教室中的對話關(guān)系，會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對話多半以階段性的任務(wù)出現(xiàn)，在歧義出現(xiàn)或?qū)で蠊沧R的需要時(shí)才得以開展．這種“傾斜式的共識”在教師權(quán)威的數(shù)學(xué)教室經(jīng)常出現(xiàn)，它以一方的意見為主，對話雙方皆固守于自己的堡壘，囿困于自身的前見來空喊對話．這種傾斜式的溝通，并非主動(dòng)思考反應(yīng)的產(chǎn)物，它未覺察到對話主體在對話中是消解的，反而片面強(qiáng)調(diào)對話主體在對話中展現(xiàn)的差異．在欲達(dá)成的一致性理解中，差異的弱勢被加以收編和壓制．2005年，Herbel-Eisenmann就以概念“斜率”為例，指出這種傾斜式對話限定了對話的內(nèi)容，很難讓學(xué)習(xí)者真正去理解數(shù)學(xué)概念[7]．因此，師生雙方需先意識到對話的需求，而后有意愿地針對對話主題進(jìn)行詮釋，逐漸累積形成最后的共識．可以促進(jìn)學(xué)生理解概念的對話模式大致要經(jīng)歷意識、意愿、詮釋、共識4個(gè)階段，通過開放性問題，對話主體方能將主體讓位給對話、成就對話的主體化．對話中也不存在所謂的差異的他者，“我”和“你”都被消解了，這種對話主體的讓渡，使數(shù)學(xué)對話擁有了自己的主體和精神，促成了數(shù)學(xué)對話的主體化．

2.3 數(shù)學(xué)對話意義的多元性

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育觀念認(rèn)為，必須準(zhǔn)確地傳達(dá)數(shù)學(xué)概念和知識給學(xué)生，教室言談模式往往難以突破線性的“IRE（啟動(dòng)—回答—評估）”結(jié)構(gòu)．在這種封閉的教室言談模式下，教師更多關(guān)注的是答案的正確與否，導(dǎo)致學(xué)習(xí)者難以從中產(chǎn)生學(xué)習(xí)的意義．在“三部曲式”的對話結(jié)構(gòu)中，知識被認(rèn)為是不容置疑的，學(xué)生缺乏科學(xué)語言的使用，他們僅僅是知識的被動(dòng)接受者．事實(shí)上，對話并不是做決定或選擇，除了最基本的溝通功能外，對話的目的還在于探求決定背后的本質(zhì)與內(nèi)涵，追求新的洞見和思考，使人產(chǎn)生內(nèi)在的覺知與更新．詮釋學(xué)依之為方法范本的對話，是“一種真正歷史的生命的關(guān)系”，是人們與生活中的流傳物的根本關(guān)系，這種流傳物并不僅限于文本文字．文本的意義承載有其自身的厚度，數(shù)學(xué)文本的意義在與其它文本相聯(lián)結(jié)的意義鏈條中呈現(xiàn)出新生命的創(chuàng)造力．?dāng)?shù)學(xué)教科書并不是唯一的、一成不變的知識集合，它是貼近社會(huì)文化生活的多元的鮮活文本，與學(xué)生的日常生活經(jīng)驗(yàn)密不可分．更重要的是，在歷史演化過程中，數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)出不同的風(fēng)貌．?dāng)?shù)學(xué)的這種本質(zhì)，卻不容易在正規(guī)的教學(xué)環(huán)境中得以表現(xiàn)．舉例來看，2002年Keith Weber提出了4種證明的類型：（1）用以說服的證明；（2）用以說明的證明；（3）用以核定定義或公設(shè)結(jié)構(gòu)的證明；（4）用以解釋技巧的證明[8]．就Heine-Borel定理“每一個(gè)閉區(qū)間是緊致集”的證明來說，Weber認(rèn)為一般的證明都很難對此定理的真實(shí)性，提供一個(gè)直觀的理解．即，這個(gè)典型的證明可以“說服”，但無法“說明”．“中值定理”的常規(guī)證明卻能夠“說明”，卻無法“說服”．而“質(zhì)數(shù)是無窮多個(gè)”的歐氏證明，卻兼具了“說服”、“說明”和“解釋”3個(gè)特質(zhì)．激進(jìn)解釋學(xué)者德里達(dá)曾指出，一個(gè)概念、一個(gè)學(xué)科的疆域，經(jīng)常是在它們所處的特定脈絡(luò)中才言之有理，脈絡(luò)非但不中立，而且正是在“脈絡(luò)與概念混合之中”才出現(xiàn)意義；而不是將脈絡(luò)指明之后，就得以取消、解釋掉概念本身的模糊性．從上面可以看出，證明的不同目的是由運(yùn)用的脈絡(luò)來決定的．Weber表示有些證明對于大學(xué)生來說，目的在于說服，但對于研究生來說，則不過是解釋性的一種證明技巧，至于數(shù)學(xué)家而言，可能只是說明了某一定理的正確性而已．因此，所謂“脈絡(luò)”并非以“脈絡(luò)為因果關(guān)系中的解釋因子”，而是要將概念置入實(shí)際場景中去看待．外部世界本不應(yīng)淪為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的附屬品，對于數(shù)學(xué)教材權(quán)威地位的解構(gòu)，提醒我們對于附屬在數(shù)學(xué)概念上的絕對真值要加以“重新安置”．在對話中，數(shù)學(xué)知識的“說明”、“說服”和“解釋”功能尤其加以彰顯．聯(lián)結(jié)多重文本類型，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)概念，去除數(shù)學(xué)對話同一真理的迷思，應(yīng)該是數(shù)學(xué)教育工作者不能忽視的教育目標(biāo)．

2.4 數(shù)學(xué)對話本質(zhì)的無止盡性

對話不只是講話和文字，對話的重要性在于其制造出真實(shí)．教育現(xiàn)實(shí)中的對話，時(shí)時(shí)披著所謂“善良意志”的外衣，多是短暫的、目的性的，并未認(rèn)識到對話本質(zhì)的無止盡性．不論是哲學(xué)解釋學(xué)“為雙方視域融合的達(dá)成而從事無止盡的對話”，還是激進(jìn)解釋學(xué)“為了意義無止盡的播散而讓對話無休無止”，都充分肯認(rèn)了這一點(diǎn)．課堂教學(xué)中對話的可能性與持續(xù)性，依賴于對原本“只有老師具有開啟和結(jié)束對話權(quán)力”事實(shí)的顛覆，受到學(xué)習(xí)者參與教室對話的不同程度、因運(yùn)用知識而得到的樂趣與成就、內(nèi)在宰制欲望的抑制等諸多因素的影響．當(dāng)老師授予學(xué)生站在臺上的發(fā)言權(quán)，學(xué)生就在某種程度上實(shí)現(xiàn)了與教師位置的互換．原本只能由老師啟動(dòng)或終止對話，以及指定說話者或說話內(nèi)容的決定權(quán)，就落在了學(xué)生手上．他們調(diào)整自己的角色，成為“機(jī)動(dòng)的權(quán)威者”．?dāng)?shù)學(xué)對話需要引發(fā)學(xué)生掙脫“老師講—學(xué)生聽”的桎梏，讓他們自由地抒發(fā)自己的觀點(diǎn)主張；但教師又不能不合宜地行使或放棄權(quán)力——以教師權(quán)威從上而下的強(qiáng)行灌輸學(xué)生，或一味地放任學(xué)生．巴西教育家弗萊雷以“創(chuàng)造性的嚴(yán)謹(jǐn)”建議須在朝向?qū)W習(xí)的目標(biāo)下，理解老師權(quán)威跟學(xué)生自主的界限何在．國外學(xué)者Resnick也主張教師可以善用“復(fù)述”、“回應(yīng)”、“挑戰(zhàn)”和“追問”等技巧澄清數(shù)學(xué)概念，以達(dá)到師生溝通、持續(xù)對話的目的．“復(fù)述”指將學(xué)生的話有重點(diǎn)地再講一次，具有接納學(xué)生所講內(nèi)容的功能，可以提高學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容的興趣，適度地引起其他人的注意，共同思考教學(xué)內(nèi)容．“回應(yīng)”是指修正、改述學(xué)習(xí)者的說明內(nèi)容或進(jìn)一步地發(fā)展出數(shù)學(xué)用語，一方面有助于跳出原來的學(xué)習(xí)架構(gòu)，另一方面將其觀點(diǎn)進(jìn)行傳播，給予更多學(xué)生學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)．“挑戰(zhàn)”則指當(dāng)學(xué)生的說明內(nèi)容有必要進(jìn)一步澄清說明時(shí)，對學(xué)習(xí)者進(jìn)一步質(zhì)疑而讓學(xué)習(xí)者提出解釋的一種策略．“追問”是指針對學(xué)生觀點(diǎn)看法需要擴(kuò)展、深入和提升的部分，提出質(zhì)疑以引發(fā)學(xué)生深層認(rèn)知沖突，從暫時(shí)的失衡走向進(jìn)一步的思考．至此，可以說，只有將數(shù)學(xué)知識置放在歷史與社會(huì)過程中，以一種不斷來回的、整合型的詮釋過程，不斷地進(jìn)行意義的理解和探究，才能實(shí)現(xiàn)新意義的生成和持續(xù)對話的開展．

3 數(shù)學(xué)對話的基本特征

日本教育學(xué)者佐藤學(xué)在《學(xué)習(xí)的快樂——走向?qū)υ挕芬粫蓄Ｖ堑刂赋觯鹤匪輰W(xué)習(xí)之思想的淵源有兩項(xiàng)重要的傳統(tǒng)：“修煉”的傳統(tǒng)與“對話”的傳統(tǒng)，這兩者皆與教育場域中的實(shí)踐智慧有密切關(guān)聯(lián)[9]．?dāng)?shù)學(xué)課堂上的對話對于學(xué)生的學(xué)習(xí)非常重要，不過好的“數(shù)學(xué)對話”環(huán)境并不多見．在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂上，教師往往享有一種語言霸權(quán)，通過權(quán)利將真理傳遞給學(xué)生．這種權(quán)利和真理的結(jié)合，剝奪了學(xué)生與教師進(jìn)行數(shù)學(xué)對話的機(jī)會(huì)，師生關(guān)系呈現(xiàn)出“我—他”的不平等，數(shù)學(xué)課堂文化幾近成為一種沉默的文化．近年來為改變這種教育境遇，對話教學(xué)、小組討論的實(shí)施已逐步成為數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究的熱點(diǎn)，旨在通過豐富的數(shù)學(xué)對話營造一種高階思考的教與學(xué)的課堂環(huán)境．當(dāng)前的數(shù)學(xué)課程與教學(xué)改革，主要倡導(dǎo)文本解釋意義上的對話和教學(xué)意義上的對話兩個(gè)層次．學(xué)者M(jìn)ary P. Truxaw和Thomas C DeFranco將數(shù)學(xué)課堂上的對話分為演繹的、歸納的和混合的3種類型．Chris Kyriacou和John Issitt發(fā)現(xiàn)促進(jìn)學(xué)生概念理解的有效數(shù)學(xué)對話具有8個(gè)關(guān)鍵特征．?dāng)?shù)學(xué)教育家Anna Sfard也依據(jù)家族相似性和外在可直接觀察到的特征，建構(gòu)出檢驗(yàn)數(shù)學(xué)對話有效性的4個(gè)維度．在這些理論和成果的基礎(chǔ)之上，哲學(xué)解釋學(xué)卻開啟了數(shù)學(xué)對話研究領(lǐng)域的另一扇窗．從“數(shù)學(xué)對話”深層意涵的覺察和反省中，更清醒地認(rèn)識到，看上去熱鬧的問答并不總是對話，數(shù)學(xué)對話的有效性應(yīng)當(dāng)有一個(gè)兼具深度和廣度的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)．?dāng)?shù)學(xué)對話除了具有目的性、建構(gòu)性、互動(dòng)性、溝通性、語言性、層次性、開放性、生成性和前后繼起性等基本特點(diǎn)外，數(shù)學(xué)對話還有自己特殊的價(jià)值與意義．?dāng)?shù)學(xué)對話是學(xué)生、文本與教師之間達(dá)成多重“視域融合”的理解性事件，語言融合是視域融合的外在顯現(xiàn)，視域融合應(yīng)該成為檢驗(yàn)數(shù)學(xué)對話有效性的重要維度．

3.1 以視域融合達(dá)成數(shù)學(xué)意義理解的內(nèi)在一致性

視域融合的本質(zhì)就是理解，達(dá)成視域融合的數(shù)學(xué)對話本身就是一種理解行為．換言之，理解過程本身就是理解者與文本雙方尋找與創(chuàng)造共同語言的過程．理解本質(zhì)上具有對話的結(jié)構(gòu)，理解者與文本通過語言進(jìn)行對話，透過對話二者實(shí)現(xiàn)視域的交融．學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)“具有理解的學(xué)”、教學(xué)應(yīng)“為理解而教”已經(jīng)成為世界數(shù)學(xué)教育者的共識，而理解往往又是通過對話來實(shí)現(xiàn)的，差異是數(shù)學(xué)對話的起點(diǎn)，對話是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的途徑．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是熟記一成不變的公式和定理，而是透過數(shù)學(xué)對話修正其原先的錯(cuò)誤概念和認(rèn)知偏差，去建構(gòu)數(shù)學(xué)的意義，增進(jìn)數(shù)學(xué)的理解．在數(shù)學(xué)對話中，學(xué)生聆聽并質(zhì)疑教師或他人、使用工具推理連結(jié)解決問題、大膽猜想并呈現(xiàn)解決方法、探究例證與范例并檢驗(yàn)猜想是否合理．教師的角色不是告知與描述，而是傾聽、提問、探測學(xué)生理解的協(xié)助者．在開放、多元與包容的情境下，數(shù)學(xué)教師應(yīng)合理接納學(xué)生發(fā)表的主題以豐富對話的內(nèi)容，積極促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)對話與小組討論活動(dòng)的進(jìn)行，以無止盡的對話溝通促成融通，以視域融合達(dá)成數(shù)學(xué)意義的內(nèi)在一致．

3.2 數(shù)學(xué)對話主體具有互為主體性之特性

從視域融合的脈絡(luò)來看，數(shù)學(xué)對話主體所具有的互為主體性在于說明，視域融合的過程中凸顯出的，雙方主體性的一種開放展現(xiàn)和一種主體性失去．?dāng)?shù)學(xué)對話不是你來我往的爭辯或固守前見的獨(dú)白，而是雙方互動(dòng)式的交往對談，除了需要有二者不同立場的“在場”外，更要求數(shù)學(xué)對話雙方敞開自己的視域與疆界，獲取不同觀看問題的角度與對數(shù)學(xué)世界的共同解釋．鑒于社會(huì)互動(dòng)在數(shù)學(xué)課堂上的重要性，師生必須致力于共同營造一個(gè)對話的學(xué)習(xí)環(huán)境．在數(shù)學(xué)課堂對話文化中，教師應(yīng)適當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生持續(xù)將焦點(diǎn)放在對話的主題上，其中示范辯證法、否定思維法等具體操作，常被視為一種積極的介入方式．舉例來看，當(dāng)小組解題發(fā)生困難時(shí)，教師可以通過關(guān)鍵性的數(shù)學(xué)問話，引導(dǎo)思考的方向．譬如可以試著從旁提醒：“只有這一種方法嗎？再想想看，哪種方法更合理？”、“畫出圖形是不是有幫助？”、“以前我們見到過類似的問題嗎？”當(dāng)學(xué)生習(xí)慣性地從正向解題路徑找尋結(jié)果時(shí)，也可以利用詢問的方式，促使他們回顧過程，探究問題出現(xiàn)的根源．因此，數(shù)學(xué)對話的主體不是彼或此，你或我，而是一種朝著視域融合意義上不斷的消融與匯合，在主體不斷的返回與出走中，成就了一種你我互為主體的共同性主體——“我們”．

3.3 數(shù)學(xué)課堂對話秩序與規(guī)范建立的反省性

對話的主張?jiān)谟谙＜教钇街黧w與他者之間的隔閡，透過對話形成一種自律的規(guī)則往返與規(guī)范，在對話的過程中交出自身的主體性，進(jìn)而建立教育實(shí)踐中適用性的行為規(guī)范并造就出視域的融合與真正的對話．?dāng)?shù)學(xué)對話具有不同的形式和多元的參與結(jié)構(gòu)，要發(fā)揮數(shù)學(xué)對話教學(xué)的實(shí)質(zhì)功能，使其形式與參與結(jié)構(gòu)不流于表象，對話秩序與規(guī)范的建立十分關(guān)鍵．良好的社會(huì)規(guī)范與社會(huì)數(shù)學(xué)規(guī)范的建立和養(yǎng)成，有助于形成解釋、分析、質(zhì)疑的教室對話文化．社會(huì)規(guī)范是對教室里，期待學(xué)生做出適當(dāng)表現(xiàn)的行為與信念．社會(huì)規(guī)范包含了學(xué)生提出自己的想法，積極發(fā)言、參與對話，相互解釋、辯證，以及選取適合的解題方法等．在對話的過程中，彼此相互溝通協(xié)商，試圖與他人達(dá)成共識并解釋結(jié)果．當(dāng)結(jié)果呈現(xiàn)時(shí)，個(gè)人需要試著去賦予他人的解釋以意義，指出同意或不同意的理由，并在各種不同解答產(chǎn)生明顯沖突時(shí)提出相關(guān)的問題．社會(huì)數(shù)學(xué)規(guī)范則指教室中對數(shù)學(xué)進(jìn)行各種活動(dòng)的規(guī)范．它可以讓學(xué)習(xí)者進(jìn)行有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，增加質(zhì)疑、辯證、澄清和發(fā)展數(shù)學(xué)概念的機(jī)會(huì)，提升數(shù)學(xué)對話的品質(zhì)．在維持?jǐn)?shù)學(xué)教育實(shí)踐中行為規(guī)范的同時(shí)，必須肯認(rèn)到自由被預(yù)設(shè)在規(guī)范當(dāng)中，差異的他者應(yīng)該得到允許．只有打破主客二分的對立，統(tǒng)一與差異的界限，才能通過數(shù)學(xué)對話的視域融合達(dá)致真正意義的統(tǒng)一．

3.4 數(shù)學(xué)對話的進(jìn)行具有脈絡(luò)情境的特性

數(shù)學(xué)對話的雙方在脈絡(luò)情境中，相互接近并逐步產(chǎn)生一種不可分離的共同性，保證了數(shù)學(xué)意義的確定和雙方理解的一致．傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)問題較多以低認(rèn)知需求的問題呈現(xiàn)，實(shí)施的焦點(diǎn)在于計(jì)算的熟練，實(shí)施方式大部分也難逃封閉式對話的窠臼．事實(shí)上，教師教學(xué)時(shí)采用的數(shù)學(xué)問題，不但直接影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式和結(jié)果，同時(shí)也會(huì)影響學(xué)生對于數(shù)學(xué)本質(zhì)和學(xué)習(xí)的觀點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)對話教學(xué)，要以學(xué)生有意義的事物為起點(diǎn)，發(fā)展一個(gè)以理解、解釋和相互協(xié)助為導(dǎo)向的情境式數(shù)學(xué)對話．?dāng)?shù)學(xué)對話的情境脈絡(luò)與對話者的共同對話，在二者的一致理解與共識中讓數(shù)學(xué)真理得以顯現(xiàn)．在這種不同視域的相遇中，不同的觀點(diǎn)與視域意識到自身的盲目性，在視域融合的理解一致性中確保了意義的正確與完整．為了誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)對話，教師在選題上，應(yīng)設(shè)計(jì)較為開放式的問題，使得問題可以被延伸探討，且在學(xué)生完成問題之后，仍能被要求給出更延伸的答案或解釋．?dāng)?shù)學(xué)對話的情境性讓對話雙方彼此開放，一起為共同理解的視域融合而努力，在共同一致性中揭現(xiàn)出自身的存有與真理．更進(jìn)一步地，并不能讓學(xué)生持續(xù)停留在解決實(shí)際情境問題的階段，適時(shí)、及時(shí)地提供形式化的問題，使其提升到形式的層次也至關(guān)重要．

[1] Wood T, Cobb P, Yackel E. Reflections on Learning and Teaching Mathematics in Elementary School [A]. In: Steffe L P, Gale J.[C]. Hillsdale, NJ: Lawrence Erbaum Associates, 1995.

[2] 胡典順．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)走向?qū)υ抂J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008，17（3）：11-13．

[3] 黃秦安．從數(shù)學(xué)知識范式的轉(zhuǎn)換看科學(xué)主義與人文主義的融合[J]．陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版），2006，（3）：50-52．

[4] 黃秦安．?dāng)?shù)學(xué)哲學(xué)新論[M]．北京：商務(wù)印書館，2014．

[5] Cobb P. Multiple Perspectives [A]. In: Steffe L P, Wood T.[C]. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, 1990.

[6] Bruning R, Schraw G, Ronning R.[M]. New Jersy: Englewood cliffs, 1995.

[7] Herbel-Eisenmann B A, Breyfogle M L. Questioning Our Patterns of Questioning [J]., 2005, 10(9): 484-489.

[8] Weber, Keith. Beyond Proving and Explaining: Proofs That Justify the Use of Definitions and Axiomatic Structures and Proofs That Illustrate Technique [J]., 2002, 22(3): 14-17.

[9] 佐藤學(xué)．學(xué)習(xí)的快樂——走向?qū)υ抂M]．鐘啟泉譯．北京：教育科學(xué)出版社，2004．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Connotation and Characteristics of Mathematical Dialogue in Hermeneutics

SHAN Yan-yan1, 2, HUANG Qin-an1

(1. School of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Shaanxi Xi’an 710119, China;2. College of science, Inner Mongolia University of Technology, Inner Mongolia Hohhot 010051, China)

Mathematics had the quality of “dialogue”. The awareness and reflection of the deep meaning of “mathematics dialogue” made us realize that the real mathematical dialogue had a unique character of dialogue subjectivity, multi-meaning and non-exhaustive nature. The real understanding was a process of dialogue that was close to the cycle of interpretation. In the course of the fusion of horizons, we could constantly modify the original meaning and sight content. In the context of present knowledge society, the introspection of the “hermeneutic” position behind the “mathematical dialogue” aimed to promote students’ rooting in the social and cultural knowledge and ideas through open and inclusive practical wisdom. Mathematical dialogue was an understanding event among students, texts and teachers to reach multiple fusions of horizons. Fusion of horizons should come to be an important dimension of checking validity of mathematical dialogue.

mathematical dialogue; hermeneutics; communication; understanding; fusion of horizons

GO1-0

A

1004–9894（2017）03–0098–05

2017–01–12

西安市2015年基礎(chǔ)教育研究重大課題——基于提升教育質(zhì)量的課堂教學(xué)建模研究（2015ZB-ZD02）；內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)校級教改重點(diǎn)項(xiàng)目——數(shù)理類基礎(chǔ)課程群教學(xué)軟平臺建設(shè)（201510）

單妍炎（1983—），女，河南安陽人，內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)講師，陜西師范大學(xué)博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)文化研究．