曾志堅(jiān)

【摘 要】思維能力的形成有利于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中積極地觀察、思考、練習(xí)和動(dòng)腦。教師要善于通過解題來引導(dǎo)和點(diǎn)撥學(xué)生，使學(xué)生可以得到智力的發(fā)展和思維能力的提升。本文主要探究了教師如何通過數(shù)學(xué)解題來幫助學(xué)生形成思維能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；解題；思維能力

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出教師要注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。這就要求學(xué)生在思考和解決數(shù)學(xué)問題過程中需要觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括，不斷地經(jīng)歷直觀感知、反思來構(gòu)建思維過程。學(xué)生思維能力的提高需要學(xué)生參與到問題解決過程中，活躍思維，主動(dòng)判斷，在思考中從感性認(rèn)識(shí)逐步地上升為理性認(rèn)識(shí)，理解數(shù)學(xué)試題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模式和思想，逐步地提高思維能力。

一、透析試題要求，形成全面思維能力

教師在帶領(lǐng)學(xué)生解題過程中要引導(dǎo)學(xué)生全面地分析問題，使學(xué)生可以把和題目相關(guān)的各個(gè)問題和知識(shí)點(diǎn)都考慮在內(nèi)，形成全面地理解和系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。學(xué)生解決問題不能單一地考慮一道題，而是要把和題目相關(guān)的一類試題的解法都要考慮在內(nèi)，了解解決問題的通性通法，提高自己的全面思維能力。學(xué)生閱讀得越仔細(xì)、認(rèn)真就越能夠全面地了解試題的要求，進(jìn)而分析出試題考查的內(nèi)容和要點(diǎn)信息，在思考中拓展自己的思維，形成全面的思維模式，養(yǎng)成良好的全面思維習(xí)慣。例如試題：已知tanα=7，求的值。學(xué)生在思考中要想到可以將分子和分母同時(shí)除以cosα，則分子和分母中都只含有tanα，再代入tanα=7就可以解決問題了。思考中，學(xué)生要全面地考慮問題，能夠做到由此及彼、舉一反三。同時(shí)，學(xué)生要進(jìn)一步思考，已知tanα=m，求關(guān)于sinα，cosα的齊次式的值的問題時(shí)，首先需要注意一定是關(guān)于sinα，cosα的齊次式的三角函數(shù)式；其次，解決此類問題的策略是先簡(jiǎn)化再求值；因?yàn)閏osα≠0，所以可用cosnα（n∈N）去除原式分子、分母的各項(xiàng)，這樣可以將原式化為關(guān)于tanα的表達(dá)式，再將tanα的值代入，從而求值。學(xué)生全面地考慮問題后，思維活躍，思路清晰，再次面對(duì)這類試題后就可以輕松應(yīng)對(duì)，展現(xiàn)出超凡的思維能力。教師要鼓勵(lì)學(xué)生多思考，多角度全方位地探究問題，使學(xué)生的思維可以發(fā)散，進(jìn)而養(yǎng)成全面思維的好習(xí)慣。

二、想出不同方法，形成創(chuàng)新思維能力

“創(chuàng)新是一個(gè)民族不斷進(jìn)步和前進(jìn)的動(dòng)力”，在高中數(shù)學(xué)解題過程中，學(xué)生也要不斷地創(chuàng)新，采用新的方法和新的策略來分析問題，達(dá)到創(chuàng)新性地解決問題。學(xué)生創(chuàng)新的過程就是思維異?；钴S的過程，探究過程中，學(xué)生處于一種積極主動(dòng)狀態(tài)，每一個(gè)思維細(xì)胞和神經(jīng)都會(huì)處于高度緊張狀態(tài)，有利于學(xué)生想出新的方法和策略來解決問題，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力。學(xué)生的創(chuàng)新是能力的體現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)都掌握了，對(duì)于數(shù)學(xué)理論可以靈活地應(yīng)用了才能夠擺脫原有的思維模式的束縛和限制，大膽地進(jìn)行創(chuàng)新思維，按照自己的想法和思路進(jìn)行探究和分析，實(shí)現(xiàn)解題方法的創(chuàng)新和能力的提高。例如學(xué)生在解決試題：直線y=x-1被拋物線y2=4x截得的線段中點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？這時(shí)，教師就可以鼓勵(lì)學(xué)生采用創(chuàng)新性思維去思考和探究。解決問題時(shí)，學(xué)生可以設(shè)直線y=x-1與拋物線y2=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2），其中點(diǎn)P（x0，y0），通過聯(lián)立方程組y=x-1

y2=4x得（x-1）2=4x，即x2-6x+1=0，x0==3，y0=x0-1=2，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為P（3，2）。這是一種解決問題的方法，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新思維，采用多種方式來解決問題，形成新的思路和新的方法。通過一題多解或者是一題多問的方式，學(xué)生的思維會(huì)變得多樣，具有一定的創(chuàng)新性，可以從多角度和多視角來分析和解決問題。在本題的思考過程中，學(xué)生還可以采用其他方法來解決，如：y22=4x2，y12=4x1，所以y22-y12=4x2-4x1，所以=4，得到y(tǒng)1+y2=4，即y0=2，x0=y0+1=3，故所求中點(diǎn)為P（3，2）。不同的解題方式使學(xué)生有了創(chuàng)新的意識(shí)和思維，有利于學(xué)生思維的創(chuàng)新。不同的解題方法，達(dá)到了相同的目的，都順利地實(shí)現(xiàn)了解題，但是學(xué)生的思維卻變得更加開闊，在解題過程中表現(xiàn)出了積極活躍和主動(dòng)參與，豐富了學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，提高了學(xué)生的能力，有利于學(xué)生創(chuàng)新思維的形成。

三、根據(jù)線索推理，形成邏輯思維能力

在解題過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯思維和推理判斷。學(xué)生學(xué)會(huì)了邏輯思考就可以按照解題步驟一步步地進(jìn)行思考和分析，達(dá)到順利地解決問題。學(xué)生的邏輯思考會(huì)使學(xué)生認(rèn)真、細(xì)致地分析問題，逐步地培養(yǎng)他們思維的嚴(yán)密性和縝密性，面對(duì)任何問題都可以按照一定的順序和思路來探究，進(jìn)而達(dá)到解決問題，實(shí)現(xiàn)邏輯思維能力的提高。為了提高學(xué)生的邏輯思維能力，教師要注重引導(dǎo)，使學(xué)生可以學(xué)會(huì)推理，進(jìn)行辯證性思維，找到解決問題的方法和途徑。例如教師給出試題：已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}，它們的前n項(xiàng)和分別記為Sn，Tn，若=，求。在思考中學(xué)生很容易寫成===，這種思路錯(cuò)誤的原因就是學(xué)生錯(cuò)誤地理解為=，而實(shí)際上并不是這樣的。學(xué)生需要積極地進(jìn)行邏輯思考，在思考中做出推理判斷和合理分析。邏輯推理中學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到兩個(gè)等差數(shù)列第n項(xiàng)的比等于它們前2n-1項(xiàng)和的比，不等于它們前n項(xiàng)和的比。所以，在本題中=。學(xué)生通過認(rèn)真地思考和分析后會(huì)形成正確的思路，進(jìn)而找到解決問題的線索和方向，在思路的引導(dǎo)下積極推理和判斷，提高邏輯思維能力。

四、結(jié)合類似試題，形成發(fā)散思維能力

學(xué)生的思維有時(shí)會(huì)受到某一種思路或者是某一種方法的限制，面對(duì)其他問題的時(shí)候就不知所措。教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維，當(dāng)面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)可以向著知識(shí)的深度和廣度來進(jìn)行拓展，把思維向著縱深的方向來拓展，打開思路，擴(kuò)大自己的思維空間和想象空間，從而從多角度來解決問題。例如教師提供試題試題：函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變化得函數(shù)y=sin（2x-）的圖象？在解決問題時(shí)，學(xué)生首先要運(yùn)用自己的思維，去想一想由函數(shù)y=sinx的圖象變換成y=Asin（ωx+φ）（ω>0）的圖象的通用方法。在思考中學(xué)生的思維不要局限在某一種方法上，而是要進(jìn)行發(fā)散思維，向著更廣闊的空間進(jìn)行蔓延和拓展，做到開闊視野，全面化自己的認(rèn)識(shí)。學(xué)生在發(fā)散思維中會(huì)想到可以通過先平移后伸縮的方式來變化。先將y=sinx的圖象向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|個(gè)單位長度，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得y=Asin（ωx+φ）的圖象。除了這種方法外，學(xué)生還可以向伸縮，后平移。也就是先將y=sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮賹⒌玫降膱D象向左（φ>0）或向右（φ<0）平移個(gè)單位長度，便得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的圖象。通過這樣的發(fā)散思維過程，學(xué)生就找到了解決問題的方法，促進(jìn)了學(xué)生思維能力的提高。教師在教學(xué)中要善于把具有相似性特點(diǎn)的試題拿過來指導(dǎo)學(xué)生去分析比較，引導(dǎo)學(xué)生通過比較分析的方式來完善自己的認(rèn)識(shí)，清楚這些試題的相同處和不同處，進(jìn)而形成清楚地認(rèn)識(shí)和深刻的理解。在對(duì)比中學(xué)生的思維是發(fā)散的，他們不會(huì)局限在某一道試題或者是某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)上，有利于學(xué)生進(jìn)行想象和聯(lián)想，進(jìn)而提高自己的發(fā)散思維能力。

五、總結(jié)解題規(guī)律，形成歸納思維能力

學(xué)生在解題過程中，教師更要注重方法的講解和技巧的引導(dǎo)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行“授之以漁”的教學(xué)，使學(xué)生可以由此及彼，通過一道題掌握一類題的解法和分析思路，從而促進(jìn)學(xué)生積極地進(jìn)行邏輯思考和推理判斷，做到舉一反三。任何數(shù)學(xué)試題的解答都是有一定規(guī)律的，例如求橢圓方程時(shí)，常用待定系數(shù)法，但首先要判斷是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷的依據(jù)是：中心是否在原點(diǎn)；對(duì)稱軸是否為坐標(biāo)軸。還要注意橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍，特別是把橢圓上某一個(gè)坐標(biāo)視為某一函數(shù)問題求解時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值時(shí)有重要意義。當(dāng)學(xué)生掌握了這些規(guī)律，在解題過程中就可以積極地進(jìn)行邏輯分析和推理判斷，從而在解題的時(shí)候就會(huì)得心應(yīng)手、游刃有余了。學(xué)生在解題過程中通過不斷地總結(jié)解題規(guī)律會(huì)養(yǎng)成良好的總結(jié)歸納習(xí)慣，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的歸納思維能力，促進(jìn)學(xué)生良好思維習(xí)慣的形成。

總之，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)要有一定的思維能力去猜測(cè)、想象和假設(shè)，通過已知的條件解決數(shù)學(xué)問題，學(xué)會(huì)推理判斷和演繹遷移。學(xué)生要運(yùn)用自己多方面的思維在思考中總結(jié)歸納，形成自己的解決問題的方法。當(dāng)學(xué)生的思維可以全面地思考，創(chuàng)新性地解決問題，進(jìn)行邏輯思考和發(fā)散，學(xué)生的思維能力會(huì)大大提高。

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