蒲汲君，熊 鷹，趙核毓

(1. 海軍工程大學(xué) 船舶與動(dòng)力學(xué)院，湖北 武漢 430033；2. 海軍裝備部駐上海滬東中華造船(集團(tuán))有限公司軍事代表室，上海 200000)

三維水翼片空泡尺度效應(yīng)研究

蒲汲君1，熊 鷹1，趙核毓2

(1. 海軍工程大學(xué) 船舶與動(dòng)力學(xué)院，湖北 武漢 430033；2. 海軍裝備部駐上海滬東中華造船(集團(tuán))有限公司軍事代表室，上海 200000)

針對(duì)三維水翼的片空泡尺度效應(yīng)問題，建立 LES 湍流模型對(duì)三維水翼的片空泡生成情況進(jìn)行計(jì)算研究。模擬了片空泡在一個(gè)周期內(nèi)的生成和脫落過程，空泡計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)做了詳細(xì)對(duì)比，發(fā)現(xiàn) LES 湍流模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，能較為完整的顯示片空泡的脫落過程。研究了來(lái)流速度和模型尺度的變化對(duì)片空泡產(chǎn)生的影響，發(fā)現(xiàn)速度對(duì)初始片空泡數(shù)基本無(wú)影響，而模型尺度對(duì)片空泡的形成和發(fā)展有影響，但該影響并不大。在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了新的初始片空泡數(shù)的尺度效應(yīng)公式。

三維水翼；片空泡；尺度效應(yīng)

0 引 言

空泡（亦稱空化）是一種由于液體局部壓力低于汽化壓力而產(chǎn)生的液體汽化現(xiàn)象，它包括氣穴（或者是氣泡）的形成和潰滅[1]?？张菀话惝a(chǎn)生于螺旋槳、水翼和舵上，造成較為嚴(yán)重的水動(dòng)力損失、噪聲、剝蝕和振動(dòng)等結(jié)果[2–3]。因此，研究空泡現(xiàn)象對(duì)于水動(dòng)力研究至關(guān)重要。

片空泡作為一種主要的空泡形式，對(duì)升力的損失有著重要影響。同時(shí)，片空泡周期性的脫落還導(dǎo)致了流動(dòng)的不穩(wěn)定性，片空泡的潰滅也造成了振動(dòng)和噪聲等現(xiàn)象[4]。盡管試驗(yàn)觀測(cè)在空泡的研究中依然有著不可取代的作用，但隨著計(jì)算能力的飛躍式進(jìn)步，通過數(shù)值計(jì)算的方式研究空泡現(xiàn)象得到越來(lái)越多人的認(rèn)可。數(shù)值計(jì)算能提供試驗(yàn)難以測(cè)量的流場(chǎng)細(xì)節(jié)，方便學(xué)者進(jìn)行深入研究。無(wú)論是試驗(yàn)觀測(cè)還是數(shù)值模擬，尺度效應(yīng)都是不可避免的問題。對(duì)實(shí)尺度的初始空泡數(shù)進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí)，一般會(huì)先測(cè)量計(jì)算出尺寸較小模型的初始空泡數(shù)，再利用尺度效應(yīng)公式推導(dǎo)出實(shí)尺度的初始空泡數(shù)。試驗(yàn)中模型尺度的雷諾數(shù)遠(yuǎn)小于實(shí)尺度，在模型尺度與實(shí)尺度的尺度換算中，尺度效應(yīng)的影響不可忽略。

本文以翼剖面為 NACA0009 翼型的扭曲水翼為研究對(duì)象，通過建立在 LES 湍流模型上的 Zwart et al 空泡模型計(jì)算一定空泡數(shù)下的流動(dòng)狀態(tài)，并與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比。在此基礎(chǔ)上，分別計(jì)算出不同尺寸和速度下的初始空泡數(shù)，分析速度和尺寸變化對(duì)片初始空泡數(shù)的影響，回歸出相應(yīng)的函數(shù)曲線，提出新的片空泡尺度效應(yīng)公式。

1 數(shù)值方法

1.1 LES 湍流模型

湍流流動(dòng)中包含著各種尺度的湍流結(jié)構(gòu)，大尺度渦主要指尺寸大于平均流動(dòng)（注：剪切層厚度）的湍流結(jié)構(gòu)。與大尺度渦相比，小尺度渦主要起著耗散湍流能量的作用?；谠摶粳F(xiàn)象，LES 使用直接數(shù)值求解的方法計(jì)算大尺度渦，建立模型求解小尺度渦。模型中分離大小尺度渦的分界尺度稱為過濾尺度，用Δ 表示。它相較于普通的 RANS 模型要求更細(xì)致的網(wǎng)格分布和更多的計(jì)算資源[5]。

進(jìn)行大渦模擬一般有以下 3 個(gè)步驟：首先將流動(dòng)的物理量分解為可解尺度和不可解尺度，常用的方法為低通過濾；其次，要給出大尺度渦的控制方程；最后，還需要小尺度脈動(dòng)對(duì)大尺度脈動(dòng)的封閉模型。

LES 的控制方程為：

其中 Lij，Cij和 Rij分別為：

式中：Lij為 Leonard 應(yīng)力，表示大尺度渦之間的相互作用；Cij為交互應(yīng)力，表示大尺度渦和小尺度渦之間的相互作用；Rij為亞網(wǎng)格雷諾應(yīng)力，表示小尺度渦之間的相互作用。

1.2 Zwart et al 空泡模型

通過假設(shè)系統(tǒng)內(nèi)所有氣泡具有相同的尺寸，Zwart提出使用氣泡密度（n）來(lái)計(jì)算整個(gè)單位體積內(nèi)汽液相間質(zhì)量傳輸率（R），單個(gè)氣泡的質(zhì)量傳輸率為：

代入 n 的值，可以得到凈質(zhì)量傳輸?shù)谋磉_(dá)式：

從式（1）可以得到，單位體積內(nèi)的質(zhì)量傳輸率僅僅與氣相密度（ρv）有關(guān)，在該模型中，R 與液相以及混合密度無(wú)關(guān)。最終的空泡模型如下：

當(dāng) P ≤ Pv時(shí)：

式中：RB= 10–6m 為氣泡半徑；αnuc= 5 × 10–4為氣核體積分?jǐn)?shù) ；Fvap= 50 為汽化系數(shù)；Fcond= 0.01 為凝結(jié)系數(shù) 。

2 計(jì)算模型和網(wǎng)格劃分

計(jì)算模型為矩形翼的扭曲水翼，弦長(zhǎng) 0.15 m，展長(zhǎng) 0.3 m，剖面為 NACA0009 翼型，其中，攻角為關(guān)于無(wú)因次距離的三次多項(xiàng)式函數(shù)，具體表達(dá)式為：

圖 1 三維扭曲水翼和計(jì)算流域Fig. 1 Geometry of 3D twisted hydrofoil and domain used in computations

根據(jù)計(jì)算域的幾何形狀，主要使用 O-H 型網(wǎng)格對(duì)計(jì)算域進(jìn)行整體網(wǎng)格劃分，第 1 層網(wǎng)格尺度 y+在 1–30之間，網(wǎng)格數(shù)量為 700 萬(wàn)。圖 2 所示為 LES 模型的網(wǎng)格劃分。

圖 2 計(jì)算網(wǎng)格圖Fig. 2 Overall view of computational domain grid

3 水翼空泡模擬

為與試驗(yàn)條件保持一致，設(shè)定空泡數(shù)為 1.07，出口處壓力設(shè)置為 29 484 Pa，使用建立在 LES 湍流模型上的 Zwart et al 空泡模型計(jì)算水翼流場(chǎng)。圖 3 給出了一個(gè)周期內(nèi)片空泡生成和脫落的 CFD 計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果[6]。CFD 顯示結(jié)果為 αV= 0.1 的等值面。其中，αV為蒸汽體積分?jǐn)?shù)。

如圖 3 所示，LES 湍流模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，不僅能模擬出空泡形成的準(zhǔn)確區(qū)域，還清楚完整顯示了片空泡的脫落過程，包括初次脫落、二次脫落及空泡霧化等具體細(xì)節(jié)。這顯示了 LES 湍流模型在模擬空泡方面的顯著優(yōu)勢(shì)。片空泡的脫落周期分以下幾個(gè)步驟：

1）第 1 階段（圖 3（a）和圖 3（b））。此時(shí)片空泡以達(dá)到最大尺寸，空泡邊線處出現(xiàn)許多微小氣泡（由于網(wǎng)格密度的問題，CFD 模擬中不能捕捉到該氣泡），同時(shí)，在片空泡的尾端處已出現(xiàn)小范圍空隙，該空隙在 LES 計(jì)算結(jié)果中也有清楚的顯示。

2）第 2 階段（圖 3（c）～圖 3（f））。此時(shí)由于回射流的影響，完整的片空泡被逐漸分割開來(lái)，尾端小塊的空泡開始聚集起來(lái)并發(fā)生初次脫落。一般認(rèn)為回射流位于氣穴下方，在空泡體積未達(dá)到最大時(shí)便已出現(xiàn)，是導(dǎo)致空泡脫落的重要原因[7]。脫落的空泡因壓力原因逐漸稀釋變?yōu)殪F狀空泡并慢慢消失。

3）第 3 階段（圖 3（g）～圖 3（j）。當(dāng)初次脫落完成后，附著片空泡在尾端的左右兩側(cè)開始發(fā)生二次脫落，脫落過程與初次脫落相似，但脫落的空泡體積較小。在二次脫落完成以后，片空泡的體積開始逐漸增大，開始進(jìn)入下一脫落周期。

圖 3 （a）,（c）,（e）,（g）,（i）為單周期內(nèi)LES計(jì)算結(jié)果；（b）,（d）,（f）,（h）,（j）為試驗(yàn)結(jié)果Fig. 3 (a), (c), (e), (g), (i) are LES results of one shedding cycle, (b), (d), (f), (h), (j) are videos of image

4 片空泡尺度效應(yīng)研究

表 1 不同流速下初始空泡數(shù)Tab. 1 The cavitation inception number at different velocity

4.1 速度影響研究

一般研究認(rèn)為，同一尺寸模型在保證空泡數(shù)不變的情況下改變來(lái)流速度，應(yīng)該有相同的空泡形態(tài)：隨著流速的改變，空泡發(fā)展的面積沒有明顯的變化[8]。表 1 給出了不同來(lái)流速度下水翼初始空泡數(shù)的大小。從中分析發(fā)現(xiàn)，不同來(lái)流速度下初始片空泡數(shù) σ 的變化幅度小于 2%，且初始片空泡數(shù)與來(lái)流速度的相關(guān)性較差。雖然來(lái)流速度的變化顯著的影響著片空泡生成的臨界壓力值，但從總體上來(lái)說，空泡數(shù)保持在一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的范圍內(nèi)，可以得出結(jié)論：來(lái)流速度對(duì)初始片空泡數(shù)基本無(wú)影響。這也進(jìn)一步印證了經(jīng)典空泡理論的相關(guān)結(jié)論（注：在這里認(rèn)為總蒸汽體積分?jǐn)?shù) Vvap介于 1.2 × 10–8～1.4 × 10–8時(shí)空泡處于初生狀態(tài)）。Vvap的表達(dá)式為：

4.2 尺寸影響研究

一般來(lái)講，尺寸差異帶來(lái)的影響是尺度效應(yīng)研究的主要內(nèi)容。與速度影響相同，隨著尺度增大，空泡發(fā)展的絕對(duì)面積越大。因此，為保證水翼處于空泡初生狀態(tài)，在增大尺寸的同時(shí)，必須同時(shí)提高環(huán)境壓力，也就是增大初始空泡數(shù)。對(duì)于不同尺寸的空泡初生狀態(tài)，可以從以下 2 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷：一是設(shè)定總蒸汽體積分?jǐn)?shù) Vvap為一定值；二是設(shè)定 Vvap為隨著尺度變化的變量。標(biāo)準(zhǔn) 1 只考慮了環(huán)境中水蒸汽含量，認(rèn)為水蒸汽含量達(dá)到一定便判定空泡初始；標(biāo)準(zhǔn) 2 則認(rèn)為在判定空泡初始時(shí)，各尺寸應(yīng)具有相同的空泡發(fā)展情況。圖 4 給出了不同尺寸在 2 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下下水翼初始空泡數(shù)的大小。

使用 Matlab 對(duì)離散點(diǎn)作曲線回歸，得到相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，其中 x 為三維水翼的弦長(zhǎng)：

a，b，c，d 的具體值如表 2 所示。

圖 4 初始片空泡數(shù)尺度效應(yīng)圖Fig. 4 Size scale effect of sheet cavitation inception number

表 2 函數(shù)變量值Tab. 2 The varible value of function

圖 4 顯示了模型尺度對(duì)初始片空泡數(shù)的影響。從中分析發(fā)現(xiàn)，標(biāo)準(zhǔn) 1 下，初始片空泡數(shù)的變化幅度較大（介于 1.9～2.8 之間），且隨尺度增大呈相關(guān)變化；而標(biāo)準(zhǔn) 2 下尺度變化對(duì)初始片空泡數(shù)有影響，但影響較?。ń橛?2.43～2.56 之間）。從以上分析可以得出結(jié)論，除對(duì)產(chǎn)生水蒸汽的含量有較高要求的領(lǐng)域外，尺寸的改變對(duì)片空泡的形成和發(fā)展有影響，但該影響并不大。圖 5 顯示了在相同空泡數(shù)，不同尺寸下三維水翼片空泡的計(jì)算結(jié)果。從中可發(fā)現(xiàn)，三維水翼空泡發(fā)展的相對(duì)面積有差別，但該差別很小，這也印證了標(biāo)準(zhǔn) 2 的計(jì)算結(jié)果：在片空泡具有相同發(fā)展面積的情況下，各尺寸模型的空泡數(shù)相差不大。從對(duì)圖 5的分析中也可進(jìn)一步得出結(jié)論：不同尺寸下片空泡發(fā)展的相對(duì)面積相差不大，也可以說明片空泡的尺度效應(yīng)影響較小。

在對(duì)初始片空泡數(shù)尺度效應(yīng)公式的運(yùn)用中，當(dāng)涉及的具體工況對(duì)產(chǎn)生水蒸汽的含量有較高要求時(shí)，建議采用標(biāo)準(zhǔn) 1 的尺度效應(yīng)公式；除此之外，建議使用標(biāo)準(zhǔn) 2 的尺度效應(yīng)公式。

圖 5 片空泡尺度效應(yīng)圖Fig. 5 Size scale effect of sheet cavitation

5 結(jié) 語(yǔ)

本文應(yīng)用 LES 模型計(jì)算了翼剖面為 NACA0009 翼型的扭曲水翼片空泡，并研究了來(lái)流速度和模型尺寸對(duì)片空泡初生和發(fā)展的影響，得到了以下結(jié)論：

1）LES 湍流模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，不僅能模擬出空泡形成的準(zhǔn)確區(qū)域，還清楚完整的顯示了片空泡的脫落過程，包括初次脫落、二次脫落以及空泡霧化等具體細(xì)節(jié)。

2）雖然來(lái)流速度的變化顯著的影響著片空泡生成的臨界壓力值，但從總體上來(lái)說，空泡數(shù)保持在一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的范圍內(nèi)，可以得出結(jié)論：來(lái)流速度對(duì)初始片空泡數(shù)基本無(wú)影響。

3）除對(duì)產(chǎn)生水蒸汽的含量有較高要求的領(lǐng)域外，尺寸的改變對(duì)片空泡的形成和發(fā)展有影響，但該影響并不大。總的來(lái)說，片空泡的尺度效應(yīng)影響較小。

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Scaling effects of hydrofoil sheet cavitation

PU Ji-jun1, XIONG Ying1, ZHAO He-yu2

(1. College of Naval Architecture and Power, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China; 2. Naval Military Representative Office in Hudong-zhonghua Shipbuilding(group) Co., Ltd., Shanghai 200000, China)

LES model were conducted in the analysis of hydrofoil sheet cavitation scaling effects. The shedding procedure of sheet cavitation in one circle is simulated. The CFD results is compared with experiment in detail and it is found that LES results which can clearly show the whole shedding procedure of sheet cavitation is agreed well with experiment. The influences of velocity and model size to sheet cavitation are studied, it is found the velocity can barely affect the sheet cavitation inception number and model size has some effect on sheet cavitation, but the effect is not big. Based on that, new scaling law of sheet cavitation inception number is deduced.

hydrofoil；sheet cavitation；scaling effects

U661

A

1672–7619(2016)12–0030–05

10.3404/j.issn.1672–7619.2016.12.006

2016–04–20；

2016–05–05

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51179198)

蒲汲君(1991–)，男，碩士研究生，從事艦船性能研究。