張曉東

(海軍裝備部，北京 100841)

小攻角水下航行體定常空泡外形計(jì)算方法

張曉東

(海軍裝備部，北京 100841)

水下航行體上的空泡在攻角、重力及航行體的外形影響下，空泡的迎水面外形與背水面外形并不對(duì)稱，這種不對(duì)稱空泡外形對(duì)空泡水動(dòng)力或航行體彈道有極大影響。本文結(jié)合動(dòng)量原理和空泡獨(dú)立膨脹原理，在小攻角條件下建立了定常三維空泡外形的方法。

空泡；水下航行體；空泡獨(dú)立膨脹原理；重力流場

0 引 言

在人工通氣超空泡的研究中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)重力（或浮力）和攻角對(duì)空泡的形態(tài)有很大影響。其中重力對(duì)水平超空泡的影響可分為2個(gè)方面：一是導(dǎo)致空泡中軸線向上彎曲，即空泡尾部上浮；二是導(dǎo)致空泡橫截面的底部形成一個(gè)向空泡內(nèi)部的凸起。在一定條件下，即當(dāng)空泡速度不大以至于重力影響較大時(shí)，向內(nèi)凸起的空泡底部就有可能與空泡頂部壁面相交，將空泡橫截面分為兩部分，從而產(chǎn)生特有的雙渦管外形。本文只考慮重力對(duì)空泡中軸線的偏移影響，利用小擾動(dòng)方法可以估算重力影響下空泡軸線向上彎曲程度[1]，而Logvinovich[2,3]則基于動(dòng)量定理給出了一個(gè)工程上足夠好用的簡潔公式。類似的，攻角對(duì)空泡中軸線的偏移影響也很大，其原因是攻角改變了流動(dòng)的對(duì)稱性，使得空泡中軸線發(fā)生向上或向下彎曲，這取決于攻角的正負(fù)。由于攻角導(dǎo)致的升力與空泡尾流的動(dòng)量變化率相等、方向相反，因此攻角對(duì)空泡中軸線偏移大小的影響也可以利用動(dòng)量定理進(jìn)行計(jì)算，可參考文獻(xiàn)[2, 3]中Logvinovich給出的一個(gè)簡化公式。

但是上述對(duì)空泡變形的研究都是針對(duì)無后體的空泡，而對(duì)有后體的空泡，即航行體上的局部空泡的變形研究則比較少。顧久淵[4]為了估算帶攻角航行體的空泡外形，給每一個(gè)空泡截面賦予一個(gè)在截面平面內(nèi)的水平平移速度，并假設(shè)這個(gè)水平平移速度等于空化器穿越此截面平面的水平速度分量；程少華等[5]也采用類似方法計(jì)算了空泡迎背水面的空泡長度，取得了很好效果。本文則將這種方法和攻角及重力導(dǎo)致的空泡變形結(jié)合起來，并以圓柱體上的局部空泡為例，建立小攻角條件下局部空泡變形的估算方法。

1 定常空泡受重力和攻角影響的理論模型

設(shè)無界重力流場中的航行體是一個(gè)足夠長的圓柱體外形，航行體高速運(yùn)動(dòng)時(shí)頭部產(chǎn)生空泡，空泡壓力為pc，空泡尾部閉合在航行體上，見圖1，其中航行體的半徑為R0，速度為V0，攻角為β，在定常條件下，以上參數(shù)都是常數(shù)。在來流作用下，由于攻角存在，因此航行體的頭部會(huì)產(chǎn)生一個(gè)升力Fy，同時(shí)空泡由于攻角和重力的共同影響發(fā)生變形，在航行體的上表面（迎水面）和下表面（背水面）的閉合位置并不相同，2個(gè)位置之間的距離差反映了空泡變形的程度。這個(gè)空泡閉合位置的距離差直接影響到航行體的水動(dòng)力大小，因此對(duì)這個(gè)距離差的計(jì)算是估算水動(dòng)力大小的一個(gè)重要參數(shù)。

圖 1 小攻角航行體局部空泡中軸線偏移示意圖Fig. 1 The sketch of deviation of the axis line of partial cavity on small attack angle vehicle

對(duì)于定?？张?，可以將坐標(biāo)系建立在航行體上，坐標(biāo)原點(diǎn)在航行體頭部的中心點(diǎn)o，x軸平行與來流速度方向，y軸垂直向上。如果從航行體坐標(biāo)系中觀察相對(duì)流動(dòng)，則航行體保持靜止，無限遠(yuǎn)來流速度為V0，Sx為在x坐標(biāo)的空泡截面面積，見圖1，同時(shí)假設(shè)流場是無旋、無粘理想流體。

當(dāng)空泡截面Sx不在空泡閉合位置時(shí)，可認(rèn)為空泡截面Sx并不受空泡閉合位置的流動(dòng)影響，因此這個(gè)截面的空泡變形相當(dāng)于無后體超空泡的變形。在文獻(xiàn)[2]中，Logvinovich在假設(shè)空泡截面保持為圓形，即Sx=πR2x的條件下，分別給出了超空泡在攻角和重力影響下，空泡截面中心偏離中軸線高度h(x)的一階估計(jì)式：

上述式（1）表示攻角產(chǎn)生的升力Fy對(duì)空泡中軸線偏離高度的貢獻(xiàn)大小，式（2）表示浮力對(duì)空泡中軸線偏離高度的貢獻(xiàn)大小，其中是航行體頭部的空化位置到空泡截面之間的空泡體積。

在文獻(xiàn)[2]中，攻角和重力對(duì)空泡變形的影響分開考慮，但是很容易看出，如果航行體既有攻角，又考慮重力影響，則空泡中軸線的偏離應(yīng)該同時(shí)受到兩者的作用，因此完整的空泡中軸線偏離高度的表達(dá)式可以很容易證明是式（1）和式（2）的疊加。

在空泡工程計(jì)算方法中，Logvinovich在文獻(xiàn)[2]中提出的空泡截面獨(dú)立膨脹原理得到實(shí)驗(yàn)證實(shí)并被廣泛應(yīng)用。因此對(duì)于細(xì)長體空泡，采用空泡截面獨(dú)立膨脹原理來計(jì)算空泡大小可行，下面是Vasin[6]基于空泡截面獨(dú)立膨脹原理給出的空泡動(dòng)力學(xué)方程在定常空泡狀態(tài)下的表達(dá)式

這里a是一常數(shù)，對(duì)于半徑為R0的圓盤空化器，

其中Cx為空化器阻力系數(shù)，Lk為空泡半長，是空泡的空化數(shù)。

如果根據(jù)微分方程（5）求出Rx，再將其代入式（3），即可求出空泡截面中心的偏離高度

當(dāng)空泡壓力為常數(shù)時(shí)，由式（5）可得到：

將式（6）代入式（8）整理得到

已知對(duì)于小攻角，航行體頭部的升力系數(shù)和阻力系數(shù)滿足關(guān)系式

其中是0攻角阻力系數(shù)。將式（11）代入式（10）得到

2 特殊解

在2種情形下重力對(duì)空泡偏移的影響可忽略：一是航行體速度較大，即二是航行體速度垂直于水面方向運(yùn)動(dòng)。由于在工程上這2種情形經(jīng)常遇到，因此下面給出不考慮重力影響的解。

在上述2種情形下，方程（12）中與重力有關(guān)項(xiàng)可忽略，即式（12）可簡化為

直接積分得到解析解

由于空泡獨(dú)立膨脹原理在空泡的“1/3”位置后較為準(zhǔn)確，因此公式（1 4）的應(yīng)用范圍應(yīng)該取或者

公式（14）的準(zhǔn)確性可以通過與文獻(xiàn)[2, 3]中利用小擾動(dòng)方法得到的另一個(gè)計(jì)算公式進(jìn)行比較而得到。其中半徑R0與空泡半長Lk的比可由估算。

圖 2 空泡中軸線偏移量的計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig. 2 The results of deviation of cavity’s axis line

從圖2可看出，如果注意到小擾動(dòng)公式（15）也是對(duì)具有一定離散度的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的一個(gè)近似估計(jì)式，則可以認(rèn)為公式（14）與公式（15）計(jì)算結(jié)果吻合的較好，這表明本文利用空泡獨(dú)立膨脹原理計(jì)算空泡截面的偏移在工程上合理。

3 迎背水面空泡外形的計(jì)算

參考圖1可看出，對(duì)于定?？张?，公式（14）或（15）都可給出空泡中心的位置。很容易看出，如果空泡截面都是圓形，則迎水面空泡外形的方程為

類似的，背水面空泡外形的方程為

將式（18）和式（14）代入式（16）和式（17）即可得到迎背空泡外形計(jì)算公式。由于公式表達(dá)式較復(fù)雜，因此直接用公式計(jì)算空泡外形比較繁瑣，但是在計(jì)算機(jī)仿真中很容易實(shí)現(xiàn)。

4 迎背水面空泡長度差的計(jì)算

利用空泡外形公式（16）和式（17）以及航行體的外形還可以計(jì)算出迎背空泡長度差。從圖1可看出，當(dāng)迎水面空泡與航行體上表面相交時(shí)，可確定出航行體迎水面的空泡長度；類似的，當(dāng)背水面空泡外形與航行體下表面相交時(shí)可確定空泡背水面的長度。

這里的航行體取圓柱體，見圖1，因此航行體上表面的外形方程為直線方程

根據(jù)迎水面空泡外形方程（16）和航行體上表面外形方程（19）可確定迎水面空泡與航行體上表面的交點(diǎn)位置，即應(yīng)滿足方程

為了簡化計(jì)算，這里將式（15）和式（18）代入式（20），得到

類似的，由式（17）可以得到背水面空泡與航行體下表面相交的交點(diǎn)位置所應(yīng)滿足的方程

很容易看出，式（21）和式（22）都是一個(gè)二次多項(xiàng)式方程，可以直接求出和的解析解?？张蓍L度差則為

雖然式（21）和式（22）都容易求解，但是其表達(dá)式過于繁瑣，因此本文在這里省略其表達(dá)式。

則式（24）與文獻(xiàn)[4-5]顧久淵、程少華等所采用的方法完全一樣。但是對(duì)比式（24）和式（20）可看出，本文方法不僅考慮了航行體外形對(duì)空泡長度差的影響，還考慮了攻角通過改變流場的對(duì)稱性而導(dǎo)致的空泡偏移對(duì)空泡長度差的影響。

5 結(jié) 語

航行體上非對(duì)稱空泡外形對(duì)水動(dòng)力有重要影響，因此建立快速估算非對(duì)稱空泡外形的方法有重要意義。本文基于空泡截面獨(dú)立膨脹原理，給出了攻角和重力使空泡發(fā)生變形的計(jì)算公式，并將其計(jì)入到空泡迎背水面外形的計(jì)算模型中，建立了可同時(shí)考慮攻角、重力及航行體幾何外形的迎背空泡長度差的計(jì)算方法。

[1]SAVCHENKO, YU N, SEMENENKO V N, et al. Unsteady supercavitated motion of bodies[J]. Int. J. of Fluid Mechanics Research, 2000, 27(1): 109-137.

[2]LOGVINOVICH G V. Hydrodynamics of flows with free boundaries[M]. Halsted Press, 1973.

[3]VLADIMIR N S. Artificial supercavitation[M]. Physics and calculation. RTO EN-010, 2001.

[4]顧九淵. 運(yùn)動(dòng)體空泡外形的近似計(jì)算[R]. 中國船舶科學(xué)研究中心科技報(bào)告, 1999.

[5]程少華, 權(quán)曉波, 于海濤, 等. 小攻角下航行體三維非定?？张菪螒B(tài)理論預(yù)示方法[J]. 船舶力學(xué), 2015, 19(8): 889-895.CHENG Shao-hua, QUAN Xiao-bo,YU Hai-tao, et al. Threedimensional cavitation shape of the underwater vehicles at a small attack angle in unsteady flow[J]. Journal of Ship Mechanics, 2015, 19(8): 889-895.

[6]VASIN A D. The principle of independence of the cavity sections expansion (logvinovich’s princeple) as the basis for investigation on cavitation flows. RTO EN-010, 2001.

The calculations′ method of steady cavitation shape of the underwater vehicles at small attack angle

ZHANG Xiao-dong
(Navy Equipment Department, Beijing 100841, China)

Under the influence of angle of attack, gravity and the geometry of underwater-vehicle, the shapes of underwater-vehicle cavity’s upstream face and downstream face are asymmetrical. The asymmetrical shape has great influence on cavity hydrodynamic and the trajectory of vehicle. Using the momentum theorem and principle of independence of the cavity section expansion, the paper provides a method to calculate the asymmetrical shape of cavity on a vehicle when the angle of attack is small. This method can apply to computer simulations.

cavity；underwater-vehicle；principle of independence of the cavity section expansion；fluid field of gravity

O352

A

1672-7649(2017)11-0090-04

10.3404/j.issn.1672-7649.2017.11.017

2017-09-12

張曉東(1971-)，男，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)閷?dǎo)彈總體技術(shù)。