盧玉書

[摘 要] 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，將學(xué)生自主探究就可以找到概念本質(zhì)的概念作為核心概念，并在構(gòu)建理解的過程中強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，可以讓核心概念伴隨著數(shù)學(xué)思想方法共同形成. 需要強(qiáng)調(diào)的是，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心概念并不是指難教、難學(xué)的概念，而是指在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的概念，因?yàn)樵谶@樣的概念教學(xué)中，學(xué)生的注意力有可能集中到數(shù)學(xué)思想方法的生成上. 在實(shí)際教學(xué)中，核心概念的構(gòu)建與數(shù)學(xué)思想方法的形成不能脫離，它們可以比喻為骨肉關(guān)系.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；核心概念；數(shù)學(xué)思想方法

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，思想方法的教學(xué)往往容易脫離具體的概念教學(xué)，這從相關(guān)的文獻(xiàn)中可以看出來，搜索并研究當(dāng)前數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)成果，發(fā)現(xiàn)其中不少是純粹地從思想方法本身實(shí)施教學(xué)的. 還有一種情形則是，數(shù)學(xué)思想方法更多的是從數(shù)學(xué)規(guī)律與數(shù)學(xué)問題解決的角度提出，這原本沒有什么問題，但如果忽視了數(shù)學(xué)概念教學(xué)中思想方法的滲透，筆者以為這是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的忽視，從學(xué)生建構(gòu)對數(shù)學(xué)思想方法認(rèn)知的角度來看，這應(yīng)當(dāng)是不可取的. 但是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的概念繁多，如果每個概念的建構(gòu)都去考慮思想方法因素，一無必要，二無實(shí)現(xiàn)的可能. 因此，從諸多數(shù)學(xué)概念中尋找核心概念，并在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，可能是一種比較好的途徑. 對此，筆者在教學(xué)中進(jìn)行了一些嘗試，也取得了一些成果.

對初中數(shù)學(xué)核心概念中思想方

法的分析

需要說明的是，本文所說的核心概念，不是指純粹意義上的概念，而是指用以描述數(shù)學(xué)對象特征與規(guī)律的概念性描述.

數(shù)學(xué)概念中蘊(yùn)含著哪些思想方法，這是借助于核心概念實(shí)施數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要前提. 通常情況下，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)基本上都是文字?jǐn)⑹鲂缘?，最多是給出一些事例，然后稍加總結(jié)，并通過文字說明即可達(dá)到數(shù)學(xué)概念教學(xué)的目的. 其后，讓學(xué)生基于概念的定義去記憶并“理解”概念，則成為一種傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式.

這種模式的教學(xué)效果自然不需要作太多的評價，可以不夸張地講，學(xué)生的思維基本上都用在機(jī)械記憶上，然后通過大量的重復(fù)訓(xùn)練，形成一種對概念的直覺. 這樣的直覺可以應(yīng)付日常試題中的提問，因而具有滿足應(yīng)試的效果. 也因?yàn)檫@個原因，所以通常情況下進(jìn)一步探究有效的概念教學(xué)的情形并不是很多. 反之，如果從思想方法的角度來反思概念并審視概念教學(xué)，可以發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)概念教學(xué)的思路的嚴(yán)重不足. 而在發(fā)現(xiàn)了這種不足的基礎(chǔ)上，又可以發(fā)現(xiàn)概念教學(xué)的新途徑. 現(xiàn)以平行四邊形的性質(zhì)為例，談?wù)勅绾螐臄?shù)學(xué)概念中尋找數(shù)學(xué)思想方法的存在，并為后面的教學(xué)實(shí)踐提供建議.

平行四邊形的性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個基礎(chǔ)性的內(nèi)容，通常情況下，對平行四邊形性質(zhì)的認(rèn)識，是基于其定義的. 盡管學(xué)生在此前已經(jīng)學(xué)過平行四邊形，但那個時候的定義往往更多的基于感性認(rèn)識而缺少理性描述，初中階段對于平行四邊形及其性質(zhì)的研究，更多的是理性認(rèn)識的結(jié)果，需要抽象思維的積極參與. 因此，把握好平行四邊形的概念的核心，就成為認(rèn)識平行四邊形性質(zhì)，并從中感受數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ).

分析平行四邊形這一概念尤其是其與此前教學(xué)方式的區(qū)別可以發(fā)現(xiàn)，平行四邊形的定義方式實(shí)際上給其他多邊形的定義提供了一種新的定義模式，尤其需要認(rèn)識的是平行四邊形中的“平行”是從四邊形兩邊的位置關(guān)系角度進(jìn)行定義的，從數(shù)學(xué)專業(yè)的角度來講，這是一個運(yùn)用了“邊平行”進(jìn)行定義的結(jié)果，這一結(jié)果所導(dǎo)致的教學(xué)效果，就是在學(xué)生的思維中形成了平行四邊形的表象. 另外，平行四邊形定義中有著明顯的邏輯推理的特征，而這意味著學(xué)生在構(gòu)建這個概念的時候，大腦中所需要建立的不僅僅是簡單的平行四邊形的表象，還需要在邏輯思考的作用下建立兩對邊平行的直覺性認(rèn)識. 因此，平行四邊形在初中階段的定義，是一種從一般到特殊的方法運(yùn)用的結(jié)果，是數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)推理共同作用的結(jié)果，這些結(jié)果將為平行四邊形的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)奠定堅實(shí)的基礎(chǔ).

以數(shù)學(xué)思想方法為線索的核心

概念教學(xué)

數(shù)學(xué)思想方法與概念之間是相互依存的關(guān)系，在上述分析的基礎(chǔ)上，以數(shù)學(xué)思想方法為線索來實(shí)施核心概念的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)可以對學(xué)生的數(shù)學(xué)概念建構(gòu)起到積極的促進(jìn)作用. 這里同樣以平行四邊形及其性質(zhì)的教學(xué)為例來說明.

其一，基于從一般到特殊的思想方法建構(gòu)平行四邊形的基本認(rèn)知. 平行四邊形從哪里來？簡單的方法是直接畫出一個平行四邊形，然后用數(shù)學(xué)語言去描述其邊的特征，但這樣的方法已經(jīng)被實(shí)踐證明過于草率. 而基于從一般到特殊的思路，讓學(xué)生從一般四邊形中去發(fā)現(xiàn)這種特殊的四邊形，則讓平行四邊形概念的建構(gòu)具有探究意義. 實(shí)際教學(xué)中，筆者先讓學(xué)生隨手畫出一個四邊形，這個時候四邊形的形狀是各異的；然后讓學(xué)生去畫出一個“好看點(diǎn)”的四邊形，這個時候?qū)W生往往會畫出長方形或者是正方形；再下一步詢問“能否畫出非長方形或正方形但有規(guī)則的四邊形”？這個時候，平行四邊形就呼之欲出了. 這樣的問題遞進(jìn)看似平常，但實(shí)際上卻在學(xué)生的思維中種下了從一般到特殊的種子，學(xué)生在潛意識當(dāng)中會認(rèn)識到平行四邊形是從普通的四邊形中而來的，只不過它比普通的四邊形多了一些“規(guī)則”而已，而在問題的強(qiáng)調(diào)中，“規(guī)則”二字可以為后面平行四邊形性質(zhì)的引出奠定認(rèn)知基礎(chǔ).

其二，基于比較的思想方法，判斷平行四邊形與一般四邊形的異同. 這一步是在上一步的基礎(chǔ)上，明確了學(xué)習(xí)的過程與目標(biāo)，即比較與判斷平行四邊形與一般四邊形的異同. 這個時候一定要注意，教師的語言不要過于數(shù)學(xué)化，一個“相同點(diǎn)與不同點(diǎn)”足以讓學(xué)生知道自己要做什么，如果此時的語言過于數(shù)學(xué)化，那學(xué)生理解起來就會有困難，反而會分散學(xué)生參與比較活動的注意力，不利于比較思想的充分滲透. 在實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生一般都能從邊的關(guān)系去比較（這是最直觀的一面），這說明上面的分析是有道理的，是符合學(xué)生的實(shí)際的. 而學(xué)生分析的結(jié)果，自然也就集中在兩對邊平行這一特點(diǎn)上. 這意味著對平行四邊形的性質(zhì)的探究已經(jīng)入門.

其三，基于數(shù)學(xué)體驗(yàn)的思想方法，讓學(xué)生在體驗(yàn)中認(rèn)識到平行四邊形的性質(zhì). 這一步是探究平行四邊形邊與角的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述的過程. 這個過程基本上可以分為兩步：一是對邊的研究，這個比較簡單，就不重復(fù)了；另一個是對角的研究，學(xué)生一般會猜想對角相等，但在證明的時候需要花費(fèi)一些時間，主要是作出對角線并用全等三角形去證明. 為了強(qiáng)化這個過程中學(xué)生的體驗(yàn)，筆者沒有急著指導(dǎo)學(xué)生，而是讓學(xué)生自主探究，自己想辦法. 事實(shí)上，只要認(rèn)識到自己的目標(biāo)是證明角的關(guān)系，那證明三角形全等的意識就會出來，只是在作對角線并構(gòu)建兩個三角形這一步略有困難罷了. 總的來說，還是能夠有效完成的.

其四，在學(xué)生學(xué)習(xí)過程反思的基礎(chǔ)上，梳理概念與思想方法的關(guān)系. 筆者在教學(xué)中比較喜歡做的一件事情，就是在一個重要的知識得出之后，引導(dǎo)學(xué)生反過來思考，去想這個結(jié)論是怎么出來的. 在平行四邊形及其性質(zhì)這個核心概念得出的過程中，筆者同樣進(jìn)行了這一工作. 而學(xué)生在反思之后也往往能夠發(fā)現(xiàn)以上三個重要步驟，而這樣的反思其實(shí)也就是在學(xué)生的思維中定下了一個核心概念生成的模式. 雖然我們強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)不要過于模式化，但這種基本的模式（其實(shí)也可以理解為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種模型）對于初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，還是有必要的，積極意義還是比較明顯的.

事實(shí)也證明，經(jīng)過上面四個步驟的努力，一方面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，另一方面也成功地構(gòu)建了關(guān)于平行四邊形及其性質(zhì)的認(rèn)識，在筆者看來，這是一次成功的教學(xué)實(shí)施.

核心概念與數(shù)學(xué)思想方法是骨

與肉關(guān)系

在經(jīng)過多次教學(xué)嘗試之后，筆者再反思核心概念與數(shù)學(xué)思想方法之間的關(guān)系. 發(fā)現(xiàn)借助骨肉聯(lián)系來形容兩者，還是比較恰當(dāng)?shù)? 自然，核心概念是骨而數(shù)學(xué)思想方法是肉. 兩者的關(guān)系進(jìn)一步闡述如下：

核心概念作為在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中起著支撐作用的概念，其不僅在知識內(nèi)容上具有重要性，同時在數(shù)學(xué)思想方法上也具有重要性. 也就是說，這些數(shù)學(xué)概念的形成過程，可以讓學(xué)生更好地形成數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)知. 這里需要強(qiáng)調(diào)的是，并不是難教、難學(xué)的概念才是核心概念，筆者的觀點(diǎn)剛好相反，過于困難的概念，往往需要教師講授的介入，學(xué)生才能聽懂，這些概念往往并不適宜作為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的載體. 只有那些相對簡單，學(xué)生能夠通過自己的努力探究，可以有效建立理解，或者發(fā)現(xiàn)規(guī)律的數(shù)學(xué)概念，才是輔助數(shù)學(xué)思想方法形成的核心概念. 因?yàn)樵谶@些概念的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的注意力可以集中到數(shù)學(xué)思想方法上來.

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助核心概念與數(shù)學(xué)思想方法的緊密聯(lián)系，實(shí)施知識與能力的雙重目標(biāo)的教學(xué)，是可以嘗試的途徑，有興趣的同行不妨共同研究.