孫述鵬， 王 偉， 段 梟

(湖北航天技術(shù)研究院總體設(shè)計(jì)所，武漢 430000)

航天器剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模及熱誘發(fā)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析

孫述鵬， 王 偉， 段 梟

(湖北航天技術(shù)研究院總體設(shè)計(jì)所，武漢 430000)

針對(duì)帶大型太陽(yáng)能帆板的航天器，使用蜂窩板對(duì)太陽(yáng)能帆板進(jìn)行建模，利用哈密頓原理建立了航天器剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程，分析了剛?cè)狁詈戏蔷€性項(xiàng)及系統(tǒng)參數(shù)對(duì)航天器固有特性和熱誘發(fā)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。結(jié)果表明，系統(tǒng)頻率隨中心剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小而升高，存在特定的蜂窩芯層與蜂窩板厚度比值，使系統(tǒng)頻率最高；系統(tǒng)剛?cè)狁詈戏蔷€性項(xiàng)不影響熱誘發(fā)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)中的準(zhǔn)靜態(tài)位移分量，但會(huì)使熱誘發(fā)振動(dòng)分量的振幅增大，振動(dòng)頻率發(fā)生偏移；當(dāng)系統(tǒng)熱特征時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)和系統(tǒng)基頻接近時(shí)，熱誘發(fā)振動(dòng)幅值最大。研究結(jié)果對(duì)航天器參數(shù)設(shè)計(jì)提供了理論指導(dǎo)。

熱誘發(fā)振動(dòng)；太陽(yáng)能帆板；剛?cè)狁詈希环涓C板；柔性航天器

航天器安裝有多種柔性附件，如太陽(yáng)能帆板、柔性天線等，以實(shí)現(xiàn)不同的功能。在軌運(yùn)行期間，航天器周期性地進(jìn)出地球陰影，柔性附件將經(jīng)歷溫度驟變，在結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生溫度梯度，導(dǎo)致柔性附件發(fā)生變形；如果溫度梯度是時(shí)變的，則可能導(dǎo)致柔性附件發(fā)生振動(dòng)[1]。前者導(dǎo)致航天器姿態(tài)指向出現(xiàn)偏差，后者則會(huì)引起航天器姿態(tài)抖動(dòng)，二者都影響航天器的性能，甚至導(dǎo)致航天器結(jié)構(gòu)破壞。因此，對(duì)航天器熱誘動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行深入研究十分必要。

許多學(xué)者對(duì)單獨(dú)的柔性附件熱誘發(fā)振動(dòng)進(jìn)行了研究。BOLEY[2]分析了受突加熱載荷作用的梁的熱誘發(fā)振動(dòng)，并指出：當(dāng)結(jié)構(gòu)的熱特征時(shí)間常數(shù)與其固有振動(dòng)周期數(shù)量級(jí)相同時(shí)，結(jié)構(gòu)可能在熱變形基礎(chǔ)上發(fā)生熱誘發(fā)振動(dòng)。在此基礎(chǔ)上，THORNTON[3]將柔性結(jié)構(gòu)熱誘發(fā)動(dòng)態(tài)響應(yīng)看做準(zhǔn)靜態(tài)熱變形和熱誘發(fā)振動(dòng)的疊加，求解了哈勃望遠(yuǎn)鏡撓性卷軸式太陽(yáng)能帆板的熱誘發(fā)結(jié)構(gòu)響應(yīng)。程樂(lè)錦等[4]發(fā)展了一種熱-動(dòng)力學(xué)耦合的有限元方法，求解了由薄壁桿和薄膜組成的哈勃望遠(yuǎn)鏡太陽(yáng)能帆板熱誘發(fā)振動(dòng)，并和文獻(xiàn)的理論結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了有限元方法的正確性?？紫楹旰屯踔捐岢隽说刃灰品ǎㄟ^(guò)自編Python程序計(jì)算柔性附件有限元模型各節(jié)點(diǎn)的等效溫度載荷，再以該載荷為激勵(lì)計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)，進(jìn)而對(duì)空間站柔性太陽(yáng)翼[5]及其桅桿[6]的熱誘發(fā)振動(dòng)進(jìn)行了分析。

安裝有柔性附件的航天器是一類典型的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)包含了航天器整體的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和柔性附件的彈性振動(dòng)。由于航天器系統(tǒng)總角動(dòng)量守恒，因此柔性附件的變形和振動(dòng)必然導(dǎo)致航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)。針對(duì)一類中心剛體-柔性梁航天器系統(tǒng)，JOHNSTON等[7]建立了其剛?cè)狁詈暇€性動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)熱-結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了理論研究；LI[8]則分析了此類航天器的結(jié)構(gòu)熱特征時(shí)間常數(shù)對(duì)系統(tǒng)熱誘發(fā)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。李偉等[9]保留柔性航天器動(dòng)力學(xué)模型中的剛?cè)狁詈戏蔷€性項(xiàng)，使用有限元方法分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

航天器的太陽(yáng)能帆板通常由蜂窩基板上粘貼太陽(yáng)能電池片組成[10]，蜂窩基板的幾何參數(shù)對(duì)航天器的模態(tài)影響十分顯著，但關(guān)于太陽(yáng)能帆板基板(蜂窩板)參數(shù)對(duì)航天器熱誘發(fā)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響的相關(guān)研究，目前尚未發(fā)現(xiàn)有所報(bào)道。此外，雖然有文獻(xiàn)[9]使用計(jì)入剛?cè)狁詈戏蔷€性項(xiàng)的航天器動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析，但這些工作僅局限于計(jì)算響應(yīng)，而未能有進(jìn)一步的分析。有鑒于此，本文使用蜂窩板對(duì)太陽(yáng)能帆板進(jìn)行建模，利用哈密頓原理建立了航天器剛?cè)狁詈戏蔷€性動(dòng)力學(xué)方程，分析了中心剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和蜂窩板參數(shù)對(duì)航天器固有特性及熱誘發(fā)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響，并對(duì)系統(tǒng)非線性特性進(jìn)行了研究。

1 航天器模型描述

圖1所示為一類典型航天器結(jié)構(gòu)，由星體平臺(tái)(中心剛體)和一對(duì)大型太陽(yáng)能帆板組成[11]，是典型的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)，航天器整體受熱流S0照射。中心剛體半徑為r0，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JR；太陽(yáng)能帆板長(zhǎng)L，寬b，假定長(zhǎng)寬比L/b較大，可用歐拉-伯努利梁建模。忽略太陽(yáng)能帆板上的太陽(yáng)能電池片和粘合劑的影響，僅考慮其主體結(jié)構(gòu)——蜂窩基板，如圖2所示。蜂窩板總厚度為2h，蜂窩芯層厚2hc，上下面板厚度均為hf。蜂窩板由鋁制成，其材料密度和彈性模量分別為ρ0和E0，則上下面板的材料密度ρf和彈性模量Ef分別等于ρ0和E0；蜂窩胞元為邊長(zhǎng)lc的正六邊形結(jié)構(gòu)，壁厚為δc。將蜂窩芯層等效為幾何參數(shù)不變的實(shí)心層，其等效材料密度ρc和彈性模量Ec可依據(jù)Gibson公式[12]得到

(1)

隨后將蜂窩板視為三層板，使用經(jīng)典層合板理論建模。

為了描述航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和太陽(yáng)能帆板變形，建立了慣性坐標(biāo)系o-XY和和隨體坐標(biāo)系o-xy，如圖1所示。航天器在X-Y面內(nèi)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)用θ表示，太陽(yáng)能帆板上任意點(diǎn)P在隨體系o-xy中的矢徑為r，沿x和y的變形分別為u(x,t)和v(x,t)。

圖1 航天器結(jié)構(gòu)Fig.1 Spacecraft with rigid hub and flexible solar panel

圖2 太陽(yáng)能帆板蜂窩基板橫截面Fig.2 Cross section for the honeycomb panel of solar panel

2 航天器熱誘發(fā)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析模型

2.1 太陽(yáng)能帆板熱響應(yīng)分析

如圖1所示，太陽(yáng)能帆板所受熱流垂直于其未變形時(shí)的表面。對(duì)于對(duì)日定向的太陽(yáng)能帆板，假定熱流從零時(shí)刻開(kāi)始照射，即t<0時(shí)S0=0，t≥0時(shí)S0≠0；在姿態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)和帆板振動(dòng)較小時(shí)，假定結(jié)構(gòu)熱響應(yīng)與結(jié)構(gòu)變形無(wú)關(guān)；忽略太陽(yáng)能帆板軸向(x方向)的溫差，認(rèn)為帆板僅在厚度方向(y方向，即熱流入射方向)存在溫度梯度[8]。

太陽(yáng)能帆板熱傳導(dǎo)方程是非線性方程，不能求出解析解。對(duì)于給定邊界條件的結(jié)構(gòu)瞬態(tài)熱響應(yīng)問(wèn)題，只能使用有限元方法或者有限差分法求解。然而，已有文獻(xiàn)給出了太陽(yáng)能帆板橫截面溫差ΔT(t)的近似解析解[7]

ΔT(t)=Tu(t)-Tl(t)=ΔTs(1-e-t/τ)

(2)

式中，Tu(t)和Tl(t)分別是蜂窩板上下面板的溫度。τ是蜂窩板熱特征時(shí)間常數(shù)，可由下式算出

(3)

式中c和kc分別是蜂窩芯層的比熱容和導(dǎo)熱系數(shù)。式(2)中ΔTs=Tu-Tl，是帆板橫截面溫差ΔT(t)的穩(wěn)態(tài)值，其中Tu和Tl分別是穩(wěn)態(tài)時(shí)的帆板上下表面溫度，可由下面兩式解出

(4)

(5)

式(4)表示穩(wěn)態(tài)時(shí)帆板吸收的熱和上下面板輻射的熱相等，式(5)表示穩(wěn)態(tài)時(shí)流過(guò)蜂窩芯層的熱與下面板輻射的熱相等。兩式中，σ為黑體輻射系數(shù)(Stefan-Boltzmann constant)，εu和εl分別是蜂窩板上下面板的發(fā)射率，α是上面板的吸收率。

太陽(yáng)能帆板橫截面溫差會(huì)產(chǎn)生熱彎矩MT(t)。假定僅由蜂窩板的上下面板提供抗彎剛度[7, 13]，則MT(t)的計(jì)算表達(dá)式為

MT(t)=∫AEfαcte[T(y,t)-Tref]ydA

(6)

式中，αcte是上下面板的熱膨脹系數(shù)，Tref是參考溫度，積分區(qū)域A為圖2中的區(qū)域(2)和(3)。將式(2)代入式(6)，進(jìn)一步計(jì)算可得

(7)

2.2 航天器動(dòng)力學(xué)方程

太陽(yáng)能帆板上任意點(diǎn)P在隨體系o-xy中的矢徑r以及慣性系o-XY中的速度矢量v的表達(dá)式為

(8)

則航天器系統(tǒng)動(dòng)能可表示為

(9)

航天器勢(shì)能僅包含太陽(yáng)能帆板的應(yīng)變能。帆板蜂窩芯層和上下面板的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系為

εc(f)=-yc(f)v″c(f),σc=Ecεc,σf=Efεf

(10)

則系統(tǒng)勢(shì)能可寫為

(11)

由哈密頓原理

(12)

推導(dǎo)得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程如下

(13)

(14)

對(duì)應(yīng)的邊界條件為

(15)

式(13)～(15)中各參數(shù)為

ρ=2hcbρc+2hfbρf,

(16)

動(dòng)力學(xué)方程式(13)和(14)中有下劃線的項(xiàng)為剛?cè)狁詈戏蔷€性項(xiàng)，在JOHNSTON等[1,7-8]的研究中忽略了這些非線性項(xiàng)，使用線性方程對(duì)航天器熱誘發(fā)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了分析。

使用前5階懸臂梁函數(shù)離散系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，可得離散動(dòng)力學(xué)模型

(17)

式中，M和K是5×5的矩陣，UT和FMT是5×1的列向量，其表達(dá)式為

(18)

3 航天器固有特性及熱誘發(fā)動(dòng)力學(xué)特性

3.1 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證式(17)的正確性，采用孔憲仁等[14]使用的中心剛體-柔性梁模型參數(shù)，計(jì)算了系統(tǒng)前三階固有頻率，并與該文獻(xiàn)中的有限元模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。從表1可知，式(17)所得系統(tǒng)頻率與文獻(xiàn)結(jié)果完全一致，從而驗(yàn)證了式(17)的正確性。

表1 中心剛體-柔性梁模型前三階圓頻率Tab.1 The first three frequencies of a hub-beam system rad/s

下面使用算例，自編MATLAB計(jì)算程序，用四階龍格-庫(kù)塔法(即MATLAB的ODE45函數(shù))求解式(17)，分析了中心剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JR、蜂窩芯層高度hc等參數(shù)對(duì)航天器固有頻率和熱誘發(fā)振動(dòng)響應(yīng)的影響，算例參數(shù)如表2所示。

3.2 系統(tǒng)固有特性及熱誘發(fā)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析

令航天器中心剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JR=250rJR(1≤rJR≤100)，蜂窩芯層厚度與蜂窩板厚度比值hc/h=0～0.999 5，系統(tǒng)其他參數(shù)見(jiàn)表2。使用式(17)的線性齊次形式計(jì)算航天器整體的基頻，作圖3。從圖中可以看出，在任一JR取值條件下，隨著蜂窩芯層厚度增加(即hc/h從0增大到1)，航天器基頻先緩慢增大后急劇減小，即存在一個(gè)特定的hc/h值，使航天器基頻最大，這一結(jié)論與蜂窩板研究的結(jié)論相同[15]。而且，不同的JR取值，對(duì)應(yīng)的使系統(tǒng)基頻最大的hc/h的值也不同。因此，有必要針對(duì)特定的JR設(shè)計(jì)蜂窩基板的尺寸，使航天器固有頻率最大。此外，還可從圖3觀察到，系統(tǒng)頻率隨中心剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JR減小而增大。

表2 航天器熱誘發(fā)振動(dòng)分析所用參數(shù)Tab.2 Parameters used in the thermally induced vibration analysis of a spacecraft

取表2中的航天器參數(shù)，計(jì)算無(wú)阻尼系統(tǒng)熱誘發(fā)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，如圖4所示。從中可以看出，航天器在出陰影時(shí)，受突加熱流的影響，航天器太陽(yáng)能帆板橫截面出現(xiàn)時(shí)變的溫度梯度，導(dǎo)致帆板變形，并產(chǎn)生振動(dòng)，從而引起航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)帆板橫截面溫度梯度趨于穩(wěn)態(tài)時(shí)，航天器的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)表現(xiàn)為準(zhǔn)靜態(tài)位移與振動(dòng)的疊加。若計(jì)入結(jié)構(gòu)阻尼，則圖4所示動(dòng)態(tài)響應(yīng)中的振動(dòng)部分將逐漸衰減，最后只余下準(zhǔn)靜態(tài)位移[7,9]。

圖3 航天器基頻隨rJR和hc/h的變化Fig.3 Variation of fundamental frequency for a spacecraft with aspect to rJR and hc/h

圖4 航天器熱誘發(fā)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)Fig.4 Thermally induced dynamic response for a spacecraft

取JR=2 500 kgm2，分別采用式(17)的非線性和線性形式，計(jì)算參數(shù)hc/h=0～0.999 5條件下航天器的熱誘發(fā)動(dòng)態(tài)響應(yīng)。將穩(wěn)態(tài)時(shí)的姿態(tài)角θ和太陽(yáng)能帆板端部位移v(L)的準(zhǔn)靜態(tài)值(用下標(biāo)Q表示)及振動(dòng)幅值(用下標(biāo)v表示)分別取出，結(jié)果見(jiàn)圖5。對(duì)比圖5(a)和(b)可以發(fā)現(xiàn)，非線性模型和線性模型得出的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)準(zhǔn)靜態(tài)位移θQ和vQ(L)完全一致，這說(shuō)明系統(tǒng)剛?cè)狁詈戏蔷€性項(xiàng)不影響準(zhǔn)靜態(tài)位移。事實(shí)上，依據(jù)JOHNSTON等[1,7]的分析，受突加熱流作用的航天器的準(zhǔn)靜態(tài)位移僅與MT(t)/D有關(guān)，而在hc/h=0.98附近，MT(t)/D取最大值，故此處準(zhǔn)靜態(tài)位移最大。

對(duì)比圖5(c)和(d)可以看到，非線性模型計(jì)算的振動(dòng)幅值與線性模型的振幅有差異，且一般情況下前者大于后者。為了進(jìn)一步分析剛?cè)狁詈戏蔷€性項(xiàng)的影響，分別使用非線性和線性模型計(jì)算航天器(參數(shù)見(jiàn)表2)熱誘發(fā)動(dòng)態(tài)響應(yīng)，并進(jìn)行頻率分析，如圖6所示。對(duì)比非線性模型和線性模型的結(jié)果可知，剛?cè)狁詈戏蔷€性項(xiàng)使系統(tǒng)熱誘發(fā)振動(dòng)的頻率成分中包含有線性系統(tǒng)各階頻率之外的成分。此外，hc/h分別在0.25和0.99附近取值時(shí)，會(huì)使系統(tǒng)熱誘發(fā)振動(dòng)幅值取極大值。為進(jìn)一步分析其原因，采用數(shù)值的方式得出了航天器熱特征時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)1/τ與系統(tǒng)基頻的交線，如圖7所示?？梢钥吹?，當(dāng)JR=2 500 kg·m2(即rJR=10)時(shí)，hc/h分別取0.36和0.99，會(huì)使1/τ與系統(tǒng)基頻接近，導(dǎo)致系統(tǒng)熱誘發(fā)振動(dòng)幅值最大。進(jìn)一步地，在熱-結(jié)構(gòu)耦合分析中，1/τ與系統(tǒng)基頻接近會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)熱誘發(fā)振動(dòng)發(fā)散[3,8]

綜合圖3和圖5可知，對(duì)于特定中心剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JR取值條件下，需要對(duì)太陽(yáng)能帆板的蜂窩基板參數(shù)進(jìn)行針對(duì)性設(shè)計(jì)，從而使系統(tǒng)頻率最高，且熱誘發(fā)動(dòng)態(tài)響應(yīng)最小。指導(dǎo)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵參數(shù)為中心剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JR、蜂窩芯層與蜂窩板厚度比hc/h以及結(jié)構(gòu)熱特征時(shí)間常數(shù)τ。

圖5 航天器熱誘發(fā)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨hc/h的變化趨勢(shì)Fig.5Variationofsteady-statethermallyinducedresponsewithaspecttohc/h圖6 姿態(tài)角振動(dòng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)頻譜Fig.6Steady-statefrequencyspectrogramforthevibrationofattitudeangle

圖7 航天器基頻與熱特征時(shí)間常數(shù)倒數(shù)的比較Fig.7 Comparison between the frequencies and 1/τ

4 結(jié) 論

本文針對(duì)帶大型太陽(yáng)能帆板的航天器，建立了其剛?cè)狁罘蔷€性動(dòng)力學(xué)方程，在驗(yàn)證模型正確的基礎(chǔ)上，利用具體算例分析了航天器參數(shù)對(duì)系統(tǒng)固有特性及熱誘發(fā)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響，結(jié)論如下：

(1)中心剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越小，系統(tǒng)頻率越高。中心剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取值一定時(shí)，存在特定的蜂窩芯層與蜂窩板厚度比值，使系統(tǒng)頻率最高。

(2)航天器熱誘發(fā)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)包含準(zhǔn)靜態(tài)位移和熱誘發(fā)振動(dòng)兩部分。系統(tǒng)剛?cè)狁詈戏蔷€性項(xiàng)不影響準(zhǔn)靜態(tài)位移，但會(huì)使系統(tǒng)振幅增大，振動(dòng)頻率發(fā)生偏移。

(3)當(dāng)系統(tǒng)熱特征時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)和系統(tǒng)基頻接近時(shí)，熱誘發(fā)振動(dòng)幅值最大。

綜合來(lái)看，有必要對(duì)中心剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、蜂窩芯層與蜂窩板厚度比值以及結(jié)構(gòu)熱特征時(shí)間常數(shù)進(jìn)行針對(duì)性設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)頻率最高且熱誘發(fā)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)最小。

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Rigid-flexible couplingdynamic modelling and thermally induced vibration analysis for a flexible spacecraft

SUN Shupeng, WANG Wei, DUAN Xiao

(Institute of Overall Design, Hubei Aerospace Technology Academe, Wuhan 430000, China)

A rigid-flexible coupling dynamic model for a flexible spacecraft with large solar panels represented by honeycomb panels was established by using the Hamiltonian principle. The effects of rigid-flexible coupling nonlinear terms on the dynamic model and the parameters of the flexible spacecraft on the natural characteristics and thermally induced vibration of the system were investigated. The numeric simulation results show that the frequencies of the system increase with decreased inertia of the rigid hub of the flexible spacecraft, and there is a particular honeycomb core height to solar panel thickness ratio which corresponds to the maximum system frequency. The rigid-flexible coupling nonlinear terms do not affect the quasi-static part of the thermally induced response of the flexible spacecraft; however, they increase the amplitude of vibration part and change the system frequency. When the reciprocal of the thermal time constant of the system is close to the fundamental frequency, the amplitude of thermally induced vibration reaches maximum. The conclusions provided theoretical guidance for spacecraft design.

thermally induced vibration; solar panel; rigid-flexible coupling; honeycomb panel; flexible spacecraft

2015-09-18 修改稿收到日期：2015-12-01

孫述鵬 男，博士，工程師，1986年9月生

V414.3；V414.6

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.24.013