張文清， 何清波， 丁曉喜， 韓 杰， 謝明偉

(1.中國科學技術大學 精密機械與精密儀器系，合肥 230026;2.中國空氣動力研究與發(fā)展中心 設備設計與測試技術研究所，四川 綿陽 621000)

基于時域流形稀疏重構方法的滾動軸承故障特征增強研究

張文清1,2， 何清波1， 丁曉喜1， 韓 杰2， 謝明偉2

(1.中國科學技術大學 精密機械與精密儀器系，合肥 230026;2.中國空氣動力研究與發(fā)展中心 設備設計與測試技術研究所，四川 綿陽 621000)

振動信號降噪處理一直是滾動軸承故障診斷中的一個重要的研究內容。利用時域流形和匹配追蹤的優(yōu)點，克服兩種方法的不足，提出一種優(yōu)勢互補的新方法——時域流形稀疏重構方法。時域流形具有良好的去噪能力，卻由于其非線性的處理過程導致振幅信息不能保持。匹配追蹤方法的降噪能力與原子本身有關，由于不能保證選取到最能表征信號的原子，故其降噪能力具有局限性。提出的方法克服了上述問題。首先通過匹配追蹤的方法以時域流形結果為基礎從一個過完備字典中找到最匹配的原子，之后以得到的原子與原始信號匹配計算獲得重構的稀疏系數，最后通過稀疏系數和得到的原子重構信號，該結果同時具有匹配追蹤和時域流形的優(yōu)點。以軸承故障信號分析為例，驗證了該方法的有效性。同時和時域流形及匹配追蹤方法相比較，結果顯示該方法具有明顯的優(yōu)越性。

時域流形；匹配追蹤；稀疏重構；滾動軸承故障診斷

振動信號降噪一直是滾動軸承故障診斷中的一個重要研究內容。通過對軸承振動信號的分析，可以實現監(jiān)控其運行狀態(tài)、減少停機時間、確保高效生產。

常用的振動信號降噪方法按分析域可分為時域變換去噪、頻域變換去噪和時頻域變換去噪。時域變換去噪主要是在時域或其線性變換中根據信號和噪聲的特點來抑制噪聲，如時域平均法。頻域變換去噪則主要是設計相應通帶的濾波器實現信號去噪，如帶通濾波[1-2]。時頻分布提供了一個時間-頻率的聯合分布，在去噪時可以對時間、頻率信息進行綜合考慮，如基于小波變換以及時頻分析的信號去噪方法[3-4]。

Mallat基于小波分析提出了信號可以用一個超完備字典進行表示，從而開啟了稀疏表示的先河。流形學習(Manifold Learning)方法在著名雜志《Science》被首次提出以后，成為信息科學領域的研究熱點。近幾年來，有越來越多的方法應用稀疏表示和流形學習來達到振動信號降噪的目的。本文提出了一種新的信號重構方法，對振動信號進行降噪和特征增強。

信號重構的主要任務是從原始振動信號中提取表征軸承故障的純瞬態(tài)脈沖。和傳統(tǒng)的帶通濾波法、奇異值分解法(SVD)[5]相比較，稀疏分解是一種非常有效的方法。稀疏分解需要建立一個過完備字典，是通過稀疏原子去除噪聲重構故障特征信號的有用工具，如匹配追蹤(MP)[6-10]、最佳正交基(Bob)[11]、基追蹤(BP)[12]等。近些年隨著信號處理領域的發(fā)展，稀疏分解在稀疏性和高分辨率上顯示出優(yōu)勢。但是，在強背景噪聲下的稀疏分解提取故障特征仍然比較困難。另一方面，流形學習[13-16]利用非線性降維方法找出動力學系統(tǒng)在相空間中具有全域正交坐標系的低維主流形，然后根據主流形反求原始振動信號，進而達到降噪的目的。流形學習能夠更加有效地消除高斯白噪聲，成功提取出淹沒在強背景噪聲中的故障特征。然而，流形學習結果不能夠顯式表達，重構信號雖然保留故障特征但幅值失真嚴重。

本文基于時域信號流形學習和匹配追蹤算法，提出一種新方法，稱為時域流形稀疏重構，用于去除背景噪聲增強故障特征。該方法主要是在對時域信號流形學習得到的主流形上獲取稀疏基即原子，通過原子在原始含噪信號上的稀疏表達，實現故障沖擊特征的提取和故障信號幅值的恢復。時域流形稀疏重構的結果在噪聲抑制的同時能夠更好地保持故障脈沖及其幅值，從而增強故障特征，反映滾動軸承故障的本質特性。時域流形稀疏重構提供了一種去除噪聲增強故障特征的方法，其效果在后面實驗分析中得到了驗證。

1 時域流形稀疏重構理論

1.1 時域流形分析

時域流形(Time-domain Manifold, TM)是嵌入在非平穩(wěn)時域信號中的一種內在的非線性流形結構[17-21]。其基本方法是通過對信號相空間重構(Phase Space Reconstruction, PSR)后的高維數據流形學習，提取出反映信號動力學本質的時域模式。TM揭露了信號非平穩(wěn)和非線性兩種信息，適合于故障特征的提取。

設有一長度為N的信號x(t)，首先通過相空間重構變?yōu)橐粋€m維的信號，其第i個相點為

(1)

式中,xi為x(t)的第i個點，m為嵌入維數，τ為延遲時間。此時有高維數據矩陣P∈Rm×n(τ=1,n=N-m+1)，其元素與原始信號x(t)的對應關系如下：

P(j,k)=xk+(j-1)τ

j∈[1,m],k∈[1,n]

(2)

式中，P矩陣為n個m維的相點組成的列向量，也可以看作為m個長度為n的一維時域信號組成的矩陣。當τ=1時，由曹氏方法計算得到m≥10，在本文中m取11，τ取1。對P矩陣做流形學習，得到TM。本文通過局部切空間排列(Local Tangent Space Alignment, LTSA)算法，從m個一維時域信號中計算出d個主流形(d?m)。LTSA是一個局部到全局變換排列的優(yōu)化算法，其優(yōu)化目標函數為

(3)

式中,Ei為每一個點局部重建誤差，S為0-1選擇矩陣，W=diag(w1,… ,wN),Wj=(I-eeT/k)(I-Θj+Θj) ，Θi為局部坐標矩陣。為了唯一確定流形T，假設TTT=Id，最后有：

B=SWWTST

(4)

對B做特征值分解，最優(yōu)的流形T對應著B的第2到第(d+1)個最小非零的特征值。

ci=PiT1

(5)

1.2 匹配追蹤獲取原子

作為一種稀疏分解的方法，匹配追蹤(MP)算法能夠得到信號在一個過完備字典上的稀疏表示。MP算法的目的是從過完備字典中，選擇一個與信號最匹配的原子，構建一個稀疏逼近。如果選擇的原子具有適合軸承故障的脈沖特征，那么MP算法對軸承故障特征的提取和降噪將特別有效。通常我們用相關系數來表征原子和被分析信號的匹配程度。相關系數越大，匹配程度越高。

本文用Morlet小波字典做過完備字典。Morlet小波字典可以表示如下：

(6)

(7)

式中,r0為原子在字典中的索引，dr0為此次迭代找到的最匹配原子，R1為第一次迭代后的殘值。

其次，對殘值R1進行同樣的分解，那么經過k次迭代可以得到：

Rk-1=〈Rk-1,drk-1〉drk-1+Rk

(8)

式中,Rk-1和Rk分別為第k-1次迭代和第k次迭代后得到的殘值，drk-1為第k次迭代找到的最匹配原子，rk-1為原子drk-1在字典D中的索引。

1.3 信號重構

在采用MP算法搜索原子的過程中，每一步迭代都得到了一個最匹配的原子和新的殘值。如果連續(xù)5次迭代殘值能量變化都小于一個較小的給定閾值ε時，即可認為連續(xù)5次得到的最匹配原子表達的均為噪聲，此時終止算法，余下的殘值中絕大部分為噪聲。其迭代終止條件如下：

(9)

式中,Ri、Ri+1為第i次迭代和第i+1次迭代的殘值，K為合適的原子數目，ε為一個較小的數，本文取ε=0.02。每次迭代殘值能量都會減小。當連續(xù)5次迭代殘值能量的變化都小于一個較小的數ε時，我們認為已經提取了所有的滾動軸承故障脈沖，剩下的殘值能量包含著大量噪聲可以忽略，并且當前的原子數目就是能夠較好重構信號又不引入過多噪聲的最佳原子數目。通過這種方法，我們能夠得到重構信號的合適原子數目K，下一步就是用K個原子重構信號x(t)。

ci=〈x,di〉,i=1,2,…,K

(10)

式中,xr為重構后的信號，di為MP算法得到的原子，ci為原始信號x(t)在原子di方向投影系數。這樣，我們結合時域流形抑制噪聲和稀疏表達降噪的優(yōu)點，得到了進一步降噪的重構信號，并恢復其真實幅值。

2 仿真分析

為了定量評估時域流形稀疏重構方法在軸承故障特征增強上的效果，本文使用仿真軸承故障信號進行研究分析，如下所述。

根據阻尼自由振動模型，構建如下仿真信號：

xs(t)=x0(t)+n(t)=

sin[2πf0(t-τ·h)]+n(t)

(11)

式中,f0為固有頻率，ζ為阻尼系數，τ為脈沖間隔，a為幅值，x0(t)為一個無噪聲信號，而n(t) 為高斯隨機噪聲。

定義一種處理后信號和原始無噪聲信號之間的退化的二次殘差(Vestigial Quadratic Mismatch,VQM)來評價處理方法的有效性，以dB為結果單位，表達如下：

(12)

式中,xr為處理后信號，x0為原始無噪聲信號，E(·)為數學期望。VQM需要知道原始無噪聲信號，因此其在仿真研究中有著很好的應用，但對實際振動信號卻沒用。VQM越小，說明去噪效果越好。

用式(11)生成一段脈沖信號，其中f0=2 500 Hz,ζ=0.005,τ=0.012 5 s,a=1。仿真信號的信噪比為-5 dB。圖1(a)仿真信號被噪聲污染，圖1(b)采用時域流形稀疏重構方法重構信號。很明顯，重構信號中噪聲已被大大地去除。圖1(c)表明，本文方法重構的信號和原始信號在振幅和相位上是匹配的。

圖2是不同方法對仿真信號去噪的結果。圖2(c)和圖2(d)采用本文方法重構的結果，效果顯著。圖2(e)和圖2(f)是時域流形的結果， 流形去除了帶內噪

聲，但信號幅值信息丟失。圖2(g)和圖2(h)是MP算法的結果，雖然MP算法的去噪效果也不錯，且能夠保持幅值信息，但是從時頻分布中看出，本文方法去噪效果更佳。

圖1 基于時域流形稀疏重構方法的含噪仿真信號結果Fig.1 Results of the TM sparse reconstruction for the simulated noisy signal

圖2 不同方法對仿真信號的降噪結果Fig.2 The inner-race defective bearing vibration signal

通過計算VQM，能夠定量比較不同方法的去噪效果。計算結果如表1所示，時域流形、MP算法以及時域流形稀疏重構方法都對仿真信號降噪具有效果，但本文方法結果的VQM值最小，即本文方法的降噪能力最強。其他方法去噪能力較差是因為，時域流形方法引起了信號幅值的失真，MP算法的重構過程卻不可避免的引入了噪聲脈沖。

綜上，時域流形稀疏重構方法在故障信號降噪和特征增強方面，比時域流形、MP算法更有效。

表1 不同降噪方法的VQMTab.1 The VQM for the denoising results of the demonstrated simulated signal

3 實例分析

為了驗證時域流形稀疏重構方法在實際滾動軸承故障信號中降噪和增強故障特征等方面的有效性，本節(jié)分析了具有缺陷故障的軸承內外圈振動信號。實驗數據采用美國凱斯西儲大學(Case Western Reserve University, CWRU)軸承數據，采樣頻率為12 000 Hz。測試對象是型號為6205-2RSJEM SKF的深溝球軸承，對測試軸承的內外圈分別采用電火花加工出單故障作為故障源，故障大小為0.011×0.014 inch。本文將轉速為1 749 r/min，理論故障頻率fd為104.5 Hz的外圈信號以及轉速為1 772 r/min，理論故障頻率fd為160 Hz的內圈信號作為分析對象。

3.1 時域流形稀疏重構的結果

首先，我們分析滾動軸承外圈故障信號。圖3(a)中缺陷軸承外圈信號受到了明顯的噪聲污染，故障脈沖幾乎不能被辨別，圖3(b)中時頻分布顯示在故障頻帶內和頻帶外均布滿大量噪聲，圖3(c)包絡譜中fd為對應故障頻率，2fd是其2倍頻。

圖3 有缺陷的軸承外圈振動信號Fig.3 The outer-race defective bearing vibration signal

圖4 基于時域流形稀疏重構的軸承外圈故障信號分析結果Fig.4 Analyzed result of the outer-race defective bearing signal based on TM sparse reconstruction

使用時域流形稀疏重構的方法，對外圈信號進行處理。圖4(a)中本文方法結果的時域信號顯示出明顯的規(guī)則的故障脈沖。圖4(b)是基于本方法重構信號的時頻分布，可見時頻特征非常清晰。圖4(c)顯示了采用本文方法重構信號的包絡譜，噪聲明顯減少，故障頻率突出，fd、2fd分別對應故障頻率和其2倍頻。

之后，我們分析滾動軸承內圈故障信號。圖5(a)中軸承內圈信號噪聲較多，故障脈沖信號難以清晰識別，圖5(b)中故障信息時頻面內分布的大量噪聲使得故障脈沖特征不明顯，圖5(c)是信號的包絡譜，fd為對應故障頻率，2fd是其2倍頻。

圖5 有缺陷的軸承內圈振動信號Fig.5 The inner-race defective bearing vibration signal

采用時域流形稀疏重構的方法處理故障軸承內圈信號。圖6(a)中重構后的時域波形故障脈沖明顯規(guī)則。圖6(b)在重構后信號的時頻分布中故障脈沖特征變得十分清晰。圖6(c)本文方法重構信號的包絡譜顯示，噪聲得到抑制，故障特征明顯增強，fd為故障頻率，2fd為其2倍頻。

圖6 基于時域流形稀疏重構的軸承內圈故障信號分析結果Fig.6 Analyzed result of the inner-race defective bearing signal based on TM sparse reconstruction

綜上，對軸承內外圈局部缺陷的振動信號使用時域流形稀疏重構的方法處理，能夠結合TM和MP方法的優(yōu)點，在保持幅值信息的條件下，消除噪聲，清晰地提取出正確數量的故障特征脈沖，且與原信號的幅值匹配良好。說明該方法是一種有效的抑制信號噪聲增強故障特征的信號重構方法。

3.2 和其他方法的對比

時域流形稀疏重構方法結合了TM和MP兩種方法的優(yōu)點，這里將以上分析結果與TM和MP的結果進行對比。

從原子選取的角度比較時域流形稀疏重構方法和MP算法。圖7為軸承內外圈故障信號分別在MP算法和時域流形稀疏重構方法中的迭代殘值能量變化曲線。圖中可直接觀察到本文方法殘值能量下降的很快，且在相同ε的條件下，本文方法分解重構原信號需要的原子數目明顯少于MP算法。這些均說明本文方法在選取原子表達信號時效率更高，相比較MP算法，能夠更有效地避免冗余原子對噪聲的過度表達。

圖7 軸承故障信號TM稀疏重構和MP方法迭代殘值能量變化Fig.7 Changes of iteration residual energy of the defective bearing signals by TM sparse reconstruction and MP methods

從最終處理結果來比較時域流形稀疏重構方法和TM、MP方法。對于滾動軸承外圈故障信號，圖8(a)、圖8(b)中時域流形稀疏重構的結果，消除了大部分噪聲，清晰地提取到故障脈沖。圖8(c)、圖8(d)中雖然TM方法抑制了噪聲，但故障特征沒有本文方法得到的結果明顯，而且時頻譜中脈沖形狀畸變，同時TM的結果幅值信息不正確。圖8(e)、圖8(f)中MP也能夠消除噪聲提取故障脈沖，但是MP方法重構信號時對噪聲過度表達致使提取到一些偽脈沖，使得故障特征不明顯。故在滾動軸承外圈故障信號的分析中，時域流形稀疏重構方法比TM和MP方法都更加有效。

(a) 時域流形稀疏重構的結果(b) 時域流形稀疏重構結果的時頻分布

(c) TM的結果(d) TM結果的時頻分布

(e) MP的結果(g) MP結果的時頻分布圖8 不同方法分析軸承外圈故障信號的結果Fig.8Resultsoftheouter-racedefectivebearingsignalbydifferentmethods

對于滾動軸承內圈故障信號，圖9顯示了時域流形稀疏重構方法與TM、MP方法的對比結果。圖9(a)、圖9(b)中采用時域流形稀疏重構方法，噪聲有明顯的抑制，故障脈沖特征明顯增強。圖9(c)、圖9(d)中TM方法抑制了噪聲，但故障脈沖特征沒有本文方法清晰，且時頻譜上脈沖發(fā)生畸變，同時TM結果幅值信息嚴重失真。圖9(e)、圖9(f)中MP算法也能夠消除噪聲提取故障脈沖， 其對噪聲信號的過度表達致使其

(a) 故障信號(b)故障信號的時頻分布

(c) 時域流形稀疏重構的結果(d) 時域流形稀疏重構結果的時頻分布

(e) TM的結果(f) TM結果的時頻分布圖9 不同方法分析軸承內圈故障信號的結果Fig.9Resultsoftheinner-racedefectivebearingsignalbydifferentmethods

得到的故障特征沒有本文方法明顯。故在軸承內圈故障信號分析中，也顯示了時域流形稀疏重構方法比TM、MP方法具有更好的效果。

4 結 論

本文針對軸承故障信號降噪和故障特征增強問題，提出了時域流形稀疏重構的理論分析方法。所提出的方法利用了TM和MP兩者的優(yōu)點，克服了兩者的不足，具有兩個明顯的優(yōu)點：①時域流形稀疏重構利用了時域流形對應非平穩(wěn)信號中本質的動力學結構特征，能夠把隱含在軸承故障信號中的故障特征有效提取出來，具有顯著的噪聲抑制效果，一定程度上避免了稀疏重構過程中對噪聲過度表達的問題；②時域流形稀疏重構利用匹配追蹤的方法重構信號克服了時域流形學習非線性處理帶來的幅值信息失真問題，保持了信號的幅值信息，并利用稀疏的特性增強了故障特征。針對實驗軸承數據中內外圈故障信號的實例分析，時域流形稀疏重構方法獲得了良好的結果，顯示了該方法相比TM和MP分析方法的優(yōu)越性。

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Rolling element bearing fault signature enhancement based on a time-domain manifold sparse reconstruction method

ZHANG Wenqing1,2， HE Qingbo1， DING Xiaoxi1， HAN Jie2，XIE Mingwei2

(1. Department of Precision Machinery and Precision Instrumentation, University of Science and Technology of China, Hefei 230026, China;2. Facility Design and Instrumentation Institute, China Aerodynamic Research and Development Center, Mianyang 621000, China)

Vibration signal denoising has been one of the most important tasks in signal processing for rolling element bearing fault diagnosis. This paper proposed a new method named time-domain manifold sparse reconstruction method by combining the advantages of time-domain manifold (TM) and matching pursuit (MP). The TM shows the merits of noise suppression and fault information enhancement but it cannot maintain the amplitude information of the signal due to its nonlinear processing. The ability of denoising for the MP is related to the atom itself. Because of the inability to ensure that the selected atoms are the most suitable, the ability of the noise reduction is limited. The proposed method overcomed these problems. Firstly, we found the most appropriate atoms from an overcomplete dictionary based on the TM result by the MP method. Secondly, we computed the coefficients from the atoms and the origianl signal. Finally, we reconstructed the signal by the atoms and the coefficients achieved before. The proposed method has been employed to deal with defective bearing signals to verify the effectiveness. The results show that the new method is superior to the TM and the MP.

time-domain manifold; matching pursuit;sparse reconstruction; rolling element bearing fault diagnosis

新世紀優(yōu)秀人才支持計劃資助(NCET-13-0539)

2015-06-25 修改稿收到日期：2015-10-30

張文清 男，研究生，助理工程師，1990年生

何清波 男，博士，副教授，1980年生 E-mail：qbhe@ustc.edu.cn

TH17; TP277

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.24.030