山東省廣饒縣第一中學(xué)　　孟　　偉

均值不等式的研究

山東省廣饒縣第一中學(xué)孟偉

這個(gè)看似復(fù)雜的題實(shí)際上用n個(gè)二元均值不等式就可以解決，其中用到的手法就是局部分析處理，難題就是一些簡(jiǎn)單事實(shí)的羅列.

高中數(shù)學(xué)不等式均值

在不等式中，常常遇到n個(gè)變?cè)膯?wèn)題.這時(shí)，常用的手法是拿出一個(gè)或兩個(gè)變?cè)獑为?dú)處理，解決局部問(wèn)題從而達(dá)到解決整體問(wèn)題的目的.

例1設(shè)x1，x2，……，xn都是正數(shù).證明

最自然的想法是證明左邊的每一個(gè)式子都分別大于等于右邊的每一個(gè)式子即可.由均值不等式，……可類(lèi)似的得到n個(gè)式子，將上式疊加，即得

再移項(xiàng)，即證題中不等式.這個(gè)看似復(fù)雜的題實(shí)際上用n個(gè)二元均值不等式就可以解決，其中用到的手法就是局部分析處理，難題就是一些簡(jiǎn)單事實(shí)的羅列.

在證明不等式時(shí)，比如要證x1+x2+……+xn≤0，可以證每個(gè)變量小于等于0或使其小于等于多個(gè)易于求和的式子，使這些式子相加為0即可達(dá)到證明.

例2設(shè)x1，x2，x3〉0，證明

有時(shí)在證明不等式的問(wèn)題中，我們常常先找出不等式等號(hào)成立的條件，從而進(jìn)一步證明.

我們發(fā)現(xiàn)x1=4x2=16x3時(shí)，等號(hào)成立.

在其他的一些用均值不等式證明的題中，有時(shí)還需構(gòu)造的技巧，適當(dāng)添加項(xiàng).比如在用n元均值不等式時(shí)，可構(gòu)造出n個(gè)式子，再利用不等式.

由以上的兩個(gè)題可看出，局部分析可有力地解決整體問(wèn)題.微積分是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，就是從微觀的角度來(lái)解決問(wèn)題.一般只有從微觀上可反映問(wèn)題的本質(zhì)，整體問(wèn)題用局部分析的方式解決.這本身就體現(xiàn)一種思想，非常重要的思想.