向士杰

摘 要 本文從學(xué)生數(shù)學(xué)概念的理解、保持和提取等方面探討學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的一些有效策略，同時(shí)也分析了影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的因素。

關(guān)鍵詞 初中生 數(shù)學(xué)概念 理解 因素

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

在初中階段涉及到的數(shù)學(xué)概念非常多，分析學(xué)生概念理解與形成過程，有助于教師有效地改善教學(xué)，提高概念教學(xué)的效率。現(xiàn)在結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛约旱囊稽c(diǎn)拙見。

1學(xué)生數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的過程

學(xué)生數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)可分為理解、保持和提取的三個(gè)階段，因此，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)策略也相應(yīng)地分為理解策略、保持策略和提取策略。

1.1數(shù)學(xué)概念的初步認(rèn)知過程

概念的理解主要是如何對(duì)概念的感知，把握其本質(zhì)，建立概念。概念理解是概念學(xué)習(xí)最關(guān)鍵的階段。

（1）親歷概念的形成過程。在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中，盡可能聯(lián)系現(xiàn)實(shí)原型，分析生活中常見的事例，觀察有關(guān)的實(shí)物、圖示等，多渠道使學(xué)生在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上建立概念。

（2）準(zhǔn)確把握概念的本質(zhì)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，通過體驗(yàn)、辨析、比較、類比、變式等，主動(dòng)進(jìn)行概括、辨別、再概括，排除概念的非本質(zhì)特征，準(zhǔn)確概括出概念的本質(zhì)特征。

（3）體驗(yàn)。以《中心對(duì)稱》中概念中心對(duì)稱圖形學(xué)習(xí)為例：硬紙條——線段AB的中點(diǎn)O用圖釘釘在小黑板上，讓學(xué)生演示線段AB繞著它的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)多少最少的角度后的線段和原線段重合，即點(diǎn)A的位置轉(zhuǎn)到點(diǎn)B的位置，點(diǎn)B的位置轉(zhuǎn)到點(diǎn)A的位置；再演示硬紙制作的平行四邊形ABCD，把平行四邊形ABCD硬紙繞其對(duì)角線交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)多少最少的角度后的平行四邊形和原平行四邊形重合，即點(diǎn)A的位置轉(zhuǎn)到點(diǎn)C的位置，點(diǎn)C的位置轉(zhuǎn)到點(diǎn)A的位置，同樣點(diǎn)B的位置轉(zhuǎn)到點(diǎn)D的位置，點(diǎn)D的位置轉(zhuǎn)到點(diǎn)B的位置，類似地，矩形、正方形、菱形等都具有這種性質(zhì)，即圖形繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180€昂蟮耐夾斡朐夾沃睪希妊切巍⒄切蚊揮姓庵中災(zāi)剩傭鮒行畝猿仆夾蔚畝ㄒ??？

（4）辨析。在對(duì)概念有初步理解之后，可以適當(dāng)舉一些概念判斷題讓學(xué)生辨認(rèn)比較，有利于澄清學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，使學(xué)生在實(shí)踐中自我檢驗(yàn)所學(xué)概念的掌握程度和運(yùn)用能力，有利于對(duì)概念的準(zhǔn)確理解。如在學(xué)習(xí)了最簡(jiǎn)二次根式的概念后，讓學(xué)生辨析下列各式：，，等，哪些是最簡(jiǎn)二次根式？哪些不是？為什么？通過這樣的練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概念作簡(jiǎn)單判斷的能力，而每做一次判斷，概念的本質(zhì)屬性就在學(xué)生的思想里重復(fù)一次，達(dá)到再進(jìn)一步理解新概念的目的。

（5）比較。有比較才有鑒別。例如：等式與方程、方程的解與解方程、因式分解與整式乘法、平方和與和的平方等，學(xué)生常常分辨不清。教學(xué)時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生找出它們的異同點(diǎn)，加深對(duì)概念的理解。有些難以理解的概念，還可通過比較化難為易，揭示本質(zhì)，例如：比較正方形和正五邊形的異同點(diǎn)等等。

（6）類比。有時(shí)，通過概念的類比，可以更好地理解概念。如：分式與分?jǐn)?shù)、不等式與方程、相似三角形與全等三角形等類比，這樣類比之后，溫故知新、互相裨補(bǔ)，加深概念理解的效果。

（7）變式。在數(shù)學(xué)概念的非本質(zhì)屬性方面進(jìn)行變化，目的是為了使學(xué)生有機(jī)會(huì)親自經(jīng)歷概念的概括過程，使學(xué)生所掌握的概念更加精確、穩(wěn)定和易于遷移，避免把非本質(zhì)屬性當(dāng)成本質(zhì)屬性，使學(xué)生更好地理解概念的本質(zhì)。在學(xué)習(xí)三角形的高這一概念時(shí)，為學(xué)生提供一些在形狀（銳角、直角、鈍角三角形）、位置等方面有變化的不同三角形的例證，讓學(xué)生通過對(duì)這幾種典型變式的思維加工，抽象概括出“三角形的高”的定義。因此，學(xué)生明白了①三角形一邊上的高就是從不在該邊上的一個(gè)頂點(diǎn)向其所在的直線作垂線，所得的垂線段就是該邊上的高；②高既可在三角形內(nèi)又可在三角形外，只要是從一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)吽诘闹本€所作的線段是垂直于對(duì)邊的即可。

特別要指出的是：在初中前期，學(xué)生頭腦中科學(xué)的上位概念還比較少，學(xué)生數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)以概念形成為主，隨著知識(shí)的積累，初始概念的掌握，為同化新概念奠定了基礎(chǔ)，概念同化逐漸成為概念學(xué)習(xí)的主要方式。

總之，在概念理解階段，要幫助學(xué)生剖析概念的內(nèi)涵和外延，從質(zhì)和量?jī)蓚€(gè)方面理解概念，再對(duì)概念本身逐層剖析，還要從相近、相關(guān)、相反等方向分析、挖掘概念固有的本質(zhì)。

1.2數(shù)學(xué)概念的保持過程

概念的保持就是鞏固概念認(rèn)知的已有成果，主要應(yīng)做好概念的總結(jié)、歸類和繼續(xù)深化。

（1）及時(shí)復(fù)習(xí)。數(shù)學(xué)概念，隨著時(shí)間的推移，總是要不斷遺忘的。根據(jù)艾賓洛斯的遺忘曲線，復(fù)習(xí)應(yīng)及時(shí)進(jìn)行，具體包括劃線、圈重點(diǎn)、復(fù)述、畫知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖等等。

（2）突出關(guān)鍵詞。數(shù)學(xué)概念是借助語言和符號(hào)來表達(dá)的，定義中都存在關(guān)鍵性的詞語，用于辨別概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性。例如：在學(xué)習(xí)“數(shù)軸”的概念時(shí)，可以概括為三要素：原點(diǎn)、方向和單位長度，準(zhǔn)確地把握了數(shù)軸的本質(zhì)。

（3）注意內(nèi)涵與外延。有些概念之間從表面看好像差別不大，學(xué)生常?；煸谝黄?，教學(xué)時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生找出它們的異同點(diǎn)，從概念的內(nèi)涵和外延上進(jìn)行區(qū)別和比較。如乘法與冪這兩個(gè)概念，可比較它們的內(nèi)涵：前者是指求若干個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，是特殊的乘法；后者是指乘方的結(jié)果。an表示乘法運(yùn)算，讀作a的n次方；若表示運(yùn)算結(jié)果，讀作a的n次冪。又如弧長相等與等弧是兩個(gè)不同概念，只有通過概念的內(nèi)涵和外延比較，才能區(qū)別它們是數(shù)量關(guān)系還是幾何圖形的區(qū)別，才能理解等弧只能在同圓或等圓里產(chǎn)生。

（4）利用屬種關(guān)系。對(duì)有些數(shù)學(xué)概念，形成概念系統(tǒng)，使學(xué)生對(duì)概念加深理解和牢固掌握。例如：我們可以從宏觀的視角認(rèn)識(shí)幾何圖形，有點(diǎn)、線、簡(jiǎn)單直線形、三角形、四邊形、多邊形、圓的概念發(fā)展序列，又可以從四邊形這個(gè)概念出發(fā)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)四邊形，平行四邊形是個(gè)小概念，此后有矩形、菱形，正方形是更小的概念，如果我們把這些概念系統(tǒng)化，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)關(guān)系圖，學(xué)生就容易掌握了。概念之間的這種屬種關(guān)系，在教材中常常是分散出現(xiàn)的，因此，教學(xué)中應(yīng)適時(shí)的將它們聯(lián)系起來，歸納、概括于一個(gè)系統(tǒng)之中。

（5）及時(shí)反思。教師不能代替，但是教師也要及時(shí)向?qū)W生提出各種問題，幫助學(xué)生監(jiān)測(cè)自己概念的理解程度，學(xué)生自己也要不斷地嘗試概念，發(fā)現(xiàn)問題，及時(shí)糾正理解上的偏差。經(jīng)過多次的概念理解再理解，才能有效地保持正確的概念。

1.3數(shù)學(xué)概念的提取過程

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用，解決實(shí)際問題，因此這也應(yīng)是概念學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。概念的提取是把已掌握的概念用于實(shí)際情境。

（1）相似性。學(xué)生利用情景相似性策略，可以有效提取需要的數(shù)學(xué)概念，這就需要學(xué)生做一些典型的數(shù)學(xué)概念題。

（2）自動(dòng)化。自動(dòng)化主要是通過操練和練習(xí)而獲得的。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，通過課內(nèi)、課外的反復(fù)操練和練習(xí)（當(dāng)然這種操練和練習(xí)最好與精加工策略相配合）就能達(dá)到熟能生巧的程度。一旦需要有關(guān)的數(shù)學(xué)概念時(shí)，就能無意識(shí)地、準(zhǔn)確地被提取出來。如絕對(duì)值概念是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，只要把握概念，才能在具體的題目中靈活解題，事半功倍。

2影響數(shù)學(xué)概念理解的因素

包括認(rèn)知因素、非認(rèn)知因素，主要因素表現(xiàn)為：學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、抽象概括的能力、語言表達(dá)能力、元認(rèn)知能力、學(xué)習(xí)材料及有效組織等，這些因素又讓學(xué)生在學(xué)習(xí)策略上產(chǎn)生影響，即學(xué)生面對(duì)新概念學(xué)習(xí)所采取的對(duì)策，包括注意、記憶和思維方式的選擇與修正等。例如，人們除了通過書籍、課堂學(xué)習(xí)獲得知識(shí)外，還有部分是在平常的生活中積累個(gè)人經(jīng)驗(yàn)而成的，這類經(jīng)驗(yàn)知識(shí)叫前概念，也叫日常概念。正實(shí)數(shù)在日常生活中常見常用，加上一數(shù)的和比減去同一個(gè)數(shù)的差大，擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)后，大數(shù)還大等日常概念，嚴(yán)重干攏了學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)大小的比較，極易引起對(duì)a+b>a€Hab，<3a恒成立的錯(cuò)判，而對(duì)a+b≤a€Hab，≥3a產(chǎn)生理解的障礙。又例如學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念垂線時(shí)，學(xué)生總是基于他原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)——日常生活中的“垂線”（實(shí)指“鉛垂線”），這一前概念對(duì)數(shù)學(xué)概念“垂線”的學(xué)習(xí)既有促進(jìn)學(xué)習(xí)的一面，又有阻止學(xué)生深入理解概念的一面，學(xué)生形成垂線概念之所以遇到困難，與學(xué)生把過去經(jīng)驗(yàn)不恰當(dāng)?shù)剡w移到新情境中有關(guān)。前概念的片面性，影響學(xué)生不能全面、深入地考慮問題，導(dǎo)致分類討論不全，解題中思維不嚴(yán)密，審題不慎重，忽略隱蔽條件等錯(cuò)誤。前概念對(duì)學(xué)生的影響具有長期性、頑固性、隱蔽性等特點(diǎn)。在有些情況中，學(xué)生雖然在課堂上接受了科學(xué)概念，但在思維的深處，前概念依然存在。又如絕對(duì)值的概念，盡管學(xué)生能記住絕對(duì)值的性質(zhì)、代數(shù)幾何意義，但具體運(yùn)用時(shí)，還是出現(xiàn)的解題不全，到學(xué)習(xí)了二次根式后，還是會(huì)犯=a€Ha1的類似錯(cuò)誤。