徐德均

(江蘇省南通中學(xué)，226001)

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“螺旋式提升”觀點(diǎn)下的向量教學(xué)

徐德均

(江蘇省南通中學(xué)，226001)

課程“模塊化”,可以使得同一知識(shí)在不同模塊中多次出現(xiàn),呈現(xiàn)“螺旋式提升”.即學(xué)生在學(xué)習(xí)這些知識(shí)時(shí),要跟隨學(xué)生知識(shí)的積累程度和學(xué)習(xí)能力大小,從知識(shí)的深度和廣度上不斷加強(qiáng)提高,從而在體會(huì)知識(shí)的聯(lián)系和內(nèi)在關(guān)聯(lián)上不斷加深提升,達(dá)到認(rèn)知度螺旋提升,知識(shí)逐步形成、理解和應(yīng)用.

向量是既有大小又有方向的量,它同時(shí)具備代數(shù)(大小)與幾何(方向)兩大屬性,是近代數(shù)學(xué)最重要和最基本的概念之一,是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的主要概念之一,也是溝通幾何、代數(shù)、三角等內(nèi)容的橋梁,具有豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用.它在高中數(shù)學(xué)課程不同的模塊中多次呈現(xiàn),符合現(xiàn)行課程的“模塊化”,也符合所倡導(dǎo)的“螺旋式提升”的教學(xué)思想.本文從高中學(xué)段中向量的教學(xué)內(nèi)容、目標(biāo)、要求、關(guān)注與應(yīng)用等五個(gè)方面就其“螺旋式提升”,作簡(jiǎn)單梳理與歸納小結(jié),以期得到廣大同行的指導(dǎo).

一、教學(xué)內(nèi)容由基礎(chǔ)到本質(zhì)的“螺旋式”生成

必修4第1章“任意角的三角函數(shù)”中,呈現(xiàn)了向量的基本模型:有向線段與有向線段的數(shù)量.規(guī)定了方向(即規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn))的線段稱(chēng)為有向線段,有向線段的長(zhǎng)度添上正號(hào)(正方向)或負(fù)號(hào)(負(fù)方向)后所得的數(shù)叫做有向線段的數(shù)量;指出有向線段是向量幾何表示,有向線段的長(zhǎng)度就是向量的大小(長(zhǎng)度或模).有向線段與有向線段的數(shù)量是向量的基本內(nèi)容.

必修4第2章“平面向量”中,從現(xiàn)實(shí)生活中如位移、速度、加速度、力等量歸納定義向量及表示,并從向量的大小和方向?qū)傩远x了零向量、單位向量、平行向量(共線向量)、相等向量等特殊向量;定義了向量的加法、減法、數(shù)乘等線性運(yùn)算及其運(yùn)算法則和幾何意義;介紹了平面向量基本定理、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算;介紹了向量的數(shù)量積與數(shù)量積的運(yùn)算律;介紹了向量在物理、平面幾何等應(yīng)用.在有向線段與有向線段的數(shù)量知識(shí)基礎(chǔ)上全面規(guī)范定義了有關(guān)向量的基本概念與基本運(yùn)算,是一種合情的知識(shí)生成.

必修4第3章“兩角和與差的三角函數(shù)”中,應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)表示和數(shù)量積公式,推導(dǎo)兩角差的余弦公式,是全面定義向量等知識(shí)后的一種合理的知識(shí)生成.

選修2-1第3章“空間向量與立體幾何”中,將平面向量推廣到空間向量,介紹了空間共線向量定理、共面向量定理、空間向量的基本定理、空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積等及其運(yùn)算;定義了直線的方向向量與平面的法向量、介紹了空間線面關(guān)系的判定、空間的角與距離的計(jì)算等應(yīng)用.這是一種合情合理的推廣,并且在推廣的基礎(chǔ)上進(jìn)行著知識(shí)的生成.

由此可見(jiàn)，向量知識(shí)在不同模塊中增加.知識(shí)內(nèi)容從基本內(nèi)容到規(guī)范定義,再?gòu)囊?guī)范定義到知識(shí)推導(dǎo),最后進(jìn)行知識(shí)推廣.不同模塊中的教學(xué)內(nèi)容是一個(gè)層層“螺旋式”生成的過(guò)程.

二、教學(xué)目標(biāo)由低檔到高級(jí)的“螺旋式”遞增

有向線段的教學(xué)目標(biāo):學(xué)生簡(jiǎn)單了解用有向線段求最簡(jiǎn)單三角函數(shù)方程與簡(jiǎn)單三角不等式.目標(biāo)簡(jiǎn)單低檔.

平面向量的教學(xué)目標(biāo):學(xué)生在了解向量豐富的實(shí)際背景前提下,理解平面向量的概念及其運(yùn)算法則;能用向量幾何與代數(shù)語(yǔ)言和方法表述并解決數(shù)學(xué)和物理中的一些實(shí)際問(wèn)題,發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.目標(biāo)為理解加能用,屬中級(jí)目標(biāo).

空間向量的教學(xué)目標(biāo):學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用空間向量的方法處理立體幾何中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判斷與求空間角與距離等度量的問(wèn)題;體會(huì)向量方法在研究幾何圖形中的作用,培養(yǎng)和發(fā)展推理論證能力、邏輯思維能力、運(yùn)用向量語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)和交流的能力、空間想像能力和幾何直觀能力.目標(biāo)為學(xué)會(huì)加體會(huì),屬綜合高級(jí)目標(biāo).

空間向量的教學(xué)目標(biāo)不僅是讓學(xué)生在經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間類(lèi)比和推廣,而且是學(xué)生在運(yùn)用向量方法解決立體幾何問(wèn)題的過(guò)程中,感悟運(yùn)算、推理在探索和發(fā)現(xiàn)中的作用,體會(huì)數(shù)學(xué)研究方法的模式化特點(diǎn),感受理性思維的力量,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

以上介紹了向量在不同模塊中的教學(xué)目標(biāo).教學(xué)從簡(jiǎn)單了解到能用,再到學(xué)會(huì)、體會(huì).教學(xué)目標(biāo)是一個(gè)層層“螺旋式”遞增的過(guò)程.

黑龍江省冰雪旅游業(yè)發(fā)展過(guò)程中存在的一個(gè)突出問(wèn)題就是：冰雪旅游文化和冰雪旅游資源的融合不夠深入，沒(méi)有形成相互依存，相互促進(jìn)的良好發(fā)展態(tài)勢(shì)。這就要求科學(xué)合進(jìn)地規(guī)劃：首先，對(duì)冰雪文化進(jìn)行宣揚(yáng)，通過(guò)冰雪節(jié)、冰雕節(jié)、冰雪攝影等藝術(shù)活動(dòng)對(duì)冰雪文化進(jìn)行宣揚(yáng)，讓廣大群眾增強(qiáng)對(duì)冰雪旅游文化的認(rèn)同感；其次，結(jié)合黑龍江省的發(fā)展歷史和地方特色，推出一整套統(tǒng)一和諧的文化體系，使得冰雪旅游發(fā)展過(guò)程中的文化融合具有良好的形態(tài)；最后，政府做好頂層設(shè)計(jì)，引導(dǎo)黑龍江省冰雪旅游文化和冰雪旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展的深度融合，形成以文化為依托，冰雪為表現(xiàn)的一種持續(xù)性特色冰雪產(chǎn)業(yè)。

三、教學(xué)要求由了解到應(yīng)用的“螺旋式”提高

有向線段的教學(xué)要求:學(xué)生了解有向線段與其數(shù)量的概念,了解用有向線段幾何表示正弦、余弦和正切.教學(xué)要求以了解為主.

平面向量的教學(xué)要求:了解向量的實(shí)際背景;理解平面向量的基本概念和幾何表示;理解向量相等的含義.掌握向量加、減法和數(shù)乘運(yùn)算,理解其幾何意義;理解向量共線定理.了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義；了解平面向量的基本定理及其意義.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示;會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算;理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件(對(duì)線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式不作要求)；理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表示,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;能利用數(shù)量積表示兩個(gè)向量夾角的余弦,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)非零向量是否垂直，了解向量是一種處理幾何、物理等問(wèn)題的工具.教學(xué)要求以理解、會(huì)用為主.

空間向量的教學(xué)要求:了解空間向量與平面向量的聯(lián)系與區(qū)別;了解向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程.了解空間向量、共線向量、共面向量等概念;理解空間向量共線、共面的充要條件;了解空間向量的基本定理及其意義;掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì);掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.理解空間向量的夾角的概念;掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運(yùn)算律;了解空間向量的數(shù)量積的幾何意義;掌握空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)形式;能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.理解直線的方向向量與平面的法向量的意義;會(huì)用待定系數(shù)法求平面的法向量.能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的垂直和平行關(guān)系.能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理);能用向量方法判斷一些簡(jiǎn)單的空間線面的平行和垂直關(guān)系.能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題;體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用.教學(xué)要求以理解、掌握、能用為主.

以上介紹了向量在不同模塊中的教學(xué)要求.從了解為主到理解、能用為主,再到理解、掌握、能用為主.教學(xué)要求是一個(gè)層層“螺旋式”提高的過(guò)程.

四、教學(xué)關(guān)注由表面到內(nèi)涵的“螺旋式”拔節(jié)

有向線段的教學(xué)關(guān)注:從幾何角度看有向線段是有方向,從代數(shù)角度看有向線段的數(shù)量可以取正數(shù)、負(fù)數(shù)和零.三角函數(shù)線就是用向量來(lái)表示角的正弦、余弦和正切值.關(guān)注的是向量的初步感知.

平面向量的教學(xué)關(guān)注:向量概念的教學(xué)應(yīng)從物理背景和幾何背景入手.物理背景是力、速度、加速度等概念；幾何背景是有向線段.引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量解決一些物理和幾何問(wèn)題.例如,利用向量計(jì)算力使物體沿某方向運(yùn)動(dòng)所做的功,利用向量解決平面內(nèi)兩條直線平行與垂直的位置關(guān)系等問(wèn)題.相反，在中學(xué)階段對(duì)于用向量解決較為復(fù)雜的平面幾何問(wèn)題要求很低.在向量的非正交分解、向量投影的概念只要求了解,無(wú)需展開(kāi),線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式及應(yīng)用現(xiàn)行中學(xué)階段不作要求.關(guān)注的是如何使向量符合從哪里來(lái),再到哪里去的數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性,是向量知識(shí)的內(nèi)涵.

空間向量的教學(xué)關(guān)注:考慮到空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)、空間向量的數(shù)量積、空間向量的共線和垂直的充要條件等,與平面向量是基本一致的.因此,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比猜想、自主探索,得出相應(yīng)的性質(zhì)和法則.

向量法解立體幾何問(wèn)題主要包括:證明一些定理(如空間位置關(guān)系的一些判定定理)和度量計(jì)算.教學(xué)時(shí),應(yīng)關(guān)注讓學(xué)生體會(huì)向量的思想方法,不要過(guò)于追求解題技巧性.度量計(jì)算,只關(guān)注用向量法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算,而不要過(guò)于強(qiáng)調(diào)解決有關(guān)距離的計(jì)算等問(wèn)題.

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用類(lèi)比、歸納等方法,經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程,體驗(yàn)數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)上的和諧性,弄清楚空間向量與平面向量的區(qū)別與聯(lián)系.關(guān)注的是教學(xué)核心使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

以上介紹了向量在不同模塊中的教學(xué)關(guān)注.從關(guān)注有向線段的向量的初步感知,到關(guān)注向量知識(shí)的內(nèi)涵,再到關(guān)注學(xué)生的終身學(xué)習(xí).教學(xué)關(guān)注在不同模塊是一個(gè)層層“螺旋式”拔節(jié)提升的過(guò)程.

五、向量解法由簡(jiǎn)單到綜合的“螺旋式”延展

向量既是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中一部分,也是數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法之一.

向量法是從單純的圖形特征或代數(shù)特征求解延展到數(shù)形結(jié)合求解的主要數(shù)學(xué)方法.向量法含直接利用有向線段、向量基本知識(shí)求解的簡(jiǎn)單過(guò)程,也含有用向量的知識(shí)求解復(fù)雜問(wèn)題的綜合過(guò)程.它是既有平面中單純的向量簡(jiǎn)單運(yùn)算運(yùn)用,也包含判斷空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系、求空間距離(點(diǎn)面、異面直線、線面和面面之間的距離)和空間角(異面直線、直線與平面和二面角等角)等綜合應(yīng)用.這些應(yīng)用是含有由簡(jiǎn)單到綜合的“螺旋式”延展過(guò)程.

再如，向量法推導(dǎo)兩角差的余弦公式,體現(xiàn)了向量與三角相結(jié)合的綜合應(yīng)用過(guò)程.如圖2,在直角坐標(biāo)系xOy中,以x軸為始邊分別作角α、β,終邊分別與單位圓交于P1(cosα,sinα)、P2(cosβ,sinβ),則∠P1OP2=α-β.由于余弦函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù),所以,我們只需考慮0≤α-β<π的情況.

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,

這就是兩角差的余弦公式.

如果說(shuō)向量法推導(dǎo)兩角差的余弦公式,是向量與三角兩部分知識(shí)結(jié)合應(yīng)用的過(guò)程,那么,用向量知識(shí)判斷空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(平行、垂直),求空間角、距離等則是向量與幾何結(jié)合的綜合應(yīng)用.這類(lèi)例子很多，在此不再贅述.

(本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度課題《高中數(shù)學(xué)概念研究性學(xué)習(xí)案例研究》)B-b/2015/02/203)成果)