何世方

(廣西田東縣田東中學(xué)，531599)

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談中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題變式的教學(xué)

何世方

(廣西田東縣田東中學(xué)，531599)

一、問(wèn)題的提出

習(xí)題是訓(xùn)練學(xué)生思維的材料,是教者引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想、方法以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的技能技巧的載體．通過(guò)習(xí)題的變式教學(xué)可以幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本思想、基本方法以及學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式去考慮問(wèn)題、處理問(wèn)題．

現(xiàn)在的教學(xué)資源很豐富,教學(xué)資料隨處可得,用哪種資料的習(xí)題,不用哪種資料習(xí)題,教師和學(xué)生很難做出選擇．根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),認(rèn)為教師所選用的習(xí)題應(yīng)“源于課本”,然后對(duì)它進(jìn)行變式,使它“高于課本”.變式時(shí)要緊扣考試說(shuō)明,以“考綱為綱”．

高考試題常常源于課本,根據(jù)課本習(xí)題進(jìn)行變式.如何進(jìn)行課本習(xí)題的變式教學(xué)，對(duì)此，本文談?wù)勛约旱目捶ǎ?/p>

對(duì)于課本的習(xí)題,需要教師去領(lǐng)會(huì)和研究．在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,搞好習(xí)題變式的教學(xué),特別是搞好課本習(xí)題的變式教學(xué),不僅能加深基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握,更重要的是可以開發(fā)學(xué)生智力,培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

二、習(xí)題變式教學(xué)的原則

習(xí)題變式教學(xué),不同于習(xí)題課的教學(xué),它與新授課、習(xí)題課和復(fù)習(xí)課并存,一般情況下不單獨(dú)成課．因此,對(duì)于不同的授課,對(duì)習(xí)題的變式也應(yīng)不同．例如,新授課的習(xí)題變式應(yīng)服務(wù)于本節(jié)課的教學(xué)目的;習(xí)題課的習(xí)題變式應(yīng)以本章節(jié)內(nèi)容為主,適當(dāng)滲透一些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法;復(fù)習(xí)課的習(xí)題變式不但要滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法,還要進(jìn)行縱向和橫向的聯(lián)系,變式習(xí)題要緊扣考綱．在習(xí)題變式教學(xué)時(shí),要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀,切忌隨意性和盲目性．

選擇課本習(xí)題進(jìn)行變式,不要“變”得過(guò)于簡(jiǎn)單,過(guò)于簡(jiǎn)單的變式題是簡(jiǎn)單的“重復(fù)勞動(dòng)”,影響學(xué)生思維的質(zhì)量;難度“變”大的變式習(xí)題易挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,使學(xué)生難以獲得成功的喜悅,長(zhǎng)此以往,將使學(xué)生喪失自信心.因此,在選擇課本習(xí)題進(jìn)行變式時(shí)要變得有“度”．

在習(xí)題變式教學(xué)中,教師要讓學(xué)生主動(dòng)參與,不要總是教師“變”,學(xué)生“練”．要鼓勵(lì)學(xué)生大膽地“變”,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神．

三、習(xí)題變式教學(xué)的方法

下面以一道習(xí)題為例,談?wù)劻?xí)題變式教學(xué)的方法．

原題1(高中數(shù)學(xué)(人教版)新教材必修1第39頁(yè)習(xí)題1.3A組第1題)畫出函數(shù)f(x)=x2-5x+6的圖象,并根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間,以及在各單調(diào)區(qū)間上函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)．

1.條件特殊化

條件特殊化是指將原題中一般條件,改為具有特定性的條件,使題目具有特殊性．將課本習(xí)題條件特殊化,引導(dǎo)學(xué)生挖掘條件,考察特定概念．例如,將原題改為:

變式1畫出函數(shù)f(x)=|x2-5x-6|的圖象,并根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間,以及在各單調(diào)區(qū)間上函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)．

這不僅考察了絕對(duì)值的概念,也考察了解一元二次方程,這符合由一般到特殊的認(rèn)識(shí)規(guī)律,學(xué)生容易接受．

2.改變背景

改變背景是指在某些條件不變的情況下,改變另一些條件的形式,使問(wèn)題得到進(jìn)一步深化．在教學(xué)過(guò)程中,變換習(xí)題的形式,可激發(fā)學(xué)生的探求欲望,從而提高學(xué)生的創(chuàng)新能力．例如,將原題改為:

變式2畫出函數(shù)f(x)=x2-5|x|-6的圖象,并根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間,以及在各單調(diào)區(qū)間上函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)．

這樣變式不僅考察了函數(shù)的圖象,而且考察了偶函數(shù)的定義和性質(zhì).

變式3求函數(shù)f(x)=x2-5|x|-6在區(qū)間[-3,5]上的最值．

變式4求函數(shù)y=log2(x2-5x-6)的單調(diào)區(qū)間．

這樣的變式練習(xí),學(xué)生可以畫圖得出,也可以通過(guò)數(shù)學(xué)方法得出,通過(guò)這樣的變式可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,且能鞏固基礎(chǔ)知識(shí),熟練常規(guī)解題,從而達(dá)到教學(xué)目的．

原題2在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，若an-an-1=5，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列，寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

變式1在數(shù)列{an}中，當(dāng)n≥2時(shí)，若a1=1,且an-an-1=n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

把等差數(shù)列中的常數(shù)d變?yōu)樽兞縩,此時(shí)已不是等差數(shù)列，我們可以用迭加法來(lái)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

∵n≥2時(shí)，

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…

+(a2-a1)+a1

=n+(n-1)+(n-2)+d+a1

也可以把變式1的題目難度進(jìn)一步加深：

(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an-an-1=3n-1(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

變式2在數(shù)列{an}中，當(dāng)n≥2時(shí)，若a1=1，且an-can-1=d,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析當(dāng)c=1時(shí)，數(shù)列{an}為等差數(shù)列；

當(dāng)c≠1，d=0時(shí)，數(shù)列{an}為等比數(shù)列；

當(dāng)c≠1,d≠0時(shí)，我們可以用構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

方法如下：

設(shè)an+1+λ=c(an+λ),得

an+1=can+(c-1)λ.

變式3在數(shù)列{an}中，若a1=1,且an+1-can=qn+1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析當(dāng)c=1時(shí)，形式同變式1，也可用迭加法求通項(xiàng)公式；

當(dāng)c≠1時(shí)， 我們也可以用構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，方法如下：

對(duì)an+1=can+qn+1兩邊除以qn+1,化成

通過(guò)這樣的變式一定能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，且能鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，熟練常規(guī)解題，從而達(dá)到教學(xué)目的.

四、習(xí)題變式教學(xué)應(yīng)注意的問(wèn)題

1.源于課本,高于課本

在中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題變式教學(xué)中,所選用的“源題”應(yīng)以課本的習(xí)題為主.課本習(xí)題均是經(jīng)過(guò)專家學(xué)者多次篩選后的題目的精品,我們沒有理由放棄它．在教學(xué)中我們要精心設(shè)計(jì)和挖掘課本的習(xí)題,編制一題多變、一題多解、一題多用和多題一解以提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力．

2.循序漸進(jìn),有的放矢

在中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題變式教學(xué)中,對(duì)習(xí)題的變式要循序漸進(jìn),有的放矢．

例如,在高三復(fù)習(xí)時(shí)讓學(xué)生做完習(xí)題：

一動(dòng)圓與圓C1:(x+2)2+y2=1外切,與圓C2:(x-2)2+y2=9內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

可將此題目變?yōu)?

變式1已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為2,從這個(gè)圓上任一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP1,垂足為P1,求線段PP1中點(diǎn)M的軌跡．

變式2已知圓C1:(x+2)2+y2=1與圓C2:(x-2)2+y2=9,若動(dòng)圓M同時(shí)與兩已知圓相外切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡是什么？

變式3已知圓C1:(x+2)2+y2=1與圓C2:(x-2)2+y2=9,若動(dòng)圓M同時(shí)與兩已知圓相內(nèi)切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡是什么？

三個(gè)變式的目的都是讓學(xué)生掌握利用圓錐曲線的定義求軌跡的方法．將常規(guī)題變?yōu)樘剿黝}．由常規(guī)題變出來(lái)的探索題,對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)更具創(chuàng)造性和挑戰(zhàn)性．

3.“變式”要有度

習(xí)題變式教學(xué)，不同于習(xí)題課的教學(xué)，它慣穿于新授課、習(xí)題課和復(fù)習(xí)課，與新授課、習(xí)題課和復(fù)習(xí)課并存，一般情況下不單獨(dú)成課.因此，對(duì)于不同的授課，對(duì)習(xí)題的變式也應(yīng)不同.例如，新授課的習(xí)題變式應(yīng)服務(wù)于本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)；習(xí)題課的習(xí)題變式應(yīng)以本章節(jié)內(nèi)容為主，適當(dāng)滲透一些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法；復(fù)習(xí)課的習(xí)題變式不但要滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，還要進(jìn)行縱向和橫向的聯(lián)系，同時(shí)變式習(xí)題要緊扣考綱.在習(xí)題變式教學(xué)時(shí)，要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，切忌隨意性和盲目性.

選擇課本習(xí)題進(jìn)行變式，不要“變”得過(guò)于簡(jiǎn)單，過(guò)于簡(jiǎn)單的變式題會(huì)讓學(xué)生認(rèn)為是簡(jiǎn)單的“重復(fù)勞動(dòng)”，影響學(xué)生思維的質(zhì)量.難度“變”大的變式習(xí)題易挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生難以獲得成功的喜悅，長(zhǎng)此以往，將使學(xué)生喪失自信心.因此，在選擇課本習(xí)題進(jìn)行變式時(shí)要變得有“度”.

在習(xí)題變式教學(xué)中，教師要讓學(xué)生主動(dòng)參與，不要總是教師“變”，學(xué)生“練”.要鼓勵(lì)學(xué)生大膽地“變”，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神.

總之，在中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題變式教學(xué)中,習(xí)題的變式要緊扣《考試說(shuō)明》,要以考綱為“綱”進(jìn)行“變”;不要“變”出一些偏離考綱的“繁、難、雜”題目，以免浪費(fèi)學(xué)生的寶貴學(xué)習(xí)時(shí)間和挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．