周玉琴

(江蘇省常州市第一中學(xué)，213003)

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○解題研究○

巧用“軌跡”優(yōu)化解題

周玉琴

(江蘇省常州市第一中學(xué)，213003)

當(dāng)高三進(jìn)入二輪復(fù)習(xí)時,學(xué)生的知識框架已經(jīng)建構(gòu)好，各種解題的方法也都接觸過．平時教師在講解時,會一題多解,也會多題一解．在筆者連續(xù)四年的高三數(shù)學(xué)教學(xué)中,每一屆學(xué)生都會提出同一個問題:老師,我在做題時,怎樣才能很快決定用最好的方法．我總是鼓勵他們:平時要多嘗試,多總結(jié)歸納,用心去”捂”,方能達(dá)到“出招”必勝!

話雖然是這么說的,但是學(xué)生的”招數(shù)”還是源于老師的指導(dǎo)．在二輪復(fù)習(xí)中,我一直注重引導(dǎo)學(xué)生掌握基本方法的同時進(jìn)行解題的優(yōu)化．其實優(yōu)化方法都源于最基本的概念．下面是筆者在進(jìn)行微專題復(fù)習(xí)時利用“軌跡”求最值問題或是范圍問題的幾個案例．

一、幾個“軌跡”

(1) 點的軌跡是直線(線段等)；

(2) 點的軌跡是圓(圓面,圓內(nèi)外等)；

(3) 點的軌跡是橢圓；

(4) 點的軌跡是雙曲線；

(5) 點的軌跡是拋物線.

二、尋求“軌跡”

1.題目中有明顯的“軌跡”

案例1在一輪復(fù)習(xí)三角時,給出了下面的一個例題；

剛接觸到這個問題時,學(xué)生往往利用余弦定理來建立函數(shù)模型(略),計算比較復(fù)雜．介紹了圓的第二定義(阿波羅尼斯圓)后,解決此題顯然手到擒來．

解建立直角坐標(biāo)系，如圖1，A(-1,0)，B(1,0).設(shè)C(x,y)，

(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2]，

即點C的軌跡方程為

(x-3)2+y2=8(y≠0).

因為此題出現(xiàn)在三角函數(shù)復(fù)習(xí)期間,學(xué)生的思維角度多數(shù)是定在運用正余弦定理．用此方法解決問題的學(xué)生顯然是跳出了知識的框框,也是讓其他學(xué)生眼睛一亮的地方．在復(fù)習(xí)了圓錐曲線后,學(xué)生在解題時靈活運用定義的意識強多了．

例如，如圖2,線段AB=8,點C在線段AB上,且AC=2,P為線段CB上一動點,點A繞點C旋轉(zhuǎn)后與點B繞點P旋轉(zhuǎn)后重合于點D.設(shè)CP=x,?CPD的面積為f(x)，則f(x)的最大值為______;

在解決此題時,大部分學(xué)生能靈活應(yīng)用橢圓的定義來解決．

2. 題設(shè)中隱藏的“軌跡”

有的題目，軌跡“隱藏”其中,只有拿起數(shù)學(xué)思想揭開其中面紗,才能到達(dá)成功的彼岸.

案例2下面是教學(xué)中的 一個例題：

當(dāng)問題分析到這兒的時候,多數(shù)學(xué)生覺得做下去如果要進(jìn)行討論的話會很繁瑣．

師:既然覺得現(xiàn)有的方法不可操作,那看看能否有另外的途徑?

下面進(jìn)行小組討論．在討論中有學(xué)生注意到目標(biāo)函數(shù)的幾何意義．

把a,b看成主元，x為參數(shù)，其方程表示為一條直線，于是方程a(x2-1)+2bx+x-2=0在[3,4]有解等價于將方程a(x2-1)+2bx+x-2=0看成關(guān)于a，b的一條直線.于是a2+b2的幾何意義就是直線上一點(a,b)與原點(0，0)的距離的平方，則a2+b2≥d2，其中d是原點到該直線的距離.

3.利用“雙軌跡”化歸

若一動點同時在兩條軌跡上運動,就可以把問題轉(zhuǎn)化為兩條軌跡的關(guān)系．如已知點A(0,2)，B(0,1),D(t,0)(t>0),M為線段AD上的動點,若AM≤2BM恒成立，則正整數(shù)t的最小值是______.

學(xué)生顯然會去設(shè)點M(x,y)，由AM≤2BM得到點M的軌跡C，而點M又在線段AD上，所以就轉(zhuǎn)化為線段AD與軌跡C的關(guān)系，即線段和軌跡C相離.以下這道試題正是這種”雙軌跡”的問題.

案例3(2016年江蘇高考題)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,已知以M為圓心的圓M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2，4).

(1) 設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2) 設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點,且BC=OA,求直線l的方程;

解析(1)(2)略.

又(x2-6)2+(y2-7)2=25,得

圓G：(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.

又(x1-6)2+(y1-7)2=25,

所以點P既在圓M上又在圓G上，從而說明圓M和圓G有公共點，即

0≤GM≤10,

正是有了扎實的“軌跡”思想的滲透,學(xué)生來解決這個問題時就會容易解決．