廉萬朝　　　　　崔　莉

(陜西省三原縣北城中學，210008)　(陜西省三原縣南郊中學，210008)

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“問題導學”讓課堂更生動
——“利用函數性質判定方程解的存在”教學設計

廉萬朝崔莉

(陜西省三原縣北城中學，210008)(陜西省三原縣南郊中學，210008)

“問題導學”是指教師在課堂教學中以問題為載體,通過問題的引導,學生在分析、解決一個個問題的過程中,積極地去思考、交流、探索、分享彼此的成果. 在問題的導引下,以學生熟知的背景、知識為依托,通過設計層層遞進的問題(鏈),在學生不知不覺中,達到對新知識的發(fā)現,對數學思想方法的掌握. 在這個過程中,學生思維得到訓練,思考問題的積極性、主動性得到提高,因此,“問題導學”有利于提高學生的認識問題、分析問題以及解決問題的能力. “問題是數學的心臟”,問題設計的好壞將直接影響著課堂的氣氛,影響著學生的思維,影響著學生對新知識的理解和掌握,最終影響到學生的數學能力(認識問題、分析問題、解決問題的能力).

數學教學是數學活動的教學,是學生在各種數學活動中生成、拓展、提升與交流數學活動經驗的過程,同時也是獲得數學基礎知識、基本基本能與基本思想的過程. “問題導學”就是在問題引導下,學生在解決一個個問題的過程中,得到數學的體驗,獲得數學的知識和技能,讓學生活動貫穿于課堂的始終.

本文以高中數學北師大版必修1中的“利用函數性質判定方程解的存在”為例,談談“問題導學”下的課堂教學實踐.

一、教材分析

本節(jié)課“利用函數性質判定方程解的存在”體現了函數性質與方程的聯系. 首先,無論是初中所學的一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程,還是高中所學的簡單指數方程、對數方程等,都是隱含著函數的性質的應用. 雖然初中對這些方程的函數性質體現得不是很明顯,是基于所學函數知識的緣故,而高中所接觸的簡單的指數方程、對數方程,就是函數性質的明顯應用. 其次,一元一次不等式,一元二次不等式,簡單的指數不等式、對數不等式等,也是函數性質的具體應用. 本節(jié)課應該以“方程解的存在”為題,充分挖掘函數性質在解決方程、不等式中的作用.

基于以上分析,本節(jié)內容應以學過的方程、函數知識為基礎,在方程中認識函數及其性質,從而對方程的認識更具體、更直觀，在函數中認識方程、不等式的解. 將函數、方程、不等式三者緊密地聯系在一起,使學生能從更高的層次認識函數,理解函數及其應用,也為函數在不等式、導數中的應用做好鋪墊.

1.教學目標

(1)以熟悉的方程與相應的函數圖象的關系認識,歸納出方程解的存在與函數值的變化之間的關系,并建立起方程、不等式、函數三者之間的聯系;

(2)在建立函數、方程、不等式的過程中,體會數形結合的思想、類比轉化的思想,從而用函數的觀點去分析和研究方程問題.

2.教學重點

理解方程解的存在與函數的關系.

3.教學難點

從方程中抽象出函數模型.

二、教學過程設計

1.追溯源頭,提出問題

問題1我們已經學習了一元一次方程；一元二次方程,簡單的指數方程,如2x=1；對數方程,如lgx-1=0等,有些方程還有求解公式. 是不是所有方程都有求解公式?請舉例說明.

生:不是. 如方程2x+x-2=0，3lnx-x=0等.

師:絕大多數方程沒有求解公式. 那么,這些方程能解嗎?怎么解?我們今天就來作一些初步探討.

讓學生完成下列表格

序號方程方程的解函數函數圖象函數圖象與方程解的關系12x-1=0y=2x-12x2-x-2=0y=x2-x-232x=14lgx-1=052x+x-2=0

問題2根據上述表格,方程的解與相應的函數有何關系?

生:方程1,2的解正好是相應函數圖象與x軸交點的橫坐標,方程3,4,5的解是…

師:對于方程3,4,若要構造函數,該如何構造?構造出的函數與相應方程解的關系是什么?

生1:可以構造函數f(x)=2x-1,g(x)=lgx-1,由基本函數y=2x,y=lgx圖象向下平移1個單位,就得到上述函數圖象,且圖象與x軸交點的橫坐標就是方程的解.

生2:也可以構造函數f(x)=2x與g(x)=lgx,其圖象與直線y=1的交點的橫坐標就是方程的解.

師:對于方程5呢?

教師用幾何畫板畫出函數f(x)=2x+x-2的圖象,通過圖象觀察,學生直觀感知圖象與x軸的交點的橫坐標就是方程的解.

問題3只有少數的方程有求解公式,求解公式是解決特殊方程(一元一次方程、一元二次方程)解的一種工具,顯然不是研究方程問題的“通法”.那么,研究方程問題的“通法”是什么?

生:構造函數,借助函數圖象.

師:如何構造函數?怎樣通過所構造的函數認識方程的解?

師:我們今天就用函數的性質來研究方程的解的情況,進而用函數的性質研究不等式的問題.

設計意圖通過對上述表格的完善,將學生熟知的一元一次方程、一元二次方程、簡單的指數方程、對數方程等的求解與相應函數圖象的對比聯系,讓學生感知函數的性質才是認識方程解的“通法”.

2.引領探索,揭示聯系

(1)利用函數圖象,從“形”上直觀感知方程解的存在

師:波利亞認為:“如果你不能解決所提出的問題,可先解決一個與此有關的問題.”而與此相關的問題的思路和方法,往往是解決所提出問題的辦法.

問題4我們用幾何畫板畫出函數f(x)=2x+x-2的圖象,能否利用所學函數的知識,通過函數圖象,認識方程的解的存在?

生3:描點法,畫出函數f(x)=2x+x-2的圖象,觀察圖象與x軸的交點的橫坐標就是方程的解.

生4:類似于生2的方法,畫出函數y=2x和y=2-x的圖象,兩個圖象的交點的橫坐標就是方程的解.

師:雖然我們不會用“代數方法”求解方程5,但是我們可以利用函數的圖象認識到方程5 有解.說明方程的解與函數有著緊密的聯系,用代數的觀點,是方程的解,那么,用函數的觀點,如何定義?

生5:函數圖象與x軸交點的橫坐標.

生6:函數值為零時的點的橫坐標.

師:回答得都很正確. 如果語言再精煉些,我們把它稱為“函數的零點”即函數圖象與x軸交點的橫坐標..

問題5結合上面的認識,如何判斷一個函數是否有零點?

生3:用描點法直接畫函數圖象,看看圖象與橫軸是否有交點.

生4:可將函數轉化為兩個基本函數(常函數、一次函數、二次函數、指數函數、對數函數),觀察兩個基本函數圖象的交點,確定函數是否存在零點.

問題6判斷下列函數是否存在零點?

f(x)=3x-x2;g(x)=lgx+x.

設計意圖直觀判斷函數零點的存在,即方程解的存在.

師:結合上述問題的分析,你能歸納出用函數圖象判斷方程是否有解的規(guī)律嗎?

師生一起歸納出:① 構造基本函數函數;② 畫出函數圖象;③ 觀察圖象,確定方程解的存在情況.

(2)通過函數值的計算,從“數”上認識函數零點的存在

問題7判斷函數f(x)=3lnx-x是否存在零點?

設計意圖提出一個很難判斷的問題,就是想從“數”上認識函數的零點的存在性.

師：我們繼續(xù)從熟知的問題入手,認識函數存在零點時,函數值的特點.

問題8以方程5為例,按照生3和生4的兩種思路,如何從“數”上認識方程一定存在解,即函數存在零點?

生3:通過列表知,對于函數f(x)=2x+x-2,因為f(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以函數f(x)在區(qū)間(0,1)內存在零點.

生4:觀察函數g(x)=2x與函數h(x)=2-x的圖象,因為g(0)h(2),所以方程5在區(qū)間(0,2)內有解.

師:其實生4的認識和生3實質上是一致的,能否歸納出“一致”的思路?

生:g(0)h(2)即g(2)-h(2)>0,也就是f(2)>0.判斷f(x)=0在區(qū)間(0,2)是否存在零點,只需f(0)f(2)<0.

師:現在來解決問題7,判斷函數的零點是否存在,若存在,找出零點所在的一個區(qū)間.

生:由于f(1)=-1<0,f(3)=3(ln 3-1)>0,所以存在零點,且在區(qū)間(1,3)內有零點,

師:由此可見,用圖形研究函數零點直觀,但很難入微,借助圖形,利用函數值研究更具體,因此,很有必要探討用函數值的符號來判斷函數零點. 那么,哪位同學能概括出用函數值的符號判斷函數零點的規(guī)律?

生:一般地,函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內,若f(a)f(b)<0,那么,函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內一定存在零點.

師:一定嗎?

生:不一定,如果函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內間斷,就可能沒有零點. 只有函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)連續(xù),才能保證.

師:函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內連續(xù)不斷,且f(a)f(b)<0,真的就一定能保證函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點嗎?

最后,師生一起歸納出:若函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)曲線,并且在區(qū)間端點的函數值符號相反,即f(a)f(b)<0,則在區(qū)間(a,b)內,函數y=f(x)至少存在一個零點,即方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內至少有一個實數解.

師:若函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)曲線,并且在區(qū)間端點的函數值符號相同,即f(a)f(b)>0,則在區(qū)間(a,b)內,函數y=f(x)一定不存在零點嗎?

生:不一定,函數有可能在區(qū)間內存在零點,甚至不止一個.

師:正確！同時,如果函數存在零點,零點值是多少,這些問題我們在后面還將繼續(xù)研究(二分法以及利用導函數性質時將做深入探討).

3.歸納總結,揭示規(guī)律

問題9從“數”即函數值的符號上,從“形”即函數圖象上,同學們能歸納方程解,亦即函數零點判定的方法步驟嗎?(見圖1)

4.方法應用,鞏固成果

練習:判斷下列函數f(x)是否存在零點,若存在,寫出零點所在的一個區(qū)間，并說明理由.

(1)f(x)=-2x2+x+1;

(2)f(x)=3x-x2;

(3)f(x)=lnx+2x-6.

設計意圖這樣設計問題,不但讓學生能從圖象上直觀認識,而且從函數值的計算上,準確定位零點的位置. 這是對本節(jié)所學的兩種認識方程解,亦即函數零點的方法的鞏固. 同時,第(1)個函數是二次函數,學生可以從解方程,函數圖象,零點判定方法等多個角度解決,不但使所學的方法、思路得到鞏固,而且使各個層次的學生都得到提高. 第(2)(3)個函數就是用函數的角度認識方程的解(函數零點)的能力的提高.

5.課堂小結

問題10本節(jié)課你的收獲有哪些?還有哪些疑惑?

函數的零點問題:一個原理(零點存在性定理);兩個方法(從“形”上觀察零點的存在,從“數”上認識零點的存在);三個思想(函數與方程的思想、數形結合的思想、轉化和化歸的思想).

設計意圖讓學生明確本節(jié)課的重難點,方法、思路、數學思想及自己的疑惑.