陳晶

【摘 要】學(xué)生解決某一問題時，能夠呈現(xiàn)出多樣的答案，并非一日之功，需要教師整體把握某個單元、某一領(lǐng)域知識之間的前后關(guān)聯(lián)，在前面學(xué)習(xí)的過程中，不斷積累思考問題的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在后續(xù)解決問題的過程中才會呈現(xiàn)多樣的答案。

【關(guān)鍵詞】初步判斷；深度理解；靈活運(yùn)用

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-0568（2016）25-0095-03

一位教師在執(zhí)教“蘇教版”小學(xué)數(shù)學(xué)五年級（上冊）第26頁第3題（如圖1）的過程中，直接出示題目讓學(xué)生解答。從最后解答的情況來看，學(xué)生在畫平行四邊形的時候，全班50位同學(xué)，有48位同學(xué)畫出了底與長方形的長相等，高與長方形的寬相等的圖形，僅有2位同學(xué)找到了其他的畫法；畫三角形的過程中，能夠一次就畫對的只有22人，有20人經(jīng)過反復(fù)調(diào)整才畫對，還有8人畫出了錯誤的圖形；畫梯形的過程中，能夠一次就畫對的只有12人，有24人經(jīng)過了多次調(diào)整才畫出了正確的圖形，還有14人沒有能夠找到正確的答案。

從解決問題的過程可以看出，學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形、平行四邊形和梯形的面積時，僅僅能夠運(yùn)用公式進(jìn)行計算，但是沒能深度理解三種圖形面積之間的關(guān)系，在遇到類似問題的時候，解決問題的方式單一，過程冗長，不容易找到正確的答案。如何讓學(xué)生深度理解圖形面積之間的關(guān)系，提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力呢？在教學(xué)的過程中，筆者從這樣幾個方面進(jìn)行了嘗試：

一、初步運(yùn)用公式過程中，理解同一類圖形面積之間的關(guān)系

在平行四邊形、三角形和梯形面積公式推導(dǎo)的過程中，學(xué)生初步理解了轉(zhuǎn)化前后圖形面積之間的關(guān)系。在初步運(yùn)用公式解決問題的過程中，還需要把關(guān)系進(jìn)一步向前推進(jìn)，深度理解同一類圖形面積之間的關(guān)系?？梢酝ㄟ^以下三個層次進(jìn)行：

1. 根據(jù)圖形形狀直觀把握關(guān)系

在學(xué)生會利用公式計算圖形面積后，可以先通過變式練習(xí)，讓學(xué)生感受到同一類圖形面積相等之間的關(guān)系。例如，在學(xué)生知道了平行四邊形的面積計算公式后，在學(xué)習(xí)教材第8頁的“練一練”（如圖2）的過程中，可以這樣進(jìn)行：先出示圖2中的題目，讓學(xué)生初步體會長方形和平行四邊形的面積相等；然后在兩條平行線之間再畫出一個平行四邊形（如圖3），說一說這兩個平行四邊形相等的理由；最后再嘗試著找一找與這個平行四邊形面積相等的其他平行四邊形。最終體會到等底等高的平行四邊形面積都相等。

在學(xué)習(xí)了三角形的面積公式之后，通過類似的方式讓學(xué)生體會到等底等高的三角形面積相等；在學(xué)習(xí)了梯形的面積公式之后，也讓學(xué)生體會到兩個梯形上底和下底分別相等，高也相等，那么這兩個梯形的面積相等。通過這樣的練習(xí)，讓學(xué)生能夠根據(jù)圖形形狀，直觀把握同一類圖形面積相等的關(guān)系。

2. 根據(jù)計算過程分析關(guān)系

在學(xué)生初步理解了面積相等的同一類圖形之間的關(guān)系后，還需要進(jìn)一步豐富學(xué)生的認(rèn)識，讓學(xué)生能夠根據(jù)計算面積的過程判斷圖形之間的相等關(guān)系。對平行四邊形的面積關(guān)系，可以這樣來教學(xué)：首先出示圖4，讓學(xué)生想一想：這兩幅圖的面積相等嗎？為什么？利用前面的經(jīng)驗(yàn)，有些學(xué)生判斷相等，有些學(xué)生判斷不相等，然后出示圖5，讓學(xué)生聯(lián)系公式計算面積的過程分析這兩幅圖的面積是相等的。

通過這樣的練習(xí)讓學(xué)生理解：面積相等的平行四邊形不僅僅有等底等高這樣的情況，如果另一個平行四邊形的底與這個平行四邊形的高相等，另一個平行四邊形的高與它的底相等，那么這兩個平行四邊形面積相等。讓學(xué)生從面積計算的過程去體會面積相等的現(xiàn)象，利用乘法的交換律去解釋相等的原因。同樣可以分析其余兩類圖形面積相等的關(guān)系：如果兩個三角形的底和高數(shù)據(jù)交換，那么這兩個三角形的面積相等；如果兩個梯形的高與上底與下底的和數(shù)據(jù)交換，那么這兩個梯形的面積也相等。通過這樣的練習(xí)，借助于乘法交換律，從計算面積的過程去分析面積之間的關(guān)系，豐富對同類圖形面積之間關(guān)系的認(rèn)識。

3. 根據(jù)計算結(jié)果理解關(guān)系

在學(xué)生借助前面兩層經(jīng)驗(yàn)理解同一類圖形面積之間的關(guān)系后，還需要進(jìn)一步提升學(xué)生的分析水平，讓學(xué)生從計算的結(jié)果去理解圖形面積相等的關(guān)系。對三角形的面積相等之間的關(guān)系，可以這樣來體會：首先出示圖6，讓學(xué)生判斷下面這些圖形的面積相等嗎？學(xué)生聯(lián)系前面的經(jīng)驗(yàn)，想到既不是等底等高，也不是把底和高交換數(shù)據(jù)，大部分學(xué)生會判斷不相等。然后出示圖7，通過計算可以知道，如果發(fā)現(xiàn)底和高的乘積相等，那么這兩個三角形的面積相等。

在梯形的面積學(xué)習(xí)結(jié)束后，讓學(xué)生體會到，只要兩個梯形上底與下底的和與高的積相等，那么這兩個梯形的面積相等。通過上述過程，進(jìn)一步提升學(xué)生對面積相等的認(rèn)識，從計算的結(jié)果理解同一類圖形面積之間的關(guān)系。

二、在靈活運(yùn)用公式過程中，理解不同類圖形面積之間的關(guān)系

在學(xué)生理解了同類圖形面積相等之間的關(guān)系后，還需要讓學(xué)生理解不同類圖形面積相等之間的關(guān)系，豐富學(xué)生對面積相等之間關(guān)系的認(rèn)識?？梢詮倪@樣三個方面進(jìn)行：

1. 理解平行四邊形與長方形之間的關(guān)系

在學(xué)習(xí)推導(dǎo)公式的過程中理解了轉(zhuǎn)化前后長方形和平行四邊形面積之間的關(guān)系，在后續(xù)學(xué)習(xí)過程中，還需要進(jìn)一步提升學(xué)生的認(rèn)識，發(fā)現(xiàn)兩者面積相等的其他因素。在教學(xué)教材第11頁第1題（如圖8）教學(xué)過程中，可以通過這樣幾個層次的學(xué)習(xí)讓學(xué)生體會到兩者面積之間的關(guān)系：

首先，讓學(xué)生不計算長方形的面積，直接畫出與長方形面積相等的平行四邊形，學(xué)生根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)想到：可以畫一個底與長方形的寬（或長）相等，高與長方形的長（或?qū)挘┫嗟鹊钠叫兴倪呅?；然后，引?dǎo)學(xué)生向深度思考，如果可以算出長方形的面積，你能夠找到哪些與長方形面積相等的平行四邊形？在學(xué)生算出長方形的面積是12格，聯(lián)系平行四邊形的面積計算公式思考，找到（ ）×（ ）=12，這里的兩個數(shù)分別做平行四邊形的底和高，畫出的平行四邊形就符合要求了。通過這樣的練習(xí)，讓學(xué)生從憑借直觀分析去解決問題走向運(yùn)用推理去解決問題，提升對兩者之間關(guān)系的認(rèn)識。

2. 理解三角形與平行四邊形之間的關(guān)系

在面積推導(dǎo)的過程中，學(xué)生理解了轉(zhuǎn)化前后三角形與平行四邊形面積之間的關(guān)系。在練習(xí)的過程中，還需要進(jìn)一步豐富學(xué)生對三角形的面積與平行四邊形面積之間關(guān)系的認(rèn)識。在教學(xué)教材第12頁第7題的過程中（如圖9），可以安排這樣三個教學(xué)過程：

首先只出示（圖10），讓學(xué)生想一想：有一個三角形的面積是平行四邊形面積的一半，這樣的三角形可能是什么樣子？學(xué)生根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)想到一定是等底等高。接著出示圖9，通過判斷的過程，讓學(xué)生知道三角形的面積是平行四邊形面積的一半，三角形不一定與平行四邊形等底等高。然后聯(lián)系面積公式想到，只要三角形底與高的積是平行四邊形底與高積的一半，那么三角形的面積就是平行四邊形面積的一半。最后再想一想：如果一個三角形與這個平行四邊形面積相等，會是什么樣的圖形？學(xué)生想到如果三角形的底與平行四邊形的底相等，高是它的兩倍，兩個圖形的面積相等。也可能想到三角形的高與平行四邊形的高相等，但是底是它的兩倍，這兩個圖形的面積相等。進(jìn)一步推廣，如果三角形的底與高的積是平行四邊形底與高的積的兩倍，那么三角形和平行四邊形的面積相等。通過上述過程，讓學(xué)生從三角形是平行四邊形一半的關(guān)系走向兩者相等的關(guān)系，逐步加深了對兩者面積之間關(guān)系的理解。

3. 理解梯形與平行四邊形、三角形之間的關(guān)系

學(xué)生在面積公式推導(dǎo)的過程中，理解了轉(zhuǎn)化前后梯形與平行四邊形的關(guān)系后，還需要進(jìn)一步深入理解平行四邊形與梯形面積之間的關(guān)系，并且建立梯形的面積與三角形面積之間的關(guān)系?？梢酝ㄟ^這樣三個層次的練習(xí)：

第一層次：首先只出示圖11中的平行四邊形（1號圖），讓學(xué)生想一想：一個梯形的面積是它的一半，這個梯形可能是什么樣子？然后出示2號圖與3號圖，學(xué)生首先想到如果梯形的上下底的和與平行四邊形的底相等，高與平行四邊形的高相等，那么梯形的面積是平行四邊形面積的一半。出示4號圖形，讓學(xué)生進(jìn)一步推廣，如果梯形上下底的和與高的積與平行四邊形的底與高的積相等，那么梯形的面積是平行四邊形面積的一半。第二層次：讓學(xué)生想一想，如果一個梯形的面積和這個平行四邊形的面積相等，這個梯形可能是什么樣子？讓學(xué)生聯(lián)系面積推導(dǎo)的過程進(jìn)一步體會到，如果梯形上下底的和與高的積是平行四邊形底與高的積的2倍，那么梯形的面積與平行四邊形面積相等。第三層次：讓學(xué)生思考，一個三角形與3號圖的面積相等，這個三角形可能是什么樣子？在學(xué)生思考后，出示5號圖，并且得出結(jié)論：只要三角形的底與梯形上下底的和相等，三角形的高與梯形的高相等，梯形的面積就與三角形的面積相等。進(jìn)一步推廣，只要三角形的底與高的積與梯形上下底的和與高的積相等，這兩種圖形的面積就相等。通過這樣三個層次的研究，進(jìn)一步豐富平行四邊形與梯形面積之間關(guān)系的認(rèn)識，并且建立三角形與梯形面積之間的關(guān)系。

三、在綜合運(yùn)用過程中，逐步提升解決問題的水平

在學(xué)生理解了圖形面積之間的關(guān)系后，在設(shè)計與長方形面積相等的三角形、平行四邊形和梯形的過程中（如圖1），也需要分層安排學(xué)生解決問題的過程，逐步提升學(xué)生解決問題的水平。在教學(xué)過程中，可以這樣處理：

第一層次，不計算長方形的面積，你能夠直接畫出與長方形面積相等的平行四邊形、三角形和梯形嗎？

第二層次，算出長方形的面積，你還能想到畫出哪些與長方形面積相等的平行四邊形、三角形和梯形？

上述第一個層次，讓學(xué)生不計算，依據(jù)直覺去畫圖，再找與長方形面積相等的平行四邊形，直覺就是底與長方形的一條邊相等，高與長方形的另一條邊相等。如果三角形的底與長方形的一條邊相等（或2倍），高是另一條邊的2倍（或相等），那么三角形的面積與長方形相等。如果梯形上下底的和與長方形的一條邊相等（或2倍），高是長方形另一條邊的2倍（或相等），那么梯形的面積與長方形的面積相等。第二個層次，如果可以計算長方形的面積，則可進(jìn)一步豐富思考問題的過程，如果平行四邊形的底與高的積與長方形長與寬的積相等，那么平行四邊形的面積與長方形的面積相等；如果三角形的底與高的積是長方形長和寬積的2倍，那么三角形的面積與長方形的面積相等；如果梯形上下底的和與高的積是長方形長和寬積的2倍，那么梯形和長方形的面積相等。通過上述兩個層次的要求，豐富了學(xué)生解決問題的思路，逐步提升了學(xué)生解決問題的能力。

學(xué)生在解決一個問題背后能否有多樣的答案，并非一日之功，需要教師整體把握某個單元或者某一知識的前后聯(lián)系。在前面學(xué)習(xí)的過程中，不斷積累學(xué)生思考問題的經(jīng)驗(yàn)，打通知識之間的關(guān)聯(lián)，在后續(xù)的解決問題的過程中才會呈現(xiàn)出豐富的答案。

（編輯：張 婕）