張衛(wèi)國+杜謙

摘要：應(yīng)用隨機模型預(yù)測控制方法研究了歐式期權(quán)的動態(tài)對沖問題，該方法能夠靈活選擇適合的目標函數(shù)、股票價格預(yù)測模型以及顯式處理交易費用約束。通過蒙特卡洛仿真對基于隨機模型預(yù)測控制的對沖方法和delta對沖方法的效果進行了對比分析，并且對華夏上證50ETF期權(quán)合約進行了實證檢驗，檢驗結(jié)果表明了基于隨機模型預(yù)測控制的對沖方法的有效性。

關(guān)鍵詞：隨機模型預(yù)測控制；動態(tài)對沖；交易費用

中圖分類號：F831 文獻標志碼：A 文章編號：1009-055X（2016）04-0001-09

doi：1019366/jcnki1009-055X201604001

引言

經(jīng)證監(jiān)會批準，我國首只場內(nèi)交易的期權(quán)產(chǎn)品“華夏上證50ETF期權(quán)”于2015年2月9日在上海證券交易所上市交易，開啟了中國資本市場期待已久的“期權(quán)元年”，豐富了我國資本市場上的金融產(chǎn)品，增加了風(fēng)險管理的手段。

期權(quán)的定價和對沖問題一直是學(xué)術(shù)界研究的熱點，對資本市場上期權(quán)、結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品的設(shè)計和交易有著重大意義。Black和Scholes（BS）及Merton對期權(quán)的定價和對沖研究做出了開創(chuàng)性的貢獻，他們設(shè)定股票價格變動模型為布朗運動的隨機擴散模型，通過伊藤引理和積分變換求解隨機微分方程得到了歐式看漲和看跌期權(quán)的精確價格。[1-2]他們提出的模型稱為BSM模型，它假設(shè)波動率為常數(shù)、無交易費用、連續(xù)時間對沖，這與實際市場情況不相符，直接應(yīng)用BSM模型可能帶來較大的對沖誤差。對此，學(xué)者們在BSM模型的基礎(chǔ)上不斷對模型加以改進。例如： Merton在BSM模型的基礎(chǔ)上加入服從泊松過程的跳躍部分來描述股價的跳躍現(xiàn)象；[3]Heston放松BSM模型中波動率為常量的限制，提出了Heston隨機波動模型[4]，他假設(shè)波動率服從CIR模型；[5]Bakshi等假設(shè)股票價格服從隨機利率、隨機波動率以及泊松跳躍過程的模型，全面考慮市場上影響期權(quán)價格的波動率風(fēng)險、利率風(fēng)險、跳躍風(fēng)險等主要風(fēng)險，提出了BCC模型，該模型具有更高的自由度，可以根據(jù)市場數(shù)據(jù)來校準模型的參數(shù)，通過傅里葉變換得到精確的期權(quán)定價公式。[6]

期權(quán)對沖最常見的方法為delta對沖，即投資組合中標的股票的投資份額等于期權(quán)價格關(guān)于標的股票價格的一階導(dǎo)數(shù)，每一期都根據(jù)delta值來調(diào)整投資策略。Heston模型、BCC模型都可通過計算delta值來調(diào)整股票頭寸對沖風(fēng)險。在波動率為常數(shù)的假設(shè)下，Leland根據(jù)交易費用的比例相應(yīng)的調(diào)整波動率改進了對沖誤差。[7]Boyle等人在Cox-Ross-Rubinstein 二叉樹定價模型的基礎(chǔ)上研究了考慮交易費用的期權(quán)對沖問題。[8]Nguyen等人研究了考慮隨機波動率和交易費用的期權(quán)對沖問題，改進了Leland調(diào)整波動率的方法。[9]

從控制論的角度可以將期權(quán)動態(tài)對沖看成一個跟蹤控制問題。從市場上得到的標的股票價格、利率、期權(quán)價格等公開信息看作系統(tǒng)的觀測值，系統(tǒng)的控制變量為股票、債券的投資金額或者投資份數(shù)，系統(tǒng)的輸出變量為由股票和債券構(gòu)成的投資組合價值，系統(tǒng)的控制目標是在給定投資組合的初始金額等于賣出期權(quán)價格的條件下，采用合適的控制方法使得投資組合動態(tài)跟蹤期權(quán)的價值，跟蹤誤差越接近零越好，且盡可能地排除隨機因素的干擾。該系統(tǒng)的方框圖如圖1所示。

控制論中的隨機最優(yōu)控制可以解決多階段的期權(quán)對沖問題，通過哈密頓-雅可比-貝爾曼（Hamilton-Jacobi-Bellman）偏微分方程來求解。Gondzio和Zhao等人分別把定價和對沖問題轉(zhuǎn)化成隨機線性規(guī)劃問題，通過多階段隨機規(guī)劃求解。[10-11]這種方法的主要不足是模擬樹的節(jié)點會隨著仿真周期的數(shù)量呈現(xiàn)指數(shù)倍增長，因此通常情況下每個節(jié)點只考慮2個或者3個分叉情況。Primbs把對沖問題轉(zhuǎn)化成一個線性二次型（LQR）調(diào)控問題，采用兩種方法考慮交易費用，一是在目標函數(shù)中加入交易成本作為懲罰項，將對沖問題轉(zhuǎn)化為無約束的隨機線性二次型問題；[12]另一種方法是通過隨機模型預(yù)測控制來處理交易費用約束，求解一個有限時域的二次規(guī)劃問題。[13]Bemporad等人提出了基于情景樹模擬的隨機模型預(yù)測控制方法，將期權(quán)到期時的系統(tǒng)狀態(tài)映射到較短時刻，根據(jù)考慮交易費用與否選擇跟蹤誤差的方差或者條件在險價值（Condition Value at Risk，CVaR）作為目標函數(shù)，應(yīng)用相應(yīng)的優(yōu)化方法得到了一個次優(yōu)解。[14-15]尹力博等人研究了人民幣外匯期權(quán)的對沖問題，考慮不同資產(chǎn)收益率的隨機波動與匯率的隨機波動，構(gòu)建整體風(fēng)險控制和后驗優(yōu)化風(fēng)險再調(diào)整的外匯期權(quán)組合風(fēng)險綜合管理機制，通過基于離散情景樹的多階段隨機規(guī)劃求解最優(yōu)對沖策略。

上述關(guān)于期權(quán)對沖問題的研究工作考慮隨機波動率風(fēng)險的比較多，而考慮隨機利率和跳躍風(fēng)險的較少。本文選擇隨機波動率、隨機利率和跳躍風(fēng)險的BCC模型作為股票價格的預(yù)測模型研究歐式期權(quán)的動態(tài)對沖問題。在不考慮交易費用的情況下，建立以跟蹤誤差的方差最小化為控制目標的優(yōu)化控制模型。在考慮交易費用的情況下，建立以跟蹤誤差的CVaR最小化為控制目標的優(yōu)化控制模型。并且，通過蒙特卡洛仿真對基于隨機模型預(yù)測控制的對沖方法和delta對沖方法的效果進行對比分析。進一步使用華夏上證50ETF期權(quán)合約的實際數(shù)據(jù)進行實證分析，結(jié)果驗證了基于隨機模型預(yù)測控制方法解決期權(quán)對沖問題的有效性。

一、構(gòu)建資產(chǎn)價格變動模型

（一）股票價格模型

通過圖2可以看出，delta對沖和SMPC對沖兩種方法整體上能達到跟蹤期權(quán)回報的目標，但是當期權(quán)處于虛值狀態(tài)時跟蹤誤差較大；從圖3可以看出SMPC對沖的誤差分布相對均勻，而delta對沖的誤差分布左偏。表1中CVaR統(tǒng)計量的結(jié)果表明SMPC對沖的風(fēng)險要小于delta對沖的風(fēng)險。

接下來進行考慮交易費用的仿真，設(shè)定股票價格變動服從BSM模型，并且預(yù)測模型也是BSM模型，以跟蹤誤差的95%-CVaR為目標函數(shù)。設(shè)置模型中的參數(shù)如下：初始價格S0=100，敲定價格K=100，到期日T=10/360年，無風(fēng)險利率r=005，波動率sigma=03，仿真步長M = 10，交易費用比率ε設(shè)置為1%，總共仿真500次。