金久林,游泰杰

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽　550001)

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半群ΟCΚn的極大子半群

金久林,游泰杰

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽550001)

摘要：設(shè)自然數(shù)n≥5,Xn={1,2,…,n}并賦予自然數(shù)序, On是Xn上的保序變換半群, OCKn是由On中核具有連續(xù)橫截面的元所構(gòu)成的子半群, 得到了OCKn的極大子半群的結(jié)構(gòu)與完全分類。

關(guān)鍵詞：變換半群; 保序; 連續(xù)橫截面; 極大子半群

0引言

設(shè)Xn={1,2,…,n}(n≥5)并賦予自然數(shù)序,Singn是Xn上的奇異變換半群。設(shè)α∈Singn, 若對任意x,y∈Xn,x≤y?xα≤yα, 則稱α是保序的, Xn上保序全變換(不含雙射)的集合記作On,它是Singn的正則子半群。2010年, 徐波在文獻[1]中提出了保序壓縮變換半群, 并得到了它的秩;現(xiàn)在, 對保序壓縮變換半群的研究, 已經(jīng)取得了許多成果(譬如文獻[1-6])。最近, 高榮海在文獻[7]中提出了與保序壓縮變換半群具有某種“對偶性”的變換所構(gòu)成的半群, 即核具有連續(xù)橫截面的保序變換, 由Xn上核具有連續(xù)橫截面的保序變換構(gòu)成的子半群, 記作OCKn，這是On的一類新的子半群。變換半群的具有某種性質(zhì)的極大子半群的研究一直都是半群理論研究中的熱點之一[8-14]。本文將在文獻[7]基礎(chǔ)上考慮OCKn的極大子半群, 得到了它的極大子半群的完全分類。

1準(zhǔn)備

設(shè)α∈OCKn, 用im α表示α的象集,kerα表示Xn上的等價關(guān)系{(x,y)∈ Xn×Xn:xα=yα}。

為敘述上方便, 在OCKn上引入下面的二元關(guān)系, 對任意α,β∈OCKn, 定義：

αL*β?imα=imβ

αR*β?kerα=kerβ

αJ*β?|imα|=|imβ|

則L*,R*,J*都是OCKn上的等價關(guān)系, 易見L*?J*,R*?J*。 對1≤r≤n-1, 記

為了方便, 對任意k∈Xn令

定義設(shè)S是半群ΟCΚn的真子半群, 若S滿足：對任意α∈ΟCΚnS, 有

〈S∪{α}〉=OCKn

則稱S是ΟCΚn的極大子半群。

2主要結(jié)果及證明

定理設(shè)自然數(shù)n≥5, 則ΟCΚn的極大子半群有且只有如下形式：

為了定理的證明, 需引入以下引理：

證明可參見文獻[7]引理5。

證明可參見文獻[7]推論1。

假設(shè)α2=η1η2, 其中η1,η2∈Aα, 同理可推出矛盾, 因此, Aα是ΟCΚn的子半群, 下證Aα的極大性。

對任意α∈{α1,α2}, 不失一般性, 設(shè)α=α1,取β2∈Aα, 則α2=αβ2∈〈Aα∪{α}〉, 從而〈Aα∪{α}〉=OCKn。 故Aα是ΟCΚn的極大子半群。

證明類似于引理3。

進而得到, 〈Bi∪{α}〉=OCKn。 因此,Bi是ΟCΚn的極大子半群。

定理的證明由引理3,4,5可知, AT,Bi是OCKn的極大子半群。

用反證法證明OCKn的極大子半群僅有定理中的形式。 假設(shè)S是OCKn的極大子半群, 但不是定理中的形式, 則對任意1≤m≤n, 有

S∩{α1,α2}≠φ且S∩{βn-1,βn}≠φ;

因此, OCKn的極大子半群僅有定理中的形式。

參考文獻：

[1] 徐波,馮榮權(quán),高榮海.一類變換半群的秩[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2010,40(8):222-224.

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[13]高榮海,喻秉鈞.保序壓縮變換半群的理想的極大子半群[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,37(5):643-648.

[14]趙頤,游泰杰,陳云坤.半群POPn的理想的極大正則子半群[J].東北師大學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,47(2):31-34.

文章編號：1004—5570(2016)03-0064-03

收稿日期：2016-03-25

作者簡介：金久林(1991-),男,碩士研究生,研究方向:半群及編碼理論,E-mail:1358724098@qq.com.

中圖分類號：O152.7

文獻標(biāo)識碼：A

The maximal subsemigroups of the semigroup OCKn

JIN Jiulin,YOU Taijie

(School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University, Guiyang, Guizhou 550001, China)

Abstract:Suppose n≥5,Xn={1,2,…,n}, and it has the order of natural numbers, On be semigroup of order-preserving tranformation on Xn, OCKn be semigroup consisting of kernel with continuous transversal in On, the structure and classification of the maximal subsemigroups of semigroup OCKn is obtained.

Key words:transformation semigroup;order-preserving;continuous transversal;maximal subsemigroups