高京南,楊秀良

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院, 浙江 杭州 310036)

兩個保序變換半群之間的同態(tài)

高京南,楊秀良

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院, 浙江 杭州 310036)

設(shè)On和IOn分別是集合Xn={1,2,…,n}上的保序變換半群和部分保序單變換半群.在此刻畫了IOn到On的所有同態(tài),On到IOn的所有同態(tài).

同態(tài);同態(tài)核;同余

1 引言和預(yù)備知識

令Xn={1,2,…,n}，集合Xn上所有保序變換在復(fù)合運(yùn)算下構(gòu)成的半群稱為Xn的保序變換半群,記作On;Xn上的所有保序部分單變換在復(fù)合運(yùn)算下構(gòu)成的半群稱為Xn的保序部分單變換半群,記作IOn.它們的許多性質(zhì)已經(jīng)被前人研究[1-8].特別的,On的自同態(tài)已被V.H.Fernandes等人在[1]中研究出來,IOn的自同態(tài)已被作者在[2]中研究出來.在此筆者將進(jìn)一步研究On和IOn之間的同態(tài).

本文的映射是右映射.令S,T為兩個半群,φ:S→T為映射.若對任意的x,y∈S,都有(x)φ(y)φ=(xy)φ,則稱φ為同態(tài).由[3]知,On,IOn均為正則半群.

由[1],[4]知,On,IOn上的格林關(guān)系都為

αβ當(dāng)且僅當(dāng)im(α)=im(β);

2 主要結(jié)果

在本文中得到下面兩個結(jié)果：

定理1令φ:IOn→On為任一映射,φ是同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)φ是下面之一:

(1)存在冪等元e,f∈E(On),其中e≠f且ef=fe=f,有(1n)φ=e,(IOn{1n})φ=f;

(2)選取e∈E(On),對任意的α∈IOn,都有(α)φ=e.

定理2令φ:On→IOn為任一映射,φ是同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)φ是下面之一:

(1)存在冪等元e,f∈E(IOn),其中e≠f且ef=fe=f,有(1n)φ=e,(On{1n})φ=f;

(2)選取e∈E(IOn),對任意的α∈On,都有(α)φ=e.

3 定理1的證明

顯然定理1中的(1),(2)均為同態(tài).故只需證明除了(1),(2)外沒有別的同態(tài).

f≠f·d=(f)φ·d=(f·(d)φ-1)φ=f,

矛盾,因此l

(g)φ·f=(g)φ·(f)φ=(gf)φ=f=(fg)φ=(f)φ·(g)φ=f·(g)φ,

故有r(f)

im((δi)φ)∩im((δj)φ)=im(f) (i≠j).

綜上所述,IOn到On的同態(tài)只有(1),(2)兩種.

4 定理2的證明

保序變換半群On到保序部分單變換半群IOn的同態(tài)討論類似IOn到On的同態(tài).類似的,在On中有

引理3和引理4的證明類似引理1和引理2的證明.

令

im((εi)φ)∩im((εj)φ)=im(f′) (i≠j).

[1] Fernandes V H, Jesus M M, Maltcev V,etal. Endomorphisms of semigroups of order-preserving mappings[J]. Semigroup Forum,2010,81:277-285.

[2] 高京南,楊秀良.保序部分單變換半群的自同態(tài)[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013(3)：220-222.

[3] Ganyushkin O, Mazorchuk V. Introduction to classical finite transformation semigroup[M]. London: Springer Verlag,2009.

[4] Ganyushkin O, Mazorchuk V. On the structure ofIOn[J]. Semigroup Forum, 2003, 66: 455-483.

[5] Fernandes V H. The monoid of all injective order preserving partial transformations on a finite chain[J]. Semigroup Forum, 2001, 62: 178-204.

[6] Aizenstat A J. Homomorphisms of semigroups of endomorphisms of ordered sets[J]. Uch Zap Leningr Gos Pedagog Inst,1962:238,38-48.

[7] Howie J M. Fundamentals of semigroup theory[M]. New York: Oxford University Press, 1995.

[8] Timothy L, Andrew S. The endomorphisms of a finite chain form a Rees congruence semigroup[J]. Semigroup Forum, 1999,59: 167-170.

HomorphismsofTwoOrder-preservingTransformationSemigroups

GAO Jingnan, YANG Xiuliang

(College of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

OnandIOnare the order-preserving transformation semigroup and partial order-preserving single transformation semigroup onXn={1,2,…,n} respectively. This paper described all homorphisms fromIOntoOnand the homorphisms fromOntoIOn.

homorphism; kernel; congruence

2012-12-02

楊秀良(1963—),男,教授,博士,主要從事半群代數(shù)研究.E-mail：yxl@hznu.edu.cn

10.3969/j.issn.1674-232X.2013.05.007

O152.7MSC201043A22

A

1674-232X(2013)05-0418-04