薛　佳，游泰杰，郭桂容

(1.貴州師范大學數(shù)學與計算機科學學院，貴州 貴陽 550001；

2.六盤水師范大學數(shù)學系，貴州 六盤水 553004)

?

幺半群ODn的反保序平方冪等元的秩

薛佳1，游泰杰1，郭桂容2

(1.貴州師范大學數(shù)學與計算機科學學院，貴州 貴陽 550001；

2.六盤水師范大學數(shù)學系，貴州 六盤水 553004)

[摘要]設(shè)ODspan是上的保序與反保序變換半群，證明了當n≥1時，幺半群ODn的反保序平方冪等元的秩為n.

[關(guān)鍵詞]保序與反保序變換半群；反保序平方冪等元；秩

1預備知識

設(shè)α∈Tn，若α2=α，則稱α為冪等元，用E(Tn)來表示Tn中的冪等元的集合；若α2≠α，但α4=α2，則稱α是一個平方冪等元，用QE(Tn)表示α中的平方冪等元集合.根據(jù)ODn的定義可知，ODn中的變換只有保序變換與反保序變換，從而我們可以把ODn中的平方冪等元分為兩類：保序平方冪等元與反保序平方冪等元，分別用符號OQE(ODn)，RQE(ODn)表示.

.

顯然h不僅是一個反保序變換，也是平方冪等元，從而可知ODn不能只由保序變換生成，也不能由保序平方冪等元生成.因此，本文將考慮幺半群ODn是可由反保序變換生成，且可由反保序平方冪等元生成，并論證了ODn的反保序平方冪等元秩為

詳見本文定理1.

設(shè)ODn是幺半群，根據(jù)格林等價關(guān)系R，L，H和J的定義，可知對任意的α，β∈ODn，

(α，β)∈L?im(α)=im(β)，

(α，β)∈R?ker(α)=ker(β)，

(α，β)∈J?|im(α)|=|im(β)|.

其中J-類中Jn-1有n-1個R-類和n個L-類，且ODn的每一個H-類中只有兩個變換，一個保序變換，一個反保序變換.

2主要結(jié)論

對于半群中任意的H-類H，設(shè)變換α∈H，S是[n]上的一個非空集合，ρ是對[n]的分類.若im(α)=S，ker(α)=ρ，則記含有α的H-類為HS，ρ.若H-類中含有冪等元，則稱該H-類為H-類群.

引理1[9]設(shè)HS，ρ，HT，σ?Ji，1≤i≤n.則HS，ρHT，σ=HT，ρ，當且僅當HS，ρ是H-類群.

由引理1立即可得下面結(jié)論.

引理4[8]當n≥2時，ODn=〈μ1，μ2，…μn-1，h〉，其中

且有以下關(guān)系成立：

(1) h2=1；

(2) hμih=νi，1≤i≤n-1；

(3) μiνj=νjμi，1≤i，j≤n-1，j≠n-i或j≠n-i+1.

引理5ODn中任意一個H-類群中都有反保序平方冪等元.

證明設(shè)S是ODn中的任意一個H-類群，即存在一個冪等元e，使得e∈S.又ODn的每一個H-類中有且只有兩個元素，一個保序變換和一個反保序變換，又由引理2，存在反保序變換ξ∈S，使得ξ2=e∈S，因此ξ是反保序平方冪等元.

顯然由反保序平方冪等元的定義可知α不是反保序平方冪等元.同理可論證當k>i時，α也不是反保序平方冪等元.結(jié)論得證.

G*(i)=GG(i)，1≤i≤n-1.

為方便，我們引入符號：

p=n2

引理8設(shè)1≤i≤n-1，且.則：

進一步有下面結(jié)論成立.

情形1α=β=h.顯然αβ=1?Jn-1.

定理1設(shè)n≥1，則ODn的反保序平方冪等元秩為n，即rqdrank(ODn)=n.

[參考文獻]

[1]GOMES G M S，HOWIE J M. On the ranks of certain semigroups of order-preserving transformations[J].Semigroup Forum，1992，45:272-282.

[2]GARBA G U. On the idempotent ranks of certain semigroups of order-preserving transformations[J].Portugal Math，1994，51:185-204.

[3]UMAR A. On the semigroup of partial one-one order-decreasing finite transformation[J].Proc Roy Soc Edinburgh，1993，123A:355-363.

[4]MADU B A.Quasi-idempotents and quasi-nilpotents in finite transformations semigroups[D]. Zaria：Ahmadu Bello University，1999.

[5]IMAM A T.Subsemigroups generated by quasi-idempotents in certain finite semigroups of mappings[D].Zaria:Ahmadu Bello University，2013.

[6]吳江燕，游泰杰.保序部分變換半群POn的平方冪等元[J].東北師大學報(自然科學版)，2015，47(1):6-11.

[7]FERNANDES V H，GOMES G M S， JESUS M M. Congruences on monoids of order-preserving or order-reversing transformations[J].Glasgow Math J，2005，47：413-424.

[8]FERNANDES V H，GOMES G M S，JESUS M M. Presentations for some monoids of partial transformations on a finite chain[J].Communications in Algebra，2005，33:587-604.

[9]HOWIE J M. Semigroups of mappings[J].Pacific Journal of Mathmatics，2006,37(3)：701-709.

[10]HOWIE J M. Fundamentals of semigroup theory[M].Oxford:Oxford University Press，1995：1-44.

[11]DINITROVA I，KOPPITZ J.On the maximal subsemigroups of some transformation semigroups[J].Asian-European Journal of Mathematics，2008(1)：189-202.

(責任編輯：李亞軍)

On the order-reversing quasi-idempotent rank of the monoidODn

XUEJia1，YOUTai-jie1，GUOGui-rong2

(1.School of Mathematics and Computer Science，Guizhou Normal University，Guiyang 550001，China；2.Department of Mathematics，Liupanshui Normal College，Liupanshui 553004，China)

Abstract:Let ODspanbe the order-preserving and order-reversing semigroup on . It is proved that the order-reversing quasi-idempotent rank of semigroup ODspanequals n when n≥1.

Keywords:full order-preserving and order-reversing semigroup；order-reversing quasi-idempotent；rank

[中圖分類號]O 152.7[學科代碼]110·21

[文獻標志碼]A

[作者簡介]薛佳(1990—)，碩士，主要從事半群代數(shù)理論研究.

[基金項目]國家自然科學基金資助項目(11461014)；貴州省自然科學基金資助項目(黔科合J字LKLS[2013]31號).

[收稿日期]2015-05-26

[文章編號]1000-1832(2016)01-0049-05

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.01.012