呂 會 羅永貴

( 貴州師范大學數(shù)學科學學院,550025,貴陽 )

1 預備知識

設[n]={1,2,…,n-1,n}(n≥3)并賦予自然數(shù)的大小序.In表示[n]上的一一變換半群,SIn=InSn是[n]上的部分一一變換半群.設α∈SIn,若對任意的x,y∈dom(α),x≤y可推出xα≤yα,則稱α是保序的;若(1α,2α,…,nα)是一個圈,即最多存在一個自然數(shù)i, 使得iα>(i+1)α,則稱α是方向保序的.記OIn為InSn中所有保序變換之集,稱OIn為保序嚴格部分一一變換半群.記POPIn為InSn中所有方向保序變換之集,稱POPIn為方向保序嚴格部分一一變換半群.

設k是[n]上的一個固定點,令

(1)

其中a1

αR◇β當且僅當ker(α)=ker(β),

αL◇β當且僅當im(α)=im(β),

αD◇β當且僅當|im(α)|=|im(β)|.

(2)

易見,Pr關于運算· 是完全0 - 單半群.

定義2設

易知若θ1=σ1⊕δ1,θ2=σ2⊕δ2,則有θ1θ2=σ1σ2⊕δ1δ2.

定理1設n≥3,1≤r≤n-1,則

(3)

本文未定義的術語及符號參見文獻[7-9].

2 定理1的證明

為完成定理1的證明先給出如下兩個引理與一個推論.

證若(α,β)，(α,αβ)∈D◇,則|im(α)|=|im(β)|=|im(αβ)|. 再由im(αβ)? im(β),ker(α)?ker(αβ)與[n]的有限性可知,im(αβ)=im(β),ker(α)=ker(αβ),即(α,αβ)∈R◇,(αβ,β)∈L◇.

推論1設n≥3,1≤r≤n-1,則

(4)

證分以下幾種情況討論：

設A1={p1

將αm換成

易知

是一個群.

對其余D-類也用類似方式進行構造,可得集合

當i

當i=j時,有α=αiαi+1…αm-1αmα1α2…αi-2αi-1.

當i>j時,有α=αiαi+1…αm-1αmα1α2α3…αj-2αj-1.

因此,結合推論1可得M是Pr的極小生成集, 且

綜上可知定理1得證.

3 可進一步研究的問題