賴彩玲

[摘 要] 概念是高中數(shù)學(xué)知識大廈的基石，影響高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的外部因素包括概念的類型、直觀背景、原型等等，有效解決的對策在于概念教學(xué)的問題化，引導(dǎo)學(xué)生在問題的解決過程中越發(fā)接近概念的本質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)概念；問題；問題解決

概念是高中數(shù)學(xué)知識大廈的基石，影響高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的因素分為外部因素和內(nèi)部因素，本文研究影響高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的外部因素，并從問題解決法的視角探索提高概念學(xué)習(xí)的實際效果.

影響高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的外部因素

1. 概念的類型

從概念的來源來看，我們教材中的數(shù)學(xué)概念分為兩類：第一類是客觀世界中的直接抽象，源于客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，如幾何圖形、自然數(shù)等，這類概念由于有直觀的原型，學(xué)生更容易理解；第二類是從已有數(shù)學(xué)理論出發(fā)，以此為基礎(chǔ)從邏輯關(guān)系建構(gòu)的，如映射、函數(shù)等，這類概念要求學(xué)生有更高的抽象思維的能力. 兩類概念相比，學(xué)生在學(xué)習(xí)第二類概念時難度高于第一類.

2. 概念的直觀背景

什么是數(shù)學(xué)概念的直觀背景呢？

學(xué)生的學(xué)習(xí)并非孤立的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)亦是如此，數(shù)學(xué)概念的直觀背景指的是包括圖形、符號、實物模型等在內(nèi)的與概念相關(guān)的直觀形象，“直觀背景”有助于學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念，能有效減輕學(xué)生從數(shù)學(xué)現(xiàn)象和感知轉(zhuǎn)向抽象概念過程中存在的理解上的負(fù)擔(dān)，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的提取，促進概念意象的形成和理解. 不過，任何的直觀性背景材料都存在局限性，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中容易出現(xiàn)部分代替整體，或受到非本質(zhì)背景的學(xué)習(xí)干擾，對學(xué)生的概念學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響. 在概念學(xué)習(xí)的初期，最好選擇低干擾的例子避免學(xué)生被非本質(zhì)背景的影響，在概念學(xué)習(xí)的后期尤其是復(fù)習(xí)階段，學(xué)生對于概念有了較深的理解后，可以選擇具有高干擾背景的例子引導(dǎo)學(xué)生在辨析的過程中進行概念的鞏固和內(nèi)化.

3. 概念的原型

所謂的原型，指的是在表征數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性時最具典型性的標(biāo)準(zhǔn)實例.高中數(shù)學(xué)教學(xué)概念的原型分為如下幾個：

（1）實例原型：例如我們在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)等比數(shù)列時舉的《國王與棋盤》的故事；

（2）圖像原型：例如我們在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“圓”的概念時，圓的圖像就很典型；

（3）表達(dá)式原型：例如我們在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“雙曲線”時，-=1（a>0，b>0）這個原型就比y=更容易想到；

（4）操作式原型：例如線面角的概念.

高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的有效對策：概念教學(xué)問題化

新課程強調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，但是所有的概念都由學(xué)生自己去探究和發(fā)現(xiàn)，顯然又會與有限的課時相沖突，怎么辦？筆者認(rèn)為通過概念教學(xué)問題化，可以有效改善高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)外因的影響，促進數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)質(zhì)量的有效提升. 下面就如何進行問題的設(shè)置結(jié)合具體的實例進行分析.

1. 研讀教材，改造并設(shè)置問題

教材是我們進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要資源，認(rèn)真研究教材，深度挖掘并設(shè)置問題有助于概念學(xué)習(xí)的外因趨向積極的方面.

例如，筆者在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“傾斜角與斜率”這節(jié)內(nèi)容時，結(jié)合教材中的文本描述設(shè)置了如下問題串.

問題1：回憶一下初中的學(xué)習(xí)，你有什么辦法確定一條直線？（兩點確定一條直線）

問題2：為什么一點就不能夠確定一條直線呢？

問題3：想一想在變化的過程中，怎樣可以確定一條直線呢？

設(shè)計意圖：通過上述幾個問題的思考，將學(xué)生的思維轉(zhuǎn)向“傾斜程度”，有了這一基礎(chǔ)，提出“傾斜角”的概念就顯得很自然，而且學(xué)生的理解也會較為深入.

2. 聯(lián)系生活，增強學(xué)習(xí)的直觀性

從當(dāng)前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來看，由于高考數(shù)學(xué)學(xué)科是拉分的利器，平時的數(shù)學(xué)訓(xùn)練也大多是和數(shù)學(xué)題目打交道，加上數(shù)學(xué)概念具有高度抽象性的特點，很多學(xué)生感覺數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是為了高考拿分，與生活實際聯(lián)系不大，事實是不是這樣呢？實踐經(jīng)驗表明，數(shù)學(xué)與生活密不可分，生活是抽象數(shù)學(xué)概念的重要本源，也是數(shù)學(xué)概念形成的最為直觀的背景所在. 為此，筆者認(rèn)為我們的概念教學(xué)在問題的設(shè)計上可以從生活情境出發(fā)，提高概念學(xué)習(xí)的直觀性，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，切身感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值.

例如，筆者在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“函數(shù)”這一概念時，選擇生活化的情境引入，引導(dǎo)學(xué)生解決實際的問題.

生活化情境：位于意大利的水城威尼斯有一個“馬爾克”廣場，這個廣場的一端為一教堂，而在教堂的正前方則是廣場，從廣場的另一端走到教堂正前方，大約有175米的直線距離. 在過去有相當(dāng)長的時間，有很多人在這里做過同一個游戲，就是把眼睛蒙起來，然后看是否可以從廣場一端成功地沿直線走到教堂的正前面，但是所有的人嘗試后都沒有取得成功，要么向左、要么向右，走的都是弧線，這是為什么呢？到1896年，有一位挪威的學(xué)者解開了這個謎底，他在收集了大量事例后進行分析，最終得出結(jié)果：出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因是因為人的兩條腿的長短問題，由于長年累月的習(xí)慣，每個人伸出的步子一條腿要比另一條腿長一段很微小的距離，而正是這一微小的步差x，導(dǎo)致人們走出了一個半徑為y的大圓圈. 設(shè)某人兩腳踏線間隔為0.1米，平均步長0.7米，當(dāng)人們在走路的過程中打圈子，圓圈的半徑y(tǒng)與步差x之間存在的關(guān)系如下：y=（0

通過這種事例學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值，同時催生出思考，生活中還有這樣的對應(yīng)關(guān)系和問題么？思維向著發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的方向延伸與發(fā)展.

3. 研究學(xué)情，在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)設(shè)置問題

根據(jù)維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論.我們的教學(xué)必須符合所教班級學(xué)生的智力水平、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、習(xí)慣和思維水平等等，在問題的設(shè)計前應(yīng)該認(rèn)真地研究學(xué)生的學(xué)情，確保問題設(shè)置的針對性和有效性.

例如，在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“概率”這個概念時，分析學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，學(xué)生在初中階段學(xué)過“等可能事件”的概念，同時也會用“雙向列表”將事件的個數(shù)列出來的方法. 然后分析，高中概率教學(xué)的起點在哪里？從人教版教材來看，一開始就涉及“必然事件”、“不可能事件”和“隨機事件”等等概念，以及“用概率度量隨機事件發(fā)生可能性的大小”這一方法，如何在學(xué)生的初中認(rèn)知基礎(chǔ)上跨越到教材的起點呢？這之間就是最近發(fā)展區(qū). 我們的問題設(shè)計就應(yīng)該在這兩者之間進行合理的設(shè)計.

當(dāng)然，遇到比較抽象的概念，我們還可以從學(xué)生身邊的實際情境出發(fā)，借助于問題的設(shè)計幫助學(xué)生尋找原型，促進概念本質(zhì)特征的理解.

例如，對于學(xué)生而言，“映射”這個概念理解上有難度，筆者為了促進學(xué)生理解，設(shè)置了學(xué)生感興趣的話題：“每個同學(xué)考入高中的時候，都有一個中考分?jǐn)?shù)，每個人和自己的中考分?jǐn)?shù)有什么對應(yīng)關(guān)系？”這樣的設(shè)計落在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，學(xué)生很快就可以通過這個身邊的實際問題的解決，揭示出映射的本質(zhì)特征，概念的學(xué)習(xí)的效果自然提升.

4. 采用變式，多維度深化對概念的認(rèn)識

概念初步形成以后，為了促進學(xué)生概念的鞏固與內(nèi)化，我們應(yīng)該采用變式問題的方式給學(xué)生提供多維度的直觀背景，讓學(xué)生通過分析、鑒別提高概念認(rèn)識的深刻性、準(zhǔn)確性.

例如，在學(xué)習(xí)“拋物線”這節(jié)內(nèi)容時，定義給出后，可以采用如下變式訓(xùn)練促進學(xué)生內(nèi)化：

問題1：滿足的點P（x，y）的軌跡是什么曲線？

問題2：若點A是定直線l以外的一個定點，則過點A且與直線l相切的圓的圓心軌跡是什么曲線？

問題3：到直線l：x+y-2=0和到點P（1，1）距離相等的點的軌跡是什么？

從這3個問題的設(shè)計來看，前面2個問題分別引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)與幾何兩個角度對拋物線的本質(zhì)特征進行分析，問題解決的過程則是概念認(rèn)識逐步深入的過程，當(dāng)學(xué)生有了較深的認(rèn)識后，拋出問題3這一個反例，旨在引導(dǎo)學(xué)生在剔除非本質(zhì)特征完成問題的思考與解決，在這個過程中學(xué)生對概念的理解越發(fā)準(zhǔn)確.