甄琪琪

【摘要】“數(shù)形結(jié)合”思想是目前高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常用到的一種數(shù)學(xué)思想方法，筆者在高中三年學(xué)習(xí)期間，發(fā)現(xiàn)集合、排列組合以及函數(shù)部分屬于這一思想應(yīng)用較多的領(lǐng)域，故而在老師的指導(dǎo)下，將這些利用到“數(shù)形結(jié)合”思想的部分做了較為完整的總結(jié).本文以“數(shù)形結(jié)合”思想在高中解題中的應(yīng)用為主要話題，筆者通過(guò)總結(jié)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中利用到這一思想進(jìn)行解題的類型，提出了一些自己的看法，希望能對(duì)處于高中學(xué)習(xí)階段、對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有些困難的同學(xué)提供一定的幫助.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想；高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)解題

一、數(shù)形結(jié)合思想之我見(jiàn)

筆者認(rèn)為所謂的“數(shù)形結(jié)合”思想就是利用幾何圖形與數(shù)值之間的關(guān)系，來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)題目的解答.幾何圖形和數(shù)值是構(gòu)成數(shù)學(xué)的兩個(gè)重要元素，而且二者之間并不是完全獨(dú)立的關(guān)系.可以說(shuō)，每一個(gè)幾何圖形當(dāng)中都蘊(yùn)含著一定的數(shù)值關(guān)系（比如面積、周長(zhǎng)的計(jì)算都屬于數(shù)值關(guān)系的內(nèi)容），而數(shù)值關(guān)系又可以通過(guò)幾何圖形來(lái)進(jìn)行形象的描述和表達(dá)（比如數(shù)軸、矢量等等）因此，將二者結(jié)合起來(lái)，將較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題參考“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面的維度來(lái)進(jìn)行解決，是非常有效、也有助于將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的方法.

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中解題中的應(yīng)用

（一）集合中的應(yīng)用

筆者在復(fù)習(xí)集合類的題目時(shí)，發(fā)現(xiàn)集合部分對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用較多的主要有以數(shù)軸和韋恩圖為主，這對(duì)于處理結(jié)合部分的子、交、并、補(bǔ)問(wèn)題具有直觀性和便利性的特點(diǎn).以這樣一道題目為例：A={x∈N，03或x<1}，求A∩B.在解答這類題目時(shí)，筆者首先會(huì)在數(shù)軸上標(biāo)出相應(yīng)的點(diǎn)（這道題中相應(yīng)的點(diǎn)分別是0，7，3，1），然后根據(jù)不等式所表示的方向，在數(shù)軸上畫(huà)出相應(yīng)集合所表示的區(qū)域，而區(qū)域重疊的地方，就是所謂的交集，因?yàn)镹意味著整數(shù)，因此可以得出這道題目的結(jié)論A∩B={4，5，6}.筆者認(rèn)為，基本集合類題目的模型都可以利用數(shù)軸的方法來(lái)求解，只要能順利分解出數(shù)學(xué)題目當(dāng)中的集合模型，實(shí)現(xiàn)其與數(shù)軸之間的直接轉(zhuǎn)化，就能夠快速、高效地解決題目，還能保證較高的準(zhǔn)確率.

（二）排列組合中的應(yīng)用

排列組合類利用“數(shù)形結(jié)合”思想來(lái)解決問(wèn)題的題目，其共同點(diǎn)在于問(wèn)題的本身就具有一定的圖像性和畫(huà)面感.例如這道題目：在圓周上一共8個(gè)點(diǎn)，以這8個(gè)點(diǎn)做弦，那么圓的內(nèi)部最多會(huì)出現(xiàn)多少個(gè)交點(diǎn)？

通過(guò)隨意繪圖我們可以發(fā)現(xiàn)，一條弦需要兩個(gè)圓上的點(diǎn)；三個(gè)點(diǎn)最多可以畫(huà)出三條弦，但是不會(huì)在圓內(nèi)有交點(diǎn)；四個(gè)點(diǎn)最多可以畫(huà)出六條弦，圓內(nèi)只能有一個(gè)交點(diǎn).因此要想使這些弦在圓內(nèi)造成的交點(diǎn)達(dá)到最大值，我們可以將這道題目構(gòu)建成這樣一個(gè)模型，即將四個(gè)點(diǎn)分為一組，那么8個(gè)點(diǎn)中一共可以劃分出多少個(gè)四點(diǎn)組合，那么這就是一道非常普通的排列組合問(wèn)題，即C48=8×7×6×5/4×3×2×1=70，也就是最多可以有70個(gè)交點(diǎn).這類題目在求解計(jì)算的時(shí)候其難點(diǎn)在于能否利用數(shù)形結(jié)合思想將題目構(gòu)建出排列組合的模型，換言之“數(shù)形結(jié)合”思想在這類排列組合題目當(dāng)中的運(yùn)用目的在于構(gòu)建模型，而不是解題.

（三）函數(shù)極值中的應(yīng)用

函數(shù)當(dāng)中極值的運(yùn)用，筆者打算借用一道函數(shù)和數(shù)列相組合的題目來(lái)進(jìn)行說(shuō)明.通常意義上，數(shù)列當(dāng)中對(duì)于“數(shù)形結(jié)合”思想的運(yùn)用，其情況較為復(fù)雜，只有先將數(shù)列整合成函數(shù)的模型，才能進(jìn)一步地引入圖形來(lái)進(jìn)行題目的求解.而這一類題目中最為常見(jiàn)的就是所謂的求極值.

以這樣一道題目為例：等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3=15，S13>0，S14<0，請(qǐng)問(wèn)S1、S2……S13當(dāng)中究竟哪一項(xiàng)最大？請(qǐng)說(shuō)出具體原因.這道題目乍一看較為普通的想法是利用a3的值以及等差數(shù)列的屬性求出S1～S13的值，但是羅列出相關(guān)數(shù)據(jù)之后就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)方法行不通，換言之就是給出的具體數(shù)值有限，沒(méi)有辦法求出具體數(shù)值來(lái)比較大小.在這樣一種情況下，我們可以將這個(gè)等差數(shù)列的求和公式看作是一個(gè)一元二次函數(shù)，y=Ax2+Bx（x只取自然數(shù)），那么這個(gè)函數(shù)上就會(huì)有兩個(gè)點(diǎn)（13，S13）、（14、S14），因?yàn)镾13>0，S14<0，我們可以確定這個(gè)二次函數(shù)的圖像必然是開(kāi)口向下的.我們假設(shè)這個(gè)函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)分別是（0，0）、（m，0），那么這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸就是m[]2，如果m[]2是整數(shù)，那么這個(gè)點(diǎn)就是該數(shù)列求和的最大值.我們可以確認(rèn)的是13