申貝貝

【摘要】 線性代數(shù)是一門應(yīng)用性極強的基礎(chǔ)學(xué)科，但是由于其自身性質(zhì)，在學(xué)習(xí)過程中會出現(xiàn)很多問題，Matlab以其在許多方面強大的功能優(yōu)勢，其應(yīng)用與線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過程相結(jié)合會收到學(xué)習(xí)事半功倍的效果. 本文通過對Matlab在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中的使用必要性以及具體運用進行探討，希望給相關(guān)的理論研究工作提供一點參考依據(jù).

【關(guān)鍵詞】 Matlab；線性代數(shù)；應(yīng)用

長久以來傳統(tǒng)線性代數(shù)的應(yīng)用性受到人們的忽視，常常將重心置于定理、證明等過程. 然而社會經(jīng)濟中很多現(xiàn)實問題，無法只憑借對線性代數(shù)相關(guān)定理、概念的理解去解決. 如果在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中引入Matlab工具軟件，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)計算的精準(zhǔn)性，而且能夠進行仿真繪圖，使得數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活緊密相連，學(xué)習(xí)效率大大提高.

一、線性代數(shù)中使用Matlab軟件的必要性

線性代數(shù)是非常重要的學(xué)科，具有非常嚴(yán)密的邏輯性和高度的抽象性，計算過程非常復(fù)雜，計算量非常大. Matlab軟件兼容性極佳，具有非常強大的仿真繪畫和計算功能，將Matlab引入線性代數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，可在多維空間中將抽象概念具體、形象化，并拓展至高維空間，無須對數(shù)序問題進行探討.

二、Matlab在線性代數(shù)知識中的應(yīng)用

假設(shè)在一個大城市中的總?cè)藬?shù)是固定的，人口的分布會因居民在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徒而變化.每年平均有6%的市區(qū)人口向郊區(qū)遷移，2%的郊區(qū)人口向市區(qū)遷移. 如果最開始全部人口的70%為郊區(qū)人口，30%為市區(qū)人口，現(xiàn)在如何求出十年后、三十年后、五十年后兩個區(qū)域的人口比重？可以用矩陣乘法來描述這個問題. 市區(qū)和郊區(qū)兩個變量分量表口人口變量，即：Xk = XckXsk，其中s表示郊區(qū)，c表示市區(qū)，k表示年份，當(dāng)k = 0的時候，

其中：

X = Xc0Xs0 = 0.30.7

城市一年之后的市區(qū)人口比例為Xc1 = 0.02Xs0 + （1 - 0.06）Xc0，郊區(qū)比例為Xs1 = （1 - 0.02）Xs0 + 0.06Xc0，人口比例變化如果用矩陣來描述的話，可表述為：

X1 = Xc1Xs1 = 0.94 0.020.06 0.980.30.7 = AX0 = 0.29600.7040

從最開始到第k年，這種比例關(guān)系是固定不變的，因此上式可以擴展，Xk = AXk-1 = A2Xk-2 = … = AkX0 = 0.29600.7040. 運用Matlab軟件計算的話，則為A = {0.94，0.02，0.06，0.98}，X0 = {0.3，0.7}，X1 = A*X0，X10 = A10*X0，X30 = A30*X0，X50 = A50*X0.

X1 = 0.29600.7040，X10 = 0.27170.7283，X30 = 0.25410.7459，X50 = 0.25080.7492

當(dāng)k的值無限增大的時候，兩個區(qū)域的人口比例趨于一個常數(shù)：0.25/0.75，如果要對這個固定比例的出現(xiàn)原因進行探究的話，第一步須將坐標(biāo)系統(tǒng)進行調(diào)整，能夠特別明確地從這個坐標(biāo)系統(tǒng)中看到與矩陣A相乘的效果，首先需求出A的特征值和向量，輸入{c，r} = cig（A）

可得c = -0.7071 -0.3162 0.7041 -0.9487，r = 0.9200 0 0 1.0000，令u1 = -1 1，u2 = 13，兩個區(qū)域人口是整數(shù)，而且和特征向量c1，c2成比例. 由此可知，用A與兩個特征向量分別相乘的話，改變的僅是特征向量的長度，對其方向沒有產(chǎn)生任何影響，發(fā)生相應(yīng)變化的比例為0.92和1.Au1 = 0.92u1，Au2 = u2，X0 = 0.25u2 - 0.05u1，因此可得Xk = 0.02u2 - 0.05（0.92）ku1，當(dāng)k取值無限大的情況下，第二項值趨于0，所以其可不予考慮. 選擇合適的基向量，矩陣乘法結(jié)果與簡單實數(shù)的乘子相等同，可以避免交叉項的出現(xiàn)，可使問題簡單化.

三、利用Matlab對線性代數(shù)中的實際問題進行解決

例如：我國目前高校學(xué)生每天均需有一定量的蛋白質(zhì)、脂肪和碳水化合物的攝取，三種營養(yǎng)素每天所需正常量分別為33、3、45，第一種食物中三種營養(yǎng)物質(zhì)含量分別為：36、0、52，第二種食物中含量分別為：51、7、34，第三種食物為13、1.1、74，根據(jù)對上述問題的描述建立線性方程組，對高校學(xué)生每天對三種物質(zhì)的攝入量進行確定，假設(shè)第一種食物中三種營養(yǎng)物質(zhì)的含量分別為x1，x2，x3，因此可得以下方程組：36x1 + 51x2 + 13x3 = 33，7x2 + 1.1x3 = 3，52x1 + 34x2 + 74x3 = 45.運用Matlab軟件對以上方程組求解的方法為：A = [36 51 13；0 7 1.1；52 34 74]，B = [33；3；45]，X = inv（A）*B則求出0.2772，0.3919，0.2332，最后結(jié)果可以借助Matlab軟件求得，依據(jù)所求得的結(jié)果可知，高校學(xué)生應(yīng)當(dāng)每天攝入的第一種食物量為：0.2772，第二種食物量為：0.3917，第三種食物量為：0.2332，這個量就可以充分保障高校學(xué)生的健康合理飲食. 通過上述實際問題的解決過程可知，在運用線性代數(shù)解決現(xiàn)實問題時，第一步應(yīng)當(dāng)建模，然后通過Matlab工具軟件進行計算，這樣一來大大提高了問題解決的效率.

四、Matlab在矩陣求秩、向量組極大無關(guān)組求解中的應(yīng)用

在Matlab工具軟件中存在一種命令，這種命令可以直接求矩陣求秩以及對向量組極大無關(guān)值進行求解，現(xiàn)舉例說明. 對于A = {a1，a2，a3，a4} = 2 1 2 34 1 3 52 0 1 2，要求對A的秩，梯形矩陣代碼是A = [2 1 2 3；4 1 3 5；2 0 1 2]通過上述代碼可知A的秩是2.

綜上所述，通過輔助軟件Matlab，可大大簡化線性代數(shù)的學(xué)習(xí)，并且運用Matlab對現(xiàn)實數(shù)學(xué)問題進行解決，建模能力也相應(yīng)得到提高，而且使得線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過程充滿趣味性.

【參考文獻】

[1]凌智，張波.Matlab在工科線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2008（29）：247-248.

[2]劉波，戴小鵬，沈岳，王奕.Matlab融入線性代數(shù)的教學(xué)改革與實踐[J].軟件，2014（02）：150-152.