☉江蘇省南京市六合區(qū)程橋高級(jí)中學(xué)高小晶

挖掘課本習(xí)題教學(xué)功能培養(yǎng)學(xué)生思維能力

☉江蘇省南京市六合區(qū)程橋高級(jí)中學(xué)高小晶

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的藍(lán)本，教材上的例、習(xí)題怎么處理？如果僅僅從“難度”上來看這些例、習(xí)題，學(xué)生都會(huì)覺得它們太“簡(jiǎn)單”了.于是乎，不少老師在處理這些例、習(xí)題時(shí)都“惜時(shí)如金”，生怕“浪費(fèi)”時(shí)間，將更多時(shí)間和精力用在各種資料上.殊不知，教材上的每道題都是專家精心編寫而成的，每道例、習(xí)題都包含著豐富的內(nèi)涵.在教學(xué)中，如果我們善于以例、習(xí)題作為思維的生長(zhǎng)點(diǎn)，深入挖掘習(xí)題的內(nèi)涵，多角度、全方位地引導(dǎo)鼓勵(lì)學(xué)生積極去思考，那么就可以拓展學(xué)生的思維空間，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，全面提高學(xué)生素質(zhì).下面筆者通過自己的教學(xué)實(shí)踐談?wù)勍ㄟ^課本習(xí)題如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，不當(dāng)之處敬請(qǐng)指正.

一、挖掘課本習(xí)題教學(xué)功能，培養(yǎng)學(xué)生探究歸納能力

在教學(xué)過程中，若老師有目的、有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生研究一些典型題目，揭示其內(nèi)在規(guī)律，挖掘其教學(xué)功能，不僅有利于學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)變能力和探究歸納能力，優(yōu)化學(xué)生思維方式，發(fā)掘創(chuàng)新潛能、發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)也是有益的，同時(shí)必然能提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

案例1普通高中數(shù)學(xué)人教A版必修4第138頁B組習(xí)題3：

觀察以下各等式：

分析上述各式的共同特點(diǎn)，學(xué)生能寫出反映一般規(guī)律的等式，并對(duì)等式的正確性作出證明.但對(duì)于此題，教師可以從以下幾個(gè)方面來研究：

注：此處“對(duì)偶”是指正弦與余弦互換，再根據(jù)sin2α+ cos2α=1來求值.

方法1、2、3主要反映了對(duì)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式掌握的熟練程度和運(yùn)算能力的強(qiáng)弱，而方法4則反映了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系及化歸與轉(zhuǎn)化的思想，有助于思維靈活性的培養(yǎng).

（三）結(jié)論推廣

更一般地有：

sin2α+cos2β-2sin（α+β）sinαcosβ=cos2（α+β）.

限于篇幅，證明此略.

這樣通過一題多解，探求規(guī)律，拓展延伸不僅讓學(xué)生對(duì)三角函數(shù)這部分內(nèi)容有了更深入的理解，而且培養(yǎng)學(xué)生由此及彼、探究歸納的能力，使得解題后的反思總結(jié)成為一種習(xí)慣.

二、挖掘課本習(xí)題一題多變功能，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力

“一題多變”，讓學(xué)生從不同的角度去觀察、分析、探究，使學(xué)生在做題中進(jìn)一步體會(huì)到前后知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，于是，學(xué)生的思維空間更加廣闊了，解題方法更加靈活了.

案例2人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（必修1）例題3：寫出集合｛a，b｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

這道題目學(xué)生按照集合子集中元素個(gè)數(shù)多少的標(biāo)準(zhǔn)可以一一寫出，寫出后還可以數(shù)出有4個(gè)子集.如果這兩個(gè)問題做到這里就停止研究，那就太膚淺了，“辜負(fù)”了編者的一片好意.

變式1：寫出集合｛a，b，c｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

教師：寫出｛a，b｝的所有4個(gè)子集?，｛a｝，｛b｝，｛a，b｝后，你還有更快的方法寫出｛a，b，c｝的所有子集嗎？

學(xué)生經(jīng)過思考，發(fā)現(xiàn)還可以這樣寫：｛a，b，c｝的子集包括兩類：一類是不含有元素c，有?，｛a｝，｛b｝，｛a，b｝這4個(gè)；另一類是含有元素c，只需把c分別再“放入”“?，｛a｝，｛b｝，｛a，b｝”即可，這樣又得到4個(gè)，所以｛a，b，c｝共有8個(gè)子集.研究并沒有到此為止，教師提出一個(gè)更“難”的問題：

變式2:猜想、研究集合｛x1，x2，x3，…，xn｝的子集個(gè)數(shù).

不少學(xué)生經(jīng)過思考后，利用前面特殊情況的分析方法，發(fā)現(xiàn)｛x1，x2，x3，…，xn｝的子集可以這樣寫：｛x1，x2，x3，…，xn｝的子集包括兩類：一類不含有元素xn，即｛x1，x2，x3，…，xn-1｝的子集；另一類含有元素xn，只需把xn分別再“放入”｛x1，x2，x3，…，xn-1｝的各個(gè)子集即可，由此發(fā)現(xiàn)集合｛x1，x2，x3，…，xn｝的子集個(gè)數(shù)是｛x1，x2，x3，…，xn-1｝的子集個(gè)數(shù)的兩倍，進(jìn)而可以準(zhǔn)確得到集合｛x1，x2，x3，…，xn｝的子集個(gè)數(shù)是2n，其非空子集個(gè)數(shù)是2n-1，非空真子集個(gè)數(shù)是2n-2.

在這個(gè)研究過程中，學(xué)生不但掌握了一個(gè)重要公式，更重要的是，他們學(xué)會(huì)了觀察，學(xué)會(huì)了思考，形成了由特殊到一般、遞推、猜想等數(shù)學(xué)思想，從而培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力.

三、挖掘課本習(xí)題題后反思功能，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思維能力

從學(xué)生的生理心理特點(diǎn)來看，每個(gè)學(xué)生都有探索和創(chuàng)造的潛能，關(guān)鍵是如何激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣、動(dòng)機(jī)和求知欲.解題后的反思，不僅能使學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容與知識(shí)得到鞏固，找出題中的易錯(cuò)點(diǎn)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，而且讓學(xué)生體驗(yàn)到運(yùn)用知識(shí)與技能解決問題的樂趣，促進(jìn)智力和能力的提高.

案例3已知圓的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)M（x0，y0）的切線方程.

此題學(xué)生不難算出相應(yīng)切線方程為x0x+y0y=r2，但教師不應(yīng)就此罷休，因?yàn)閷W(xué)生剛剛開啟一座金礦的大門，豈有馬上關(guān)掉之理？學(xué)生算出答案后會(huì)迅速發(fā)現(xiàn)結(jié)論與圓的方程很像，不妨借此機(jī)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生從縱、橫兩個(gè)方向作如下反思：

反思1：已知M（x0，y0）異于圓x2+y2=r2圓心的一點(diǎn)，則直線xx0+yy0=r2與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是_________.

相當(dāng)多的學(xué)生受到原題的影響，一看到直線方程xx0+yy0=r2的形式就想到直線與圓相切，于是就不假思索地填上1，也有一些學(xué)生以為不一定填1，因?yàn)镸（x0，y0）是可能在圓上，也可能不在圓上，可能有其他答案.

為澄清學(xué)生的模糊認(rèn)識(shí)，在審題中不被“形”迷惑，能透過“形”的本質(zhì)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，老師因勢(shì)利導(dǎo)，進(jìn)行變式引導(dǎo).

反思2：當(dāng)在圓C的外部時(shí)直線x1x0+y1y0=r2的幾何意義是什么？

引導(dǎo)學(xué)生探索：過點(diǎn)M可作圓C兩條切線P1M，P2M，設(shè)切點(diǎn)為P1（x1，y1），P2（x2，y2），則切線P1M的方程為x1x+ y1y=r2，切線P2M的方程為x2x+y2y=r2.因?yàn)镸點(diǎn)在直線P1M，P2M上，所以x1x0+y1y0=r2，x2x0+y0y=r2，由此可知，點(diǎn)P1，P2在直線x0x+y0y=r2上，而過兩點(diǎn)的直線只有一條，所以x0x+ y0y=r2為弦P1P2的方程.

反思3：當(dāng)M（x0，y0）在圓C內(nèi)（不與圓心重合）時(shí)，直線x0x+y0y=r2的幾何意義是什么？

引導(dǎo)學(xué)生探索：過點(diǎn)M作圓C的動(dòng)弦P1P2的端點(diǎn)P1，P2作兩切線，并相交于P（x′，y′）.由上面結(jié)論得動(dòng)弦P1P2的方程為x′x+y′y=r2.又因M為（x0，y0）在直線P1P2上，則x′x0+ y′y0=r2，以x，y分別代替x′，y′，則直線xx0+yy0=r2竟是以弦P1P2的端點(diǎn)P1，P2為切點(diǎn)的兩切線的交點(diǎn)P的軌跡方程.

反思4：例題里面所給圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程x2+y2=r2，結(jié)果得到相應(yīng)切線方程是x0x+y0y=r2，只是把x2，y2分別換成了x0x，y0y；對(duì)于圓心不在原點(diǎn)的圓，例如（x-a）2+（y-b）2= r2，其相應(yīng)的切線方程又是什么呢？

學(xué)生經(jīng)過思考、猜想、證明出相應(yīng)的切線方程是（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

反思5：M（x0，y0）為圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點(diǎn)，方程（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2表示過點(diǎn)M的切線方程，如果點(diǎn)M不在圓上，而是在圓外，那么此直線還表示圓的切線嗎？如果不是，它又表示什么呢？

學(xué)生經(jīng)過猜想、辨析、驗(yàn)證得出該直線表示圓的“切點(diǎn)弦”直線.

反思6：圓為一種特殊的二次曲線，橢圓、雙曲線、拋物線是另外幾種重要的二次曲線，它們有沒有類似的結(jié)論呢？

經(jīng)過這一系列的反思再創(chuàng)，學(xué)生不僅掌握了二次曲線中的一個(gè)一般性結(jié)論，更重要的是，讓學(xué)生在探索、實(shí)踐、發(fā)現(xiàn)的過程中享受成功，在興奮、愉快的情景中既學(xué)到了知識(shí)與方法，又培養(yǎng)了思維的批判性，獲得了自己意想不到的成果.他們經(jīng)過自己的努力，感受到了探究的艱辛，磨練了自己的意志，這比單純地掌握知識(shí)更有意義.

笛卡兒說，“我所解決的每一個(gè)問題將成為一個(gè)范例，以用于解決其他問題”.“豐富而條理的知識(shí)儲(chǔ)備是解題者的至寶”.學(xué)生對(duì)定義，定理，公式和法則的應(yīng)用是比較熟悉的，但不善于發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用已經(jīng)解決的問題作為范例去解決新的問題.本文從教材的角度出發(fā)，闡述了利用課本題，進(jìn)行探究和推廣，變式，并把所得結(jié)論加以應(yīng)用，探究過程層層深入，優(yōu)美自然，能使學(xué)生強(qiáng)烈地感受到數(shù)學(xué)的美妙以及課本習(xí)題中潛藏著的功能，提升思維能力，優(yōu)化思維品質(zhì).在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力特別是創(chuàng)新能力的新課程理念下，這種回歸課本探究教學(xué)，不僅可以引起學(xué)生對(duì)課本習(xí)題的重視，更有利于將他們從繁雜的參考資料中“拯救”出來，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)十分有益.