☉江蘇省南京市江寧高級中學(xué)張格波

限制從何而來
——二項式定理的教學(xué)設(shè)計與反思

☉江蘇省南京市江寧高級中學(xué)張格波

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)的價值之一是幫助學(xué)生提升理性思維的能力.通俗的說，就是數(shù)學(xué)讓學(xué)生變得聰明，但教學(xué)現(xiàn)實中，很多時候沒有實現(xiàn)這一目標(biāo)，為什么呢？原因就在于教師會不自覺地對學(xué)生的思維進(jìn)行限制，而不自知，限制從何而來？在二項式定理教學(xué)之后，通過同伴的提醒，筆者似乎醒悟了一些.

一、一帆風(fēng)順的試水課

1.布置課前探究

（1）一一展開下列各式，然后再合并：（a+b）2，（a+ b）3，（a+b）4.

（2）填寫下表：

特例項系數(shù)研究內(nèi)容展開后各項的形式合并前的項數(shù)合并后各項的系數(shù)系數(shù)的實質(zhì)是什么？系數(shù)的規(guī)律是什么？（a + b）2（a + b）3（a + b）4

系數(shù)的規(guī)律是什么？（a + b）2a2，a b，b24 1，2，1同類項的個數(shù)Cr特例項系數(shù)研究內(nèi)容展開后各項的形式合并前的項數(shù)合并后各項的系數(shù)系數(shù)的實質(zhì)是什么？（a + b）3a3，a2b，a b2，b38 1，3，3，1（a + b）4a4，a3b，a2b2，a b3，b41 6 1，4，6，4，1 n

（3）探究下列問題：①（a+b）n展開式中（合并后）具體某一項的形式是什么？為什么？②（a+b）n展開式中（合并后）具體某一項前的系數(shù)是什么？有何規(guī)律？為什么？

2.組織交流、展示

交流階段一：展示學(xué)生的作業(yè)（正確的作業(yè)）.

師追問1：系數(shù)為什么是同類項的個數(shù)呢？

學(xué)生1：對比合并前后的式子結(jié)構(gòu)即可，比如：（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2，合并后（a+b）2=a2+2ab+b2，系數(shù)2即為同類項的個數(shù).

師追問2：系數(shù)為什么可以用Crn表示呢？

學(xué)生2：因為（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2，每個因式都選取字母a，只有一種方法，即為=1；兩個因式中一個選取字母a，另一個選取字母b，共有2種方法，即為=2；每個因式都選取字母b，只有一種方法，即為=1.

學(xué)生3：選取n個括號中哪r個提供字母b所對應(yīng)的方法種數(shù).

交流階段二：猜想（a+b）n，并簡要說明推導(dǎo)過程（以下略）.

二、點評驚醒夢中人

在試水課結(jié)束后，按照慣例，全組對本節(jié)課進(jìn)行相關(guān)點評，并提出建議.

教師W：這節(jié)課設(shè)計很好，總體上由特殊到一般，在歸納過程中，借助于預(yù)習(xí)單，很好地完成了這一過程，縝密而細(xì)致，起到了很好的思維鍛煉作用.

教師H：這節(jié)課，我很滿意，放手讓學(xué)生探究——從探究到總結(jié)規(guī)律基本上都是讓學(xué)生完成的，但總結(jié)的過程略顯簡單，思維的體驗成分少了……

教師Z：我也覺得比較好，但有幾條建議：（1）要通過具體的實際問題點明學(xué)習(xí)的必要性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的意向，比如求810天后是星期幾？必須要用到二項展開式.（2）在總結(jié)系數(shù)的實質(zhì)時，可補充例子（x+y+z）（m+n）（p+ q）的項有多少個？讓學(xué)生聯(lián)想到計數(shù)原理會容易些.（3）這節(jié)課過程流暢，教師游刃有余，但為什么沒有意外，沒有障礙呢？一路風(fēng)調(diào)雨順，似乎太順暢了吧？但我也沒有想到原因.

教師L：我接著Z教師的話說一下，也是對Z教師的問題進(jìn)行回應(yīng)，這個原因就在于，學(xué)生始終是在教師的課前鋪好的康莊大道上前進(jìn)的，一路平坦，自然一帆風(fēng)順了.課前預(yù)習(xí)單在無形中已經(jīng)牽著學(xué)生的鼻子走進(jìn)了教師預(yù)設(shè)好的軌道.其實，沒有意外，沒有障礙的思維過程就是作秀，就沒有價值，不會讓學(xué)生變得聰明.因此，我認(rèn)為本節(jié)課的最成功之處——預(yù)習(xí)單，恰是最大的敗筆——缺失了思維的深刻性，這純粹是個人的看法，僅供參考.

三、限制從何而來

眾位教師的點評的確有點讓筆者招架不住，雖然知道這是為自己好，但自尊心仍然有點不愿接受，痛定思痛之后，課還是要改的，課還是要繼續(xù)上的，為什么會這樣呢？其實，課前預(yù)習(xí)單是作為筆者的特色隆重推出的，目的是解決課堂探究時間不夠的問題，但現(xiàn)在它卻是敗筆，著實讓人接受不了.經(jīng)過兩天的反思，自己似乎知道了一些——限制從何而來？

限制直接來自于預(yù)習(xí)單的設(shè)計.首先，預(yù)習(xí)單直接從特殊到一般，設(shè)計好了解決問題的思路，采用了小步驟、快節(jié)奏的方式，讓學(xué)生快速在教師設(shè)定好的軌道中滑行，避開了方法決策的環(huán)節(jié).事實上，在解決問題前，是否選擇歸納—猜想—證明的方法，學(xué)生是要有一個判斷的過程，而現(xiàn)在他不需要了，老師代勞了.再者，本節(jié)課的思維價值就在于在學(xué)生通過歸納推理獲得部分成果的基礎(chǔ)上，通過步步追問，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行更為深入的理性分析，在思維方式上走向演繹推理，從而使得歸納、演繹有機結(jié)合.本節(jié)課思維的難點就在于發(fā)現(xiàn)系數(shù)的實質(zhì)是同類項的個數(shù)，一旦學(xué)生發(fā)現(xiàn)了，就有可能從計數(shù)原理的角度來思考問題了.而這些，在預(yù)習(xí)單的提示下，思維難度降低了，學(xué)生通過對比合并前后的項數(shù)與系數(shù)就感知到了這些.因而學(xué)會主動地尋找解題的突破點也被老師代替了.這樣，問題解決雖然很快，但認(rèn)知水平下降了，本該是分析、抽象的思維過程，卻變成了記憶水平的搶答.這樣，學(xué)習(xí)單就變成了思維限制，課堂教學(xué)變成了問題串燒，變成了問題搶答秀，變成了教師的表演場.探究學(xué)習(xí)強調(diào)學(xué)生的深度思維，在課堂中如何讓學(xué)生深度思維？答案就是現(xiàn)場生成問題，通過問題將思維引向深入，預(yù)習(xí)單則直接避開了這些，困難沒有了，思維的深度也沒有了.當(dāng)然，限制更多地來自于教師本人的觀念.

1.對自己的教學(xué)現(xiàn)場能力不自信

這種不自信是潛意識中的、根本上的不自信.這似乎是實話，一直到現(xiàn)在，筆者都沒有上過特別好的課，從別人的口中，筆者得知自己的課一直比較平淡，因此長時間以來，筆者一直不太自信，對思維細(xì)節(jié)、對思維現(xiàn)場的把握沒有底，潛意識中就想對看似無序的思維現(xiàn)場進(jìn)行控制，同時，在思維現(xiàn)場中還會出現(xiàn)一些含義不清，教師聽不懂的現(xiàn)象，或者出現(xiàn)科學(xué)錯誤而教師沒有發(fā)現(xiàn)，或者未糾正錯誤從而偏離主題等現(xiàn)象，所有這些都是筆者不愿意看到的.

2.教師的主導(dǎo)意識過強

平時，筆者總覺得學(xué)生就是學(xué)生，教師就是教師.筆者覺得學(xué)生作為學(xué)習(xí)者不可能完全地自己想出問題解決的方法，必須在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行；同時，總覺得既然教師的作用就是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)，那么引導(dǎo)什么？不就是要鋪臺階，樹支架，指方向嗎？否則老師在課堂上干什么？就僅僅巡視？答疑？

3.對學(xué)生思維的培養(yǎng)方式認(rèn)識不清

數(shù)學(xué)讓人聰明，但是怎么才能實現(xiàn)？其實有兩件事很重要，首先就是在游泳中學(xué)會游泳，而不是光談理論不實踐.再者就是在游泳中不斷反思總結(jié)，形成理性認(rèn)識后反過來指導(dǎo)實踐.認(rèn)識論告訴我們認(rèn)識就是在實踐——認(rèn)識——再實踐——再認(rèn)識的過程中不斷深化的，而這一點，作為教師的自己看來僅是理論上知曉，操作中卻拋之腦后.

4.對個人的成功看得過重

毫無疑問，這節(jié)課對本人很重要，而且是一堂表演課，要表現(xiàn)出教師的個人素養(yǎng)和能力，要能體現(xiàn)出大師的風(fēng)采，從而只能成功不能失敗，怎樣是成功——學(xué)生在老師的引導(dǎo)下順利地“探究”出結(jié)論，否則，學(xué)生無法解決問題，冷場了，出意外了，課堂拖堂了，任務(wù)沒完成了，怎么辦？顯然這些情況都不能出現(xiàn)，否則評委怎么看？凡此多多，都是在筆者的潛意識中根深蒂固地存在著，教學(xué)現(xiàn)場只是這些潛意識的間接表現(xiàn)而已.

在采納同事們的意見后，筆者果斷去掉了預(yù)習(xí)單，進(jìn)行了較大幅度的調(diào)整.

四、修正后的教學(xué)設(shè)計

（一）問題情境、課題的引入

情境：人們常說：天才出自于勤奮，成功來源于努力，每天多做一點，就離成功近一點.今天，我們就來研究一下，每天“多做一點”與“少做一點”有多大的區(qū)別.

主問題1：（1+0.01）100與（1－0.01）100相差大嗎？不借助于計算工具怎樣研究？

設(shè)計意圖：揭示學(xué)習(xí)二項式定理的必要性，引發(fā)學(xué)習(xí)的意向.

主問題2：如何來研究（a+b）n的展開式呢？

學(xué)生：從特殊到一般，歸納—猜想—證明.

師：好，請同學(xué)們先研究一下n=2，3，4時的展開式，再猜想.

設(shè)計意圖：建立問題解決的假設(shè)方案，順應(yīng)學(xué)生的方法——從特殊到一般，歸納猜想，這是一種習(xí)慣性的選擇，行不行？試過以后才知道.

（二）學(xué)生活動、意義建構(gòu)

階段一：特例的研究.

（1）一一展開n=2，3，4展開式，觀察、猜想，4人板演.

（2）總結(jié)與交流：梳理階段性成果，并判斷：猜出的結(jié)果對嗎？為什么？

設(shè)計意圖：欲擒故縱，讓學(xué)生經(jīng)歷失敗后再回歸理性分析，這是思維活動正常的迂回現(xiàn)象.

階段二：理性分析，展開式中的項是如何確定的？系數(shù)的實質(zhì)是什么？

依據(jù)學(xué)生已經(jīng)得到的部分成果，追問：（1）an這一項是怎樣形成的？bn呢？an－1b呢？（2）把這個過程寫下來，表現(xiàn)出來，怎么樣？就這一種方式嗎？（3）an－1b的系數(shù)為什么是n？（方法種數(shù)）（4）有沒有其他的項？系數(shù)如何？為什么？

設(shè)計意圖：通過步步追問，讓學(xué)生學(xué)會理性分析，領(lǐng)悟到系數(shù)的實質(zhì)即為確定an－rbr項的方法數(shù).

階段三：梳理總結(jié)思想方法與思路.

（1）推理線索：各項的系數(shù)?確立項的方法種數(shù)?“得到an－rbr”的方法是什么?在n個因式（a+b）中，選擇定在哪k個因式中選取了b字母.

（2）思維體驗：歸納推理可能會對一般情況下的結(jié)果有啟示，也可能啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般情況下的解決方法.歸納和演繹是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中常用的兩種基本方法，結(jié)合起來使用，效果更好.

設(shè)計意圖：通過梳理，讓學(xué)生理清思路，形成思維體驗.

階段四：猜想并證明.

（1）請3～4名學(xué)生上黑板板演（a+b）n的猜想.

（2）點評猜想的結(jié)果.

（3）師生共同證明（a+b）n：教師寫出前半部分——二項式展開的實質(zhì)，具體的由學(xué)生寫.

設(shè)計意圖：真正地完成探究過程，鍛煉學(xué)生應(yīng)用“歸納—猜想—證明”思維模式的能力.

（三）進(jìn)一步精微化——建立數(shù)學(xué)理論

（1）介紹二項式定理的相關(guān)概念.

①二項式定理；②二項展開式.

（2）總結(jié)二項式定理的結(jié)構(gòu)特征.

（3）通項及二項式系數(shù)（略）.

設(shè)計意圖：通過總結(jié)提煉，實現(xiàn)知識的進(jìn)一步精微化，建立對二項式定理的完整認(rèn)識.

最終課堂也獲得了成功，并沒有出現(xiàn)之前擔(dān)心的結(jié)果，而教師的灑脫、大膽、率真給評委留下的深刻印象，本人的教學(xué)理念，現(xiàn)場能力也無形中有了改變，當(dāng)然，最重要的是學(xué)生經(jīng)歷了一次真正的思維訓(xùn)練，他們的收益是無形的、長期的，何樂而不為呢？

1．王伯龍.問題引導(dǎo)思維，動態(tài)演繹精彩［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（4）.

2．蘇教版高中教材選修2-3《計數(shù)原理——二項式定理》P30-31.

3．中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.F