☉江蘇省啟東市呂四中學李凱

數(shù)學公式課的“四化”教學策略
——以“兩角差的余弦公式”為例

☉江蘇省啟東市呂四中學李凱

數(shù)學公式課教學普遍存在“輕證明，重應(yīng)用；輕理解，重記憶”的弊端.相當數(shù)量的教師錯誤認為“數(shù)學公式就是為解題服務(wù)，至于會不會推導(dǎo)證明，是否知道其來龍去脈，那些都是次要問題”.這種認識其實是不對的，因為公式作為數(shù)學概念自身的某種屬性反映，及其概念間屬性的反映，是揭示數(shù)學聯(lián)系的基本形式.其產(chǎn)生、發(fā)展的過程蘊藏著極其豐富的數(shù)學思想方法，這些數(shù)學思想方法對于學生的數(shù)學思維的形成與提升具有重要價值.比如，“兩角差的余弦公式”，表面上看在重要考試中不會考查其推導(dǎo)證明的過程，看似推導(dǎo)證明過程可以省略，但實際上這個公式是一個母公式，是推導(dǎo)兩角和、差、倍角等公式的基礎(chǔ)，有了這一公式，三角函數(shù)才能真正實現(xiàn)由單角三角函數(shù)值的代數(shù)運算發(fā)展到由復(fù)角及其函數(shù)值的綜合運算.它的基礎(chǔ)性、思想性和公式結(jié)構(gòu)的對稱性十分突出，而兩角差的余弦公式推導(dǎo)的教學，是滲透數(shù)學思想與方法、培養(yǎng)能力的過程.下面筆者就以這節(jié)課為例談?wù)剶?shù)學公式課的教學策略.

一、引入環(huán)節(jié)情境化

跟數(shù)學其他類型的課一樣，公式課首先要體現(xiàn)的就是學習“必要性”的問題，即解決為什么要學的問題.我們之所以要學習新的知識，新的公式，一般都是基于實際的需求，比如，原來的公式已經(jīng)不夠用了，那么就應(yīng)該引入新的公式，學習兩角差的余弦公式也是基于這個原因.在此之前，對于特殊角的三角函數(shù)值學生已經(jīng)掌握得非常充分，但對于其他角的三角函數(shù)值該如何求呢？比如，sin15°，cos15°，sin75°，cos75°等，這些角雖然不是特殊角，但可以用特殊角的和與差表示出來，也就是說這些角與特殊角有關(guān).既然如此，那么這些角的三角函數(shù)值與特殊角的三角函數(shù)值有關(guān)嗎？這就是學習這節(jié)內(nèi)容的“必要性”，通過對必要性的展示，有利于激發(fā)學生學習的動力，解決數(shù)學學習的內(nèi)驅(qū)力問題.那么如何展示學習的必要性呢？在引入的環(huán)境，我們不妨創(chuàng)設(shè)豐富的問題情境，即通過引入環(huán)節(jié)情境化來體現(xiàn)“必要性”.

問題情境：某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上，如圖1所示，小山高BC約為30米，在地平面上有一點A，測得A、C兩點間距離約為67米，從點A觀測電視發(fā)射塔的視角約為45度.求這座電視發(fā)射塔的高度.

圖1

更一般地說，當α，β是任意角時，能不能用α，β的三角函數(shù)值把α+β或α-β的三角函數(shù)值表示出來呢？

很多老師在引入中直接拋出問題“求cos150“的值，看似開門見山，直截了當，但與上述情境相比，缺少“實際需求”這個要素，基于實際需求的數(shù)學學習更具有活力.

二、發(fā)現(xiàn)過程合理化

公式課的第二個環(huán)節(jié)就是公式的發(fā)現(xiàn)過程.公式的發(fā)現(xiàn)從思維上講就是一種自主的嘗試與探索過程.當然，數(shù)學公式有時“隱藏得比較深”，不是很容易被學生發(fā)現(xiàn)，這就需要教師精心創(chuàng)設(shè)鋪墊過程.

鋪墊1：通過本題所用的誘導(dǎo)公式sin（π+α）=-sinα，以發(fā)現(xiàn)：角α的正弦和余弦等三角函數(shù)值與角自身的正弦和余弦有關(guān)，這里是否存在一種可能，那就是正弦、余弦的變化對三角函數(shù)值是否存在某種影響？

意圖：本設(shè)計的目的在于讓學生從三角函數(shù)、角及其交換的角度，提出適合于探究的問題，即既與原題有關(guān)，又體現(xiàn)出數(shù)學性，這是學生面對實際問題時數(shù)學意識的一種體現(xiàn).

鋪墊2：如果有人猜想sin（α+β）=sinα+sinβ，請問這個猜想正確嗎？

意圖：面對數(shù)學猜想，學生應(yīng)當存在質(zhì)疑的意識與態(tài)度，如果猜想有誤，那么就可以在對錯誤分析的過程中避免同樣的錯誤再次發(fā)生.

鋪墊3：有人猜想sin（α+β）=msinα+nsinβ，cos（α+β）= pcosα+qcosβ，，其中m，n，p，q都是常數(shù)，你說這個猜想正確嗎？

意圖：猜想過程是復(fù)雜的，結(jié)果也是多元的.通過發(fā)散性提問，可以讓學生擴大猜想范圍，同時也提高猜想出現(xiàn)困難時的轉(zhuǎn)換能力.

公式發(fā)現(xiàn)過程的引導(dǎo)要符合學生的知識規(guī)律與認知規(guī)律，問題的鋪墊設(shè)計要注重層次性，環(huán)環(huán)相扣，從而進一步明確公式的合理性，并為后續(xù)的證明提供有用的線索.

三、證明方法多元化

公式的推導(dǎo)與證明是公式課的核心.經(jīng)歷證明的過程不僅可以揭示公式的來龍去脈，更為重要的是可以通過這一過程滲透數(shù)學思想方法，拓展學生的數(shù)學思維.在證明公式中，我們要盡量追求方法的多元化，既要尊重教材提供的證明方法，又要學會通過加強數(shù)學知識間的聯(lián)系，引導(dǎo)學生探索其他證明方法.

幾何法：讓學生從幾何的思路出發(fā)，通過將圖2中的圓當成單位圓，然后通過割補的方法構(gòu)造出新的直角三角形.同時得到：sin（α+β）=MC+CP1=BA+CP1=sinαcosβ+ cosαsinβ，cos（α+β）=OB-MB=OBCA=cosαcosβ-sinαsinβ.

意圖：讓學生獲得通過輔助線使用、基本的割補法的使用等，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)換為簡單問題的方法的能力.

向量法：觀察公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的結(jié)構(gòu)要素，分析其與哪個公式比較相似.

本題中終邊與單位圓存在交點，分別為A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），進而還可以發(fā)現(xiàn)其與向量數(shù)量積公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ與單位圓的交點也比較接近，于是產(chǎn)生解題靈感.于是建立直角坐標系，借助單位圓，利用向量數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式自然水到渠成.

意圖：凸顯數(shù)學思維的自然性與合理性，并突破重難點，同時再現(xiàn)真實的探究過程.

利用兩點間距離公式：不難發(fā)現(xiàn)（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2與cos（α-β）存在著緊密的聯(lián)系.將（sinαsinβ）2+（cosα-cosβ）2看成兩點P（cosα，sinα），Q（cosβ，sinβ）距離的平方.

圖2

通過圖3可以看到，在坐標系內(nèi)作出一個圓與角α，β，讓它們的終邊與單位圓相交，交點記作P和Q，則|PQ|2=（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2.此時如果想得到cos（α-β）的表達式，那就需要引導(dǎo)學生在單位圓中尋找與PQ相等的弦，然后進行相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)，即可完成任務(wù)，且∠POQ=∠P1OQ1，故△POQ≌△P1OQ1，所以有|PQ|=|P1Q1|.因為|P1Q1|2=［1-cos（α-β）］2+ sin2（α-β）=2-2cos（α-β），所以有（sinα-sinβ）2+（cosαcosβ）2=2-2cos（α-β），即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

圖3

這一過程實際上是啟發(fā)學生從數(shù)學公式出發(fā)，從多個角度去對問題展開聯(lián)想，這樣就可以產(chǎn)生新的問題，并以新的問題來促進思維的發(fā)展，從而也就激活了學生思維的主觀能動性.還加強了學生綜合運用數(shù)學知識的能力，參與意識也大為增強.在此過程中，數(shù)學學習成為學生參與度較高的過程，也體現(xiàn)出學生在學習過程中的主體地位.

四、知識背景網(wǎng)絡(luò)化

數(shù)學知識自身的聯(lián)系性很強，通常情況下，一個問題可以為學生有效解決，但問題之間所表現(xiàn)出來的聯(lián)系，則不容易為學生所發(fā)現(xiàn)，所以說在數(shù)學教學中需要讓學生學會從整體角度研究數(shù)學問題.數(shù)學公式看似一大堆符號的堆積，但實際上公式之間的存在著緊密的邏輯聯(lián)系和豐富的幾何、歷史背景，將這些線索串起來，形成網(wǎng)絡(luò)，就會達到融會貫通的效果，有助于學生抓住公式的“靈魂”.揭示公式背后的幾何背景（1）利用面積關(guān)系，如圖4所示.

圖4

（2）借助單位圓，如圖5所示.

圖5

一個優(yōu)美的幾何圖形不僅包含了構(gòu)造者的奇思妙想，還往往蘊涵著數(shù)學的本質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學的美學意義.如果能夠?qū)W生的思維再次落在幾何形象上，就可以讓學生直觀地感受到三角公式，進而發(fā)現(xiàn)新的公式，從而就可以讓學生的思考更活躍.

綜上，數(shù)學公式課教學不僅僅是公式的本身的記憶與應(yīng)用，更為重要的是要在教學過程讓學生不僅知其“源”，而且知其所源，從而使公式教學充滿濃郁的文化氣息.G