☉陜西省咸陽師范學院基礎教育課程研究中心安振平☉陜西省鎮(zhèn)巴縣鹽場初級中學劉再平

基于記憶能力在高中數(shù)學教學中的案例研究*

☉陜西省咸陽師范學院基礎教育課程研究中心安振平☉陜西省鎮(zhèn)巴縣鹽場初級中學劉再平

所謂記憶，是指一個人在生活實踐的過程中把新的知識經(jīng)驗吸取并保留下來，而且在有關的環(huán)境中能提取已有的知識經(jīng)驗的心理過程.記憶分為一般記憶和特殊記憶兩種情形.所謂一般性記憶是指一個人在心理學意義下的記憶，而特殊性記憶是指一個人在某一方面的記憶.很自然，我們把以數(shù)學材料為對象的記憶稱為數(shù)學記憶，其特征是一種對于概括、形式化結構和邏輯模式的記憶.

按照被回憶和再現(xiàn)的數(shù)學材料，可將數(shù)學記憶分為如下幾種情形：

（1）對具體數(shù)學材料、術語的記憶；

（2）對數(shù)學概念、算法的記憶；

（3）對數(shù)學原理、法則、公式的記憶；

（4）對數(shù)學問題類型、解題模式的記憶；

（5）對數(shù)學解題方法、解題思想的記憶.

我們知道，數(shù)學學習能力包括觀察能力、理解能力、概括能力和推理能力等，而一個人已獲得的經(jīng)驗、知識不能保留在頭腦中，并在需要時再現(xiàn)或回憶起來，就無法對新知識進行理解、概括和推理，也就不能達到學習數(shù)學或進行數(shù)學解題的目的.可見，數(shù)學記憶對數(shù)學能力的形成有著重要的影響，離開數(shù)學記憶的數(shù)學能力是膚淺的.因此，著力培養(yǎng)數(shù)學記憶能力就顯得十分必要，它是形成數(shù)學各種能力的重要因素之一.

數(shù)學記憶的品質(zhì)分為：記憶的牢固性、記憶的深刻性和記憶的準確性.學習數(shù)學，不僅要對已學過的數(shù)學概念、定義、定理、公式、法則等記得比較準與牢，更重要的是數(shù)學記憶能力的本質(zhì)在于對數(shù)學材料及典型的推理和運算式的概括的記憶.只有記得準、記得牢，才有可能直接提高數(shù)學活動的功效，使數(shù)學解題活動得以順利實施.

一、對數(shù)學材料的背景事實及其本質(zhì)的記憶

數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式及其數(shù)量關系的學科.為了更好地研究空間形式和數(shù)量關系，就必須拋開它的表面內(nèi)容，但是，在學習數(shù)學的過程中，我們不能拋開它們的背景事實，因為數(shù)學材料的背景事實與本質(zhì)特點有助于透徹、深刻理解數(shù)學問題的實質(zhì)，優(yōu)化記憶.

【案例1】北師大版高中教材選修4-5第10頁在學習兩個正數(shù)的算術平均值不小于它們的幾何平均值時，給出了重要定理：

若a，b∈R+，且僅當a=b時取“=”號）.

為了加強對這個公式的記憶，我們呈現(xiàn)了其幾何背景來說明這個公式的實質(zhì).如圖1所示，作半徑的⊙O，

若AC=a，BC=b，CD⊥AB，

由射影定理CD2=AC·BC=ab，

圖1

【案例2】北師大版高中教材必修4第117頁在求解15°角的三角函數(shù)值時，將其轉(zhuǎn)化為45°與30°差的三角函數(shù)，利用差角公式來解決.如果挖掘了15°角的幾何背景，我們可以直接由下面含30°角的幾何圖形實現(xiàn)無字推導.

如圖2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB到D，使BD=AB，連結AD，則∠ADC=15°，由圖可知，

圖2

上述圖形比較簡潔，容易形成記憶，而記住了這個圖形，也就等價于記住了15°角的各種三角函數(shù)值，方便運算與相關問題的解決.

【案例3】求證：在一次集會中，握過奇數(shù)次手的人數(shù)必為偶數(shù).

粗看此題可能會覺得無從下手，但仔細回想握手的實際情景，就會發(fā)現(xiàn)一個不為人們所注意的重要事實，即每當握手事件發(fā)生時，都必須是兩個人，而對其中每一個人來講，均記握過一次手，于是握手次數(shù)為2，它是偶數(shù).找到這個規(guī)律后，容易理解握手的總次數(shù)S一定是偶數(shù)，而總握手的次數(shù)S等于握手次數(shù)是奇數(shù)次的人的握手次數(shù)和M加上握手次數(shù)是偶數(shù)次的人的握手次數(shù)和N，即S=M+N，推知M是偶數(shù)，又因為只有偶數(shù)個奇數(shù)之和才能是偶數(shù)，故握過奇數(shù)次手的人數(shù)一定是偶數(shù).

從本例的分析過程可以看出，生活中鮮為人知的事實在問題解決中起到了開闊思路，增加題設條件的良好效果，若沒有找出數(shù)學材料的這種本質(zhì)，解答本題幾乎是不可能事件.因此，要學好數(shù)學就必須注意積累并記憶一些常識性事實及本質(zhì)，它們是以潛在的、模糊的，甚至是一種感知的形式存在于人的大腦之中，是學習數(shù)學、提升數(shù)學素養(yǎng)必不可少的基礎.

二、對數(shù)學定義、公式、法則和命題結構形式的記憶

數(shù)學定義、公式、法則和命題是通過對現(xiàn)實世界的具體材料進行抽象和概括后，用以揭示具體事物的某些本質(zhì)屬性和關系的思維形式.記憶數(shù)學基礎知識是學好數(shù)學的必要條件.

【案例4】北師大版高中教材必修2第5頁定義正棱錐——底面是正多邊形，且各側(cè)面全等的棱錐.

它的結構形式是（內(nèi)涵法）：

這就是需要記憶的結構形式，顯然比正棱錐生硬的定義更容易理解與記憶.

【案例5】北師大高中教材選修1-2第73頁在講述復數(shù)的概念時，它的結構形式是（外延法）：

對于命題、公式結構形式的記憶，關鍵在于記住它的條件和由條件導出的結論，還應深化理解由條件產(chǎn)生結論的必然性和唯一性.這里，我們強調(diào)的是理解性的記憶而非機械記憶，這實質(zhì)是一種邏輯記憶，對開發(fā)學生的多元智力有很大的益處.

【案例6】北師大版高中教材必修2第24頁公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

將條件與結論分離開來，其記憶的結構形式為：如果a∥c，b∥c，那么a∥b.

學習數(shù)學必須記憶核心的定義、公式和定理等知識，立足它們的基本結構可以優(yōu)化記憶品質(zhì)，然后通過其轉(zhuǎn)換、重組產(chǎn)生新的結論，解決新的問題，這是數(shù)學記憶中特有的一種形式.

三、對數(shù)學定義、公式、法則和命題所揭示的本質(zhì)關系的直觀記憶

學習數(shù)學是一種由具體直觀到一般抽象的循序漸進過程，反過來，在理解了抽象的數(shù)學關系的本質(zhì)屬性前提下，將其又遷移到淺顯直觀的事物當中，實現(xiàn)數(shù)學抽象意義下的直觀記憶.這種直觀形態(tài)揭示了更多的數(shù)學本質(zhì)，濃縮了抽象的本質(zhì)特征，是一種較為有效、高層次的數(shù)學記憶方式.

當然，本題也可用簡單的三角方程sinx=a（|a|＜1）的通解公式，得其x∈［-2π，2π］的范圍內(nèi)取k值，以k的取值個數(shù)來確定其解的總數(shù).

相比之下，直觀的分析求解似乎更自然，更具操作性，但在理解了本題抽象的數(shù)學關系的本質(zhì)屬性前提下，運用簡單的三角方程“sinx=a（|a|＜1）”的通解公式顯然比較簡捷.由此表明，大腦貯存的知識工具愈多，解題方法就越靈活，簡單明了的方法就呼之欲出.

【案例8】北師大版高中教材必修2第98頁第3題：已知x、y滿足x+y=3，求證：（x+5）2+（y-2）2≥18.

本例是一道經(jīng)典的教材習題，可從挖掘其幾何意義方面入手實施下面兩種證明.

證法1：設（x+5）2+（y-2）2=r2（r＞0），則表示以（-5，2）為圓心，r為半徑的圓，根據(jù)題意圓上的點都滿足直線方程x+y=3，

故（x+5）2+（y-2）2≥（rmin）2=18得證.

證法2：要證（x+5）2+（y-2）2≥18，

因為點（x，y）滿足直線方程x+y=3，即點（x，y）=（x，3-x），

由兩點間的距離公式：

故（x+5）+（y-2）≥18得證.

有趣的是，在我們給出了這道常見問題的兩種幾何解釋，挖掘出了經(jīng)典的幾何模型的同時，如果想到均值不等式和柯西不等式，就有代數(shù)不等式證法；如果將條件直線方程改換為參數(shù)方程，就可以給出換元證法；如果將條件轉(zhuǎn)化代入要證不等式，還可以得到函數(shù)證法、配方證法等妙證.雖然有些方法具有一定的技巧性，教學中并不要求掌握，但這種知識之間的本質(zhì)聯(lián)系，印記到學生的大腦中，也就形成了多途徑解答問題的可能性，拓寬了學生視野，激發(fā)了學生數(shù)學思維的發(fā)展.

四、對典型數(shù)學問題及其解決模式的記憶

在數(shù)學學習的過程中，問題是核心，特別是一些典型問題，它們能代表一類問題、一種方法或者一種數(shù)學思想.熟記這些類型及其解法模式是提高問題解決能力的有效途徑.

【案例9】我們知道，北師大版高中教材必修5第27頁關于等比數(shù)列前n項和公式給出了如下概括：

若等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，則用錯位

作為數(shù)列求和的一種重要方法，錯位相減法有著廣泛的運用，對于由等比數(shù)列{an}與等差數(shù)列{bn}對應項積構成的新數(shù)列{anbn}求和問題就可用錯位相減法來解決.諸如：問題求和一直是高考命題的熱點、重點與難點.

【案例10】在△ABC中，求證：

這是涉及正余切函數(shù)的3個不等式，下面試圖通過換元，揭示其代數(shù)本質(zhì).

即可

式（2）等價于

類似于（1）的換元，可知（2）的代數(shù)本質(zhì)是：

對數(shù)學解題模式的概括和記憶是數(shù)學記憶的一種重要形式，只要通過不斷的思考、歸納和總結，理解并熟記一些本質(zhì)性的東西，多題歸一，就可以從有限問題的訓練過程中獲取解答無限道問題的方法和智慧.案例10表明，從一點出發(fā)，廣泛聯(lián)想、聯(lián)系、發(fā)展，可以擴展思維空間，增強知識結構化的記憶.

【案例11】微積分是大學數(shù)學的精華，新一輪的課程改革將其基礎內(nèi)容下放到高中數(shù)學.北師大版高中教材選修2-2第83頁給出了微積分基本定理（牛頓—萊布尼茨公式）：

如果連續(xù)函數(shù)f（x）是函數(shù)F（x）的導函數(shù)，即f（x）= F′（x），則有：

此公式?jīng)_破了傳統(tǒng)只能求規(guī)則圖形面積的思維束縛，成為計算由曲線形成的平面不規(guī)則圖形面積的方法模式，也是高考的重點與難點.

例如，2015年陜西理科卷填空壓軸題：如圖3，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線所示），則原始的最大流量與當前最大流量的比值是________.

將此題的實際情境抽象為求梯形面積與拋物線和水平線形成的不規(guī)則圖形面積之比后，運用大腦中記憶的微積分基本定理求面積的方法模式，本題便化難為易了.

在數(shù)學學習過程中，學生對知識的記憶是不斷發(fā)展和完善的，既要重視基礎知識的系統(tǒng)化、結構化記憶，更要加強解題模式、方法和思想的歸納記憶，又要尋找知識聯(lián)系的本質(zhì)進行對比記憶.蘇沃諾夫說過：“記憶是智慧的金庫，要把一切東西迅速地放到該放的地方.”提高數(shù)學記憶能力的有效途徑在于適時的科學化復習和進行一定量的解題思維訓練.

然而，過多的題海式訓練，是十分有害的.模式的變化、變更，思維活化、激發(fā)，將記憶能力的培養(yǎng)貫穿在高中數(shù)學的日常教學中，與運算能力、推理能力的訓練結合起來，使得知識記憶網(wǎng)絡化，能力發(fā)展動態(tài)化.讓學生的記憶在“聽、說、讀、寫、算、思”中完成、發(fā)展和強化，讓記憶根植于數(shù)學概念、公式、定理和數(shù)學思想方法之中，以提升記憶能力有效性和高效性，促進學生數(shù)學思維能力的發(fā)展.

圖3

1.曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學［M］.北京：北京師范大學出版社，2006.

2.陳鋒，薛鶯，童偉偉.多元化的“微探究”：從機械記憶走向理解建構［J］.中學數(shù)學（下），2013（9）.

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4.安振平，陳寶安.在閱讀理解與思考變化中學習數(shù)學［J］.數(shù)學通報，2008（7）.

5.安振平，荀春鵬.淺談解題思路的合理選擇［J］.數(shù)學通報，2000（8）.

6.劉再平.一道習題的五種解題視角［J］.中學生數(shù)學（上），2014（4）.

7.劉再平.提煉共性，多題一解［J］.數(shù)學教學，2014（5）.

8.安振平.開展探究性學習，從變更課本例題開始［J］.中小學數(shù)學（高中版），2010（3）.G

*本文獲陜西省名師立項課題（編號MSKT1523）：中學數(shù)學教學中培養(yǎng)思維能力的實踐研究資助.