☉浙江省余姚中學(xué)龔鳳

攻克一例，完解一類

☉浙江省余姚中學(xué)龔鳳

在高中平面向量的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇到以三角形為載體，且涉及一串向量線性和的問(wèn)題，初次接觸，使人會(huì)有無(wú)從下手的感覺(jué).本文試圖通過(guò)對(duì)典型例題的多種解答，來(lái)揭示問(wèn)題的特點(diǎn)和本質(zhì)所在，同時(shí)找到這類問(wèn)題的最佳解法.

引例△ABC的面積為12，P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則△ABP的面積為（）.

A.3B.4C.6D.9

分析：本題的難點(diǎn)是如何利用所給條件來(lái)確定P點(diǎn)的位置，為此，可考慮用坐標(biāo)法來(lái)解決.鑒于本題是選擇題，又由題意獲知，凡面積為12的三角形，只要符合條件，所得到的△ABP的面積是相等的，因此可構(gòu)造特殊三角形，以簡(jiǎn)化解題的運(yùn)算過(guò)程.

解法一：如圖1，設(shè)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A（2，0），B（-2，0），C（0，6），又設(shè)P（x，y），則=（2-x，-y），=（-2-x，-y），2P—→C=（-2x，12-2y），3=（-12，0）.

圖1

注意到P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，故可得△ABP的面積為6.

如果把本題改成證明題或解答題，解法一就不適用了，須采取如下解法.

解法二：不失一般性，如圖2，可設(shè)A（a，0），B（b，0），C（0，h），又設(shè)P（x，y），則

圖2

解法二較之解法一，在運(yùn)算上雖麻煩了一些，但還屬于可承受的范圍；另外，讀者必須明白，當(dāng)A或B是鈍角時(shí)，解法二依然是成立的.到此，讀者自然會(huì)產(chǎn)生這樣的一個(gè)疑問(wèn)，不利用坐標(biāo)法而采用向量法能否解決本題呢？回答是肯定的.

圖3

通過(guò)對(duì)上述問(wèn)題的解決，不難得到兩條經(jīng)驗(yàn)性的結(jié)論：（1）采用坐標(biāo)法解題的關(guān)鍵是坐標(biāo)運(yùn)算的可解性；（2）采用向量法解題的關(guān)鍵是條件等式的化簡(jiǎn)，從中尋找向量間的關(guān)系.因此，為了獲得更佳的解法，我們需要在兩者之間做一選擇，請(qǐng)看下面的例題.

分析：從向量的條件等式入手去解題，似乎有較大困難，故先采用坐標(biāo)法去求解.

解法一：如圖4，設(shè)A（a，0），B（b，0），C（0，h），又設(shè)P（x，y），則=（x-a，y），2=（2x-2b，2y），=（3x，3y-3h）.

圖4

由此可知，點(diǎn)P在中位線MN上，此時(shí)已無(wú)需深究P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，立即可得C—→Q=2m.

然而，若采用向量法去求解，難度會(huì)驟然增大，不僅涉及向量的一些新知識(shí)，還要依賴于一些平面幾何的知識(shí).

由題設(shè)知，2（P—→A+P—→B+P—

→C）=P—→A-P—

→C=C—→A，于是得到P—→G=

下面畫(huà)圖.如圖5，先畫(huà)出重心G，再畫(huà)出P點(diǎn)位置，CP的延長(zhǎng)線交邊AB于點(diǎn)Q，PG的延長(zhǎng)線交邊AB于點(diǎn)D.

圖5

不難看出，如若變動(dòng)m、n在等式中的位置或變動(dòng)所求結(jié)果，并賦值予m、n，我們就能構(gòu)造出許多這類問(wèn)題，有興趣的讀者不妨一試.最后，必須指出，遇到此類問(wèn)題，坐標(biāo)法總是可行的，不過(guò)當(dāng)你對(duì)條件等式的化簡(jiǎn)確有把握時(shí)，向量法也不失是一種好方法.F